2020高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第4講 函數(shù)及其表示 含答案

第二單元第二單元■函數(shù)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及幾何意義，了解函數(shù)的奇偶性的含義.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).指數(shù)函數(shù)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運(yùn)算.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,3,10,2,3的指數(shù)函數(shù)的圖象.體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.對(duì)數(shù)函數(shù)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)2,10,扌的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.了解指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且aM1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/(a>0，且aM1)互為反函數(shù).幕函數(shù)°了解幕函數(shù)的概念.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2，y=x3，y=X，y=x2的圖象，了解它們的變化規(guī)律.函數(shù)與方程結(jié)合二次函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).函數(shù)模型及其應(yīng)用了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用..1.2014?2018年全國(guó)卷丨的考查情況年份考查內(nèi)容分值2014第5題函數(shù)的奇偶性的判定5分第12題函數(shù)的零點(diǎn)（結(jié)合導(dǎo)數(shù)）第15題分段函數(shù)、解不等式5分5分2015第10題分段函數(shù)求值5分第12題圖象的對(duì)稱性、求值5分2016第8題幕、指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小5分第9題函數(shù)圖象（結(jié)合導(dǎo)數(shù)）5分2017第8題函數(shù)圖象（結(jié)合奇偶性）5分第9題單調(diào)性、對(duì)稱性5分2018第12題分段函數(shù)、不等式5分第13題已知函數(shù)值求參數(shù)5分2.2014?2018年全國(guó)卷II的考查情況年份考查內(nèi)容分值2014第11題已知單調(diào)性求參數(shù)5分第15題奇偶性、對(duì)稱性應(yīng)用5分2015第12題奇偶性與單調(diào)性應(yīng)用5分第13題求函數(shù)解析式中參數(shù)值5分2016第10題同一函數(shù)問題5分第12題函數(shù)圖象的對(duì)稱性質(zhì)5分2017第8題復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性5分第14題奇偶性、求值5分2018第3題函數(shù)圖象5分第12題函數(shù)的性質(zhì)，求值5分I■試題分析2014年至2018年全國(guó)卷I和卷II的10套試題直接考查本部分內(nèi)容的試題共21道，除2014年卷I考查了3道，占15分，其他各套都考查了2道，占10分.（以導(dǎo)數(shù)為主的解答題結(jié)合了函數(shù)的知識(shí)，但沒有統(tǒng)計(jì)在內(nèi)）函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容，常以客觀題的形式出現(xiàn)，主要考查函數(shù)的概念，分段函數(shù)的求值、求參數(shù)范圍；函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用；指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)等內(nèi)容.容易題、中等難度試題及較難試題都有出現(xiàn)..函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，函數(shù)的觀點(diǎn)和方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的全過程，是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)?在復(fù)習(xí)本部分知識(shí)時(shí)，要注意如下方面：加強(qiáng)函數(shù)概念的理解，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，能夠利用解析式求函數(shù)的值，要特別注意加強(qiáng)對(duì)分段函數(shù)的理解，加強(qiáng)函數(shù)與方程、分類討論及數(shù)形結(jié)合等思想方法的應(yīng)用意識(shí).理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義，切實(shí)掌握判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法，強(qiáng)化函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用意識(shí).熟練掌握利用函數(shù)性質(zhì)解決求函數(shù)最值、求函數(shù)零點(diǎn)、求參數(shù)范圍及解“函數(shù)”不等式等相關(guān)問題.在復(fù)習(xí)幕、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，要堅(jiān)持“定義概念）一解析式一圖象一性質(zhì)”這條主線.要注意掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算.要求熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象及其圖象變換，加強(qiáng)函數(shù)圖象的應(yīng)用意識(shí).