2001年數(shù)學(xué)競(jìng)賽高中

猶他州數(shù)學(xué)競(jìng)賽猶他州數(shù)學(xué)競(jìng)賽(高中(A) (B) (C)- (D)i (E)-11.1,,且i -1是 )(A)∠BTE(B)∠EB:x4-x3+x2-x+如果f(x) 則f(i)= )(A) (B) (C)- (D)- (E)f(x)=x3,g(x)=Ax+B.則滿足f(1)g(1)的A和B的值為 )A=0,B= (B)A=1,B=(C)A=3,B=- (D)A=-2,B=f(x)=x3-1的反函數(shù)是 )

(C)∠STB(D)∠B(E)如果(xyz5x-3y+2z=3,2x+4y-z=7,x-11y+4z=3的解,那么,z的值為 )

1f-1(x)=(x+1)- -

f-1(x)=(x3-1)-

(A) (B)- (C) (D)3

(E) (x)=(x+1)(E)3

3(D反函數(shù)不

如果函ff(n2)=f(n)+2,n≥2f(2)=1,那么,f(256)= ) 12等于 )

(A) (B) (C) (D) (E)(A) (B) (D) 14.滿足1>1的實(shí)數(shù)x的集合是 )(E) x+ x-(26)2-1的最大素因子是 )(A) (B) (C) (D) (x2+1)(x2-

(A)x (B)x<- (C)x2x<--1<x< (E)15.如果T3ln(x2+lxl0x0,,2 ,得 ) +l= )x3+x2+x+(A)x- (B)x+ (C)1- (D)-1-(E)滿足logx10=log4100的x的值是 )

l+l+l-

Tl2-4el2-4el+(A) (B) (Cln (D Elog 16.給定正整xy,則10-1=1的解(x,23 23

共有 )個(gè)

-ln(2+3)= ) (A (B (C 3ln3-ln(2- (B) +ln(2-33(C)ln -ln(2-3) (D)ln3+ln(2-3)(E)33|x+1|<|2x+1|的解集是 )

E無窮如果xlog2x+logx2=4log2x )(A)2± (B)2± (C)2

x1x

x<

2x3

(D) (E)滿 =ex+e-x的x的正值是 )(C)x<-2和x>0(D)-1<x< (E) (A)1ln(4 (B)1ln(4 如果r1r2是方程x2-x+1=0的根,那么 (C)2ln(4 (D)2ln(4 r1+r2= )10+210+2

(A)(8 (B)(4 (C)135使f(x)=-2x5+4x3-2x2+5為0的有 (D)11, (E)值的個(gè)數(shù)是 ) (A)1(B)2(C)3(D)4(E)b,f(x)=x4+(6-b)x3+(11-6b)x2+(6-11b)x-6b的負(fù)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)可能是().(Ab有關(guān)(B13(C(D) (E)f(x)=x34x+5的圖像在x1處的切線在x軸上的截距是().

平面上有一點(diǎn)P(xy)如果點(diǎn)P到(3,0的距離與點(diǎn)P到(0,36,,點(diǎn)P必須滿足().3(x-2)2+3(y-2)2+3xy=3(x-2)2+3(y-2)2+2xy=3(x-2)2+3(y-2)2+3xy=3(x-2)2+3(y-2)2+2xy= (E) 概率是 )(A)- (B) (C)- (D) (E)

(A)

(C)

(E)Sx的正方形

128(B)

(D)x0x0+h,我們用dAx0·h表示S的面積變d的近似值,那么,這個(gè)近似值的絕對(duì)誤差是 )

2C是射線AEBDABC.BAE30°BC,0(A) (B)2 (C) (D) (E) )0fx)cos2x2+π)sin2x2]cosx32x的導(dǎo)數(shù)是.[8xcosx2·sinx2]cos(x3+2x)-[cos2(x2+sin2x2]sin(x3+2x)·(3x2+[-2cos(x2+π)·sin(x2+π)+2cos·sinx2]cos(x3+2x)-[cos2(x2+sin2x2]sin(x3+2x)·(3x2+22cosx2·sinx2·2x-2sinx2cos-sin(x3+2x)·(3x2+ (E)不共線的三點(diǎn)確定三條直線,現(xiàn)給定8個(gè)點(diǎn)沒有三點(diǎn)是共線的,則這8個(gè)點(diǎn)確定的直線的()(A) (B) (C) (D) (E)函數(shù)f(x) x+4-3的值域是 )x-

0～18為證明平面上凸N邊形內(nèi)角和為(2N-5)180°(N>2),下面是一個(gè)錯(cuò)誤的證法,第一個(gè)錯(cuò) ).第一步:對(duì)k=3,,三角=第二步k是一個(gè)大于3的確定的正整數(shù),假設(shè)凸k邊形內(nèi)角和是(2k-5)18°第三步一個(gè)凸(k+1)邊形,可以選擇兩個(gè),用一條線段將其連結(jié)起來,分成一個(gè)0,30,6(0,

∪1,

(-∞,0)∪(0,(E)

k邊形和一個(gè)三角(D第四步:凸k1邊形內(nèi)角和是2(k1)-5180°E第五步由數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)任意整數(shù)N>2N邊形內(nèi)角和是2N-5設(shè)f(x) 對(duì)所有x均滿0x為無理xf(x)≤g(x)的函數(shù)g(x)是 )g(x)=sin (B)g(x)=

上,數(shù)字1,2,3,4各標(biāo)兩面5678各標(biāo)一面,12面的各面出現(xiàn)的概率是相同的.這個(gè)十二面兩次落下的結(jié)果的總和是6的概率是().(C)g(x)= (D)g(x)=| (E) () () () () () )