對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)及方程根的復(fù)習(xí)，要理解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的實(shí)根和函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的等價(jià)性，掌握零點(diǎn)的存在性定理，能通過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù).函數(shù)是傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)這一部分的復(fù)習(xí)歷來師生都十分重視，由于導(dǎo)數(shù)的引入，對(duì)函數(shù)的復(fù)習(xí)的要求就有所變化，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是研究函數(shù)強(qiáng)有力的工具，有些問題在導(dǎo)數(shù)中研究變得更加輕松（如函數(shù)的單調(diào)性），根據(jù)全國(guó)卷高考對(duì)本單元的要求，在復(fù)習(xí)時(shí)，要適當(dāng)控制難度．

第第4講函數(shù)及其表示復(fù)習(xí)目標(biāo)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；了解映射的概念.2?在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).【■I課前預(yù)習(xí)⑦知識(shí)梳理函數(shù)的概念給定兩個(gè)非空的數(shù)集A和B,如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f對(duì)于A中任何一個(gè)數(shù)x,在B中都有唯一確定的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，那么稱fA-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x￡A，此時(shí)的x叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域，集合C=fx)lxWA}叫做函數(shù)的值域且CB.函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.函數(shù)的表示列表法：用表格的形式表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，稱為列表法.圖象法：用圖象把兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法，稱為圖象法.解析法：一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用自變量的解析式表示出來，這種方法稱為解析法.分段函數(shù)分段函數(shù)的定義：在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)稱為分段函數(shù).映射的概念從A到B的映射，A，B若不是數(shù)集，則這并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并如果兩個(gè)非空集合A與B之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系f而且對(duì)于A中的每一個(gè)從A到B的映射，A，B若不是數(shù)集，則這并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并函數(shù)是一種特殊的映射，映射不一定是函數(shù).個(gè)映射便不是函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的集?熱身練習(xí)1.考察下列圖象：7^1*A7^1*A解析解析其中能夠作為函數(shù)圖象的是A,B，C抓住函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.對(duì)每一個(gè)x,都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)才構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,表現(xiàn)在圖象上為在定義域范圍內(nèi)與x軸垂直的直線與圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，由此可知，A,B,C都能作為函數(shù)圖象，D不能作為函數(shù)圖象.(經(jīng)典真題)已知函數(shù)fx)=ax3—2x的圖象過點(diǎn)(一1,4)，則a=一2.宓3由f(x)=ax3~2x可得f(—1)=—a+2=4,所以a=—2.下列函數(shù)中，fx)與g(x)表示同一函數(shù)是(D)fx)=(x—1)0,g(x)=1fx)=x,g(x)=*x2fx)=x2，g(x)=(x+1)2fx)=lxl,g(x)=px2EESA的定義域不同，B的值域不同，C的對(duì)應(yīng)法則不同，只有D的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同.f1一/x,x±0,4?設(shè)fx)=L門則f[f(—2)]=(C)I2x,x<0,D.|D.|躍3因?yàn)橐?V0，所以f(—2)=2—=土>0，所以兀bw；,1—2W5.已知函數(shù)滿足fx—1)=x2—3，則f(2)的值為(B)A.—2B.6C.1D.0瞇血(方法一)令x—1=t，則x=t+1，所以f(t)=(t+1)2—3，所以f(2)=(2+1)2—3=6.(方法二fx—1)=(x—1)2+2(x—1)—2，所以fx)=x2+2x—2，所以f(2)=22+2X2—2=6.(方法三)令x—1=2，則x=3，所以f(2)=32—3=6.[.|高頻考點(diǎn)哲點(diǎn)求函數(shù)的定義域(1)函數(shù)fx)=1—-+lg(1+x)的定義域是1xA.(一8,—1)B.(1,+^)C.(—1,1)U(1,+^)D.(—8,+^)1-+xv1(2)設(shè)函數(shù)fx)=lny二，貝y函數(shù)g(x)=f2)+A；)的定義域?yàn)?x2x圖3圖3(1)要使f(x)有意義「1—xM0,x+1>0，解得x>—1且xM1.故函數(shù)fx)的定義域?yàn)?一1,1)U(1,+b).(2)要使fx)=ln|一X有意義，則!一X>0'所以一1<x<1.X1則函數(shù)g(x)=f2)+f(-)的定義域?yàn)?X<_1<2<1，1所以xW(—2,一1)U(1,2).、—1<丄<1,x答案(1)C(2)(—答案(1)C(2)(—2,—1)U(1,2)點(diǎn):氓①若函數(shù)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算而得到的，則它的定義域是各基本函數(shù)定義域的交集;變式採(cǎi)究」②已知函數(shù)fx)的定義域?yàn)镈,則fg(x)]的定義域?yàn)闈M足g(x)WD的x的取值范圍.變式採(cǎi)究」1.(1)函數(shù)fx)=log2(x2+2x—3)的定義域是(D)A.[—3,1]B.(—3,1)C.(—I—3]U[1,+r)D.(—I—3)U(1,+r)⑵(2018?重慶模擬)已知函數(shù)fx)的定義域?yàn)閇—1,2]，則函數(shù)y=f(x)+f(—x)的定義域是(A)A.[—1,1]B.[—2,2]C.[—1,2]D.(—2,1]殛(1)要使函數(shù)有意義，只需x2+2x—3>0,即(x+3)(x—1)>0,解得x<—3或x>1.故函數(shù)的定義域?yàn)?一i,—3)U(1,+i).(2)因?yàn)閒x)的定義域?yàn)閇—1,2],「一1WxW2,要使函數(shù)y=f(x)+f(—x)有意義，貝R一一[—1W—xW2,解得一1WxWl.所以y=fx)"—x)的定義域?yàn)閇—1,1].宓(1)(2016?浙江卷)設(shè)函數(shù)fx)=x3+3x2+1,已知aMO,且f(x)—f(a)=(x—b)(x—a)2,x^R,則實(shí)數(shù)a=,b=.lx2+13⑵已知fx+i)=x2+x，貝yfx)=.殛⑴先利用函數(shù)解析式將fx)—f(a)=(x—b)(x—a)2的左邊表示出來，再化簡(jiǎn)右邊，然后利用多項(xiàng)式相等的條件求解即可.因?yàn)閒x)=x3+3x2+1,則f(a)=a3+3a2+1,所以fx)—f(a)=(x—b)(x—a)2=(x—b)(x2—2ax+a2)=x3—(2a+b)x2+(a2+2ab)x—a2b=x3+3x2—a3—3a2.TOC\o"1-5"\h\z2a+b=—3,①由此可得a2+2ab=0,②、a3+3a2=a2b.③

因?yàn)閍MO,所以由②得a=~2b,代入①式得b=1,a=—2.(2)令t=*+1,則x=tZ^1(tM1)，于是加千+十=1+(t-1)2+3(t-1)(t—1)2t—1=t2+t—1(tM1).所以f(x)=x2+x—1(xM1).答案(1)—21(2)x2+x—1(xM1)答案求函數(shù)解析式的常用方法：待定系數(shù)法：若已知函數(shù)類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其他所有形式已知的函數(shù))，可用待定系數(shù)法；換元法：已知復(fù)合函數(shù)九g(x)］的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.變式採(cǎi)究2.(1)已知f(\；；+1)=x+2、匚，則f(x+1)=x2+2x(x^0).(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f(8)=15,f(14),f(5),f(2)成等比數(shù)列，則f(x)=2x—1.感蟲3⑴設(shè)u="Jx+121,則x=(u—1)2,所以f(u)=(u—1)2+2(u—1)=u2—1,所以f(x)=x2—1(x21),所以f(x+1)=(x+1)2—1=x2+2x(x20).(2)設(shè)f(x)=ax+b(aMO),由f(8)=15，得8a+b=15，①又f(14),f(5),f(2)成等比數(shù)列，所以f(5)]2=f(2)f(14),a2+6ab=0.得(5a+b)2=(14aa2+6ab=0.因?yàn)閍MO,所以a=—2b,②3由①②得a=2,b=—1,所以f(x)=2x—1.分段函數(shù)跡>(2017?山東卷)設(shè)跡>(2017?山東卷)設(shè)fx)=“1、>1若f(a)=f(a+1)，.2(x—1),xM1.A.2B.4C.6D.8先由f(a)=f(a+1)求出a,再求f(丄).求f(a)和f(a+1)時(shí)，將a,a+1代入分段函數(shù)的哪a一個(gè)表達(dá)式中？這就必須依據(jù)分段函數(shù)的定義域?qū)進(jìn)行分類討論.価若0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得a=2(a+1—1)，所以a=4，所以f(1)=A4)=2X(4—1)=6.若a三1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得2(a—1)=2(a+1—1)，此方程無解.

綜上幾+)=6.專C??(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，“分段求解”是解決分段函數(shù)的基本原則.(2)在求分段函數(shù)的值時(shí)，一定要注意自變量的值所在的區(qū)間，再代入相應(yīng)的解析式，自變量的值不確定時(shí)，要分類討論.變式採(cǎi)究3.(20183.(2018?全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,xW0,1,x>0.則滿足fx+1)<f(2x)的x的取值范圍是(D)A.(-°,-1]B.(0,+°)C.(-1,0)D.(-°,0)魁3(方法一：利用分段函數(shù)分段求解)x+1W0,①當(dāng)即xW—1時(shí)，fx+1)<f(2x),①當(dāng)2xW0,即為2-仗+1)<2-牛即一(x+1)<-2x，解得xV1.因此不等式的解集為(一°°，—1].②當(dāng)x+1W0②當(dāng)x+1W0,2x>0時(shí)，不等式組無解.③當(dāng)x+1>0,2xW0,即一1VxWO時(shí)，fx+1)Vf(2x),即1<2亠，解得xVO.因此不等式的解集為(一1,0).④當(dāng)fx+1>0,④當(dāng)即x>0時(shí)，fx+1)=1,f(2x)=1,不合題意.2x>0,綜上，不等式fx+1)<f(2x)的解集為(一°,0).(方法二：借助函數(shù)圖象求解)因?yàn)閒(x)=因?yàn)閒(x)=，2-x,xW0,1,x>0,所以函數(shù)fx)的圖象如圖所示.函數(shù)fx)為減函數(shù),由圖可知