A B C D 過三4,5,63和2

) 33有100公差為4的等差數(shù)列的和為20300,則此數(shù)列的第一項(xiàng)是 )(A) (B) (C) (D) (E)

-1<x≤-12無窮級(jí)數(shù)1-4 )

+1-

|x+1|<|2x++?的和 Ζx+1<-2x-1Ζx< 3(A) (B)

5

E)3 x>-1, )

|x+1|<|2x+Ζx+1<2x+1Ζx>,|x1|<|2x1|的解32(3+2(C)2(3-2

2(3+2232(3-2

(E)

x<-2x3(B)(B)ABCDAB=4BC1CD= )

(A)2+346+8(C)46+8(E)

(B)2(D)-2+3

(E)46-8(146-84x+8y-2z=0,即2x+4y-z=0,與(2)故方程組無解在△ABC中,AB=6,BC=5,CA=4.若K 13.(C)B k-k于BC邊并有KC=2,那么,AK= ) 由f(n2)=f(n)+2,有f(kΠk∈N,f(n2)=f(n)2k

)=f( )+2(A) (B)4(C) (D) (E)等邊△ABC和等邊△ABD在兩個(gè)相互垂直的平面上,則∠CAD=( ).1

f(256)=f(223)=f(2)2×3(D)當(dāng)x<-1時(shí),有x-2<x+1<0,從而, cos-12(C)cos-1-

cos-(D)

x+1;-1<x2,x1>0>x-2,不等式tan-

1+tan-

(E)1的值是 )

x-立;當(dāng)x>2有x+1>x-2>0

x-

1則1>1Ζ-1<x(A) (B) (C) (D) (E) x+ x+ x-滿足cot12=cot1x+cot17的x值 )

(A)由T3ln(x2+lx)]x2+lxe (A) (B) (C) (D) (E)(提供李直譯

](2x+2x+l(C)由10-

=4e3+ll+(∵x,l>l+=1]50y=x2(y+5)]x2=50y1.(D).2.(E).3.(A).4.(D).5.(E).6.(A).(D).8.(B)

y+

9.(C)x≤-1,

若(y,5)1,有(yy5)1,則(y+5|50=×2.又y+5>2,則(y+5)|52,與(y+5,5)=15|y|x+1|<|2x+

50

Ζ-x-1<-2x-1Ζx<0

y5y0,x2y0y

+1=

0在(1)中,由y+5>y有x2< A(x0+h)-A(x0)=(x0+h)2-x2=2hx0+h20因此,x只可取5,6,7中的數(shù).經(jīng)驗(yàn)算,(x,y) 又dA(x)·h=2xh為A(x)變化的近似值,有兩組正整數(shù)解(5,5)(7,245) d (A)令log2x=t,logx2

1,t+

=4,t2

絕對(duì)誤差h223.(D)∵f(x)=[cos2(x2+π)+sin2x2]cos(x3+24t+1=0解得t23(B)ex=t,e-x=1t

=[cos2x2+sin2x2]cos(x3+2=cos(x3+2x)∴f(x)=-sin(x3+2x)·(3x2+2)24.(E)t+t

10,即t2- 10t+1=0. 線.所以,8個(gè)點(diǎn)確定的直線的數(shù)目是C2=28.8解得t 10±6.x=lnt= 10±6 25.(C) z=x-5,x+∵10+6>1,10-6 <1 f(x+

-3

z+-3z+ 10+

10+10+6

x- +z+∵z9≥0zz+z+ ∴xz+ 3≥3,且z93≠.=1ln(4 15) ≠.2(E) 26.(D)

≤且z+9+

+ 設(shè)f(x)=0的有理數(shù)根為x1=p,其中p,q ∵sin2<2=2f(2),(-2)<0=(-2)·f(-2)qZpq)1 f(x1)=- + -

2+5=0

1 <2=2 ∴(A(B(C不滿足題設(shè)要求xx即2p5=(4p3-2p2q5q3)q2

xfx)

0xq2|2p5但pq)1,q2|2qfx)0的任一有理數(shù)x1

x≤|x|(D) f(x1)=-2x5+4x3-2x2+5≡1(mol

A(4,

,B

6

,C(2

BC的中點(diǎn)f(x)=0.故f(x)=0無有理數(shù)根(B)x4+(6-b)x3+(11-6b)x2+(6-11b)x-6=(x3+6x2+11x+6)(x-=(x+1)(x+2)(x+3)(x-b)∵b>0

(42),1,BC的中垂線2y-2=-2(x-4)ABD為(5,4)AC=BCy-4=1-∴fx)0的負(fù)實(shí)數(shù)根3個(gè):-1,-2,-(E)f(x3x24f(1)7f(1)fx)=x34x5在(1,10的切線y-10=7(x-1),此切線x軸上的截距-37(A)S的面積為A(x)=x2,則當(dāng)xx0→x0+(

x-52-ABC的圓的圓心坐標(biāo)xy滿足y-2=-2(x-4),y-4=x-x=11y=8 (B)(x-(x-3)2+x2+(y-3)] x2+(y-3)2=6+(x-]3(x2+y2)-12(x+y)+2xy=zz+]3(x-2)2+3(y-2)2+2xy=(A)

(D)AB2+AD2+AB=BC2+CD2+BC·CD10=109·8=15 6·210

即42+AD2=12+72+(C)=1(180°-=1(180°-∠A-2=1(150°-∠BCA)

則AD2+4AD= 圖AD=-235(C)由BK=3 =5, = 2 2 ∵cosB

AB2+BC2-

AB2+BK2- (B)用數(shù)學(xué)歸納法證明

62+52-∴2×6×5(B)

62+32-A2×6×3AK32第一步:證明當(dāng)k3,結(jié)論成立;第二步:設(shè)(A)6=5+1=4+2=3+3=2+4=1+