物理光學與應用光學(第二版)課件第五章

第5章晶體的感應雙折射5.1電光效應5.2聲光效應5.3晶體的旋光效應與法拉第效應例題5.1電

光

效

應

5.1.1電光效應的描述由前面的討論已知，光在晶體中的傳播規(guī)律遵從光的電磁理論，利用折射率橢球可以完整而方便地描述晶體折射率在空間各個方向的取值分布。顯然，外加電場對晶體光學特性的影響，必然會通過折射率橢球的變化反映出來。因此，可以根據(jù)晶體折射率橢球的大小、形狀和取向的變化，來研究外電場對晶體光學特性的影響。由空間解析幾何理論，描述晶體光學各向異性的折射率橢球在直角坐標系(O－x1x2x3)中的一般形式為(5.1-1)若令

(5.1-2)則折射率橢球的表示式可改寫為

(5.1-3)如果將沒有外加電場的晶體折射率橢球記為

(5.1-4)外加電場后晶體的感應折射率橢球用(5.1-3)式表示，則外加電場引起折射率橢球的變化，用折射率橢球系數(shù)的變化ΔBij描述將很方便，晶體的感應折射率橢球可表示成在這里，僅考慮ΔBij是由外加電場引起的，它應與外加電場有關系。一般情況下，ΔBij可以表示成ΔBij=γijkEk+hijpqEpEq+…i,j,k,p,q=1,2,3(5.1-6)(5.1-5)上式中，等號右邊第一項描述了ΔBij與Ek呈線性關系，［γijk］是三階張量，稱為線性電光系數(shù)，由這一項所描述的電光效應叫做線性電光效應，或普克爾(Pockels)效應；等號右邊第二項描述了ΔBij與外加電場的二次關系，［hijpq］是四階張量，稱為二次非線性電光系數(shù)，由這一項所描述的電光效應叫作二次電光效應，或克爾(Kerr)效應。5.1.2晶體的線性電光效應1.線性電光系數(shù)如上所述，在主軸坐標系中，無外加電場晶體的折射率橢球為(5.1-7)外加電場后，由于線性電光效應，折射率橢球發(fā)生了變化，它應表示為一般折射率橢球的形式

(5.1-8)根據(jù)前面的討論，折射率橢球的系數(shù)［Bij］實際上是晶體的相對介電常數(shù)［εij］的逆張量，故［Bij］也是二階對稱張量，有Bij=Bji。因而［Bij］只有六個獨立分量，(5.1-8)式可簡化為(5.1-9)將(5.1-9)式與(5.1-7)式進行比較可見，外加電場后，晶體折射率橢球系數(shù)［Bij］的變化為(5.1-10)考慮到［Bij］是二階對稱張量，將其下標i和j交換其值不變，所以可將它的二重下標簡化成單個下標，其對應關系為(5.1-11)相應的［ΔBij］也可簡化為有六個分量的矩陣對于線性電光系數(shù)［γijk］，因其前面兩個下標i,j互換對［ΔBij］沒有影響，所以也可將這兩個下標簡化為單個下標。經過這些簡化后，只計線性電光效應的(5.1-6)式，可以寫成如下形式：ΔBi=γijEj

i=1,2,…,6;j=1,2,3(5.1-13)(5.1-12)相應的矩陣形式為

(5.1-14)式中的(6×3)γ矩陣就是線性電光系數(shù)矩陣，它可以描述外加電場對晶體光學特性的線性效應。2.幾種晶體的線性電光效應1)KDP型晶體的線性電光效應KDP(KH2PO4,磷酸二氫鉀)晶體是水溶液培養(yǎng)的一種人工晶體，由于它很容易生長成大塊均勻晶體，在0.2～1.5μm波長范圍內透明度很高，且抗激光破壞閾值很高，因此在光電子技術中有廣泛的應用。它的主要缺點是易潮解。KDP晶體是單軸晶體，屬四方晶系。屬于這一類型的晶體還有ADP(磷酸二氫氨)、KD*P(磷酸二氘鉀)等，它們同為42m晶體點群，其外形如圖5-1所示，光軸方向為x3軸方向。圖5-1KDP型晶體外型圖(1)KDP型晶體的感應折射率橢球KDP型晶體無外加電場時，折射率橢球為旋轉橢球，在主軸坐標系(折射率橢球主軸與晶軸重合)中，折射率橢球方程為(5.1-15)式中，

分別為單軸晶體的尋常光和非常光的主折射率。

當晶體外加電場時，折射率橢球發(fā)生形變。通過查閱手冊，可以得到KDP(42m晶類)型晶體的線性電光系數(shù)矩陣為，(5.1-16)(5.1-17)由(5.1-14)式,其［ΔＢi］為因此

(5.1-18)再由(5.1-10)、(5.1-9)式可得KDP型晶體的感應折射率橢球表示式為(5.1-19)(2)外加電場平行于光軸的電光效應相應于這種工作方式的晶片是從KDP型晶體上垂直于光軸方向(x3軸)切割下來的，通常稱為x3-切割晶片。在未加電場時，光沿著x3方向傳播不發(fā)生雙折射。當平行于x3方向加電場時，感應折射率橢球的表示式為(5.1-20)

或

(5.1-21)為了討論晶體的電光效應，首先應確定感應折射率橢球的形狀，也就是找出感應折射率橢球的三個主軸方向及相應的長度。為此，我們進一步考察感應折射率橢球的方程式。由(5.1-21)式可以看出，這個方程的x23項相對無外加電場時的折射率橢球沒有變化，說明感應折射率橢球的一個主軸與原折射率橢球的x3軸重合，另外兩個主軸方向可繞x3軸旋轉得到。假設感應折射率橢球的新主軸方向為，則由 構成的坐標系可由原坐標系(O-x1x2x3)繞x3軸旋轉α角得到，相應的坐標變換關系為(5.1-22)將上式代入(5.1-21)式，

經過整理可得：

由于x1′，x2′，x3′為感應折射率橢球的三個主軸方向，所以上式中的交叉項為零，即應有(5.1-23)因為該式中的γ63、E3不為零，只能是cos2α-sin2α=0所以α=±45°故x3-切割晶片沿光軸方向外加電場后，感應折射率橢球的三個主軸方向為原折射率橢球的三個主軸繞x3軸旋轉45°得到，該轉角與外加電場的大小無關，但轉動方向與電場方向有關。若取α=45°，折射率橢球方程為(5.1-24)或寫成

或

(5.1-26)(5.1-25)該方程是雙軸晶體折射率橢球的方程式。這說明，KDP型晶體的x3-切割晶片在外加電場E3后，由原來的單軸晶體變成了雙軸晶體。其折射率橢球與x1Ox2面的交線由原來的r=no的圓，變成現(xiàn)在的主軸在45°方向上的橢圓，如圖5-2所示。圖5-2折射率橢球與x1Ox2面的交線

現(xiàn)在進一步確定感應折射率橢球的三個主折射率。首先，將(5.1-24)式變換為

因為γ63的數(shù)量級是10－10cm/V，E3的數(shù)量級是104V/cm，所以γ63E3<<1,故可利用冪級數(shù)展開，并只取前兩項的關系，將上式變換成(5.1-27)由此得到感應折射率橢球的三個主折射率為

(5.1-28)以上討論了x3-切割晶片在外加電場E3后，光學特性(折射率)的變化情況。下面，具體討論兩種通光方向上光傳播的雙折射特性。①光沿x3′方向傳播。在外加電場平行于x3軸(光軸)，而光也沿x3(x3′)軸方向傳播時，對于γ63貢獻的電光效應來說，叫γ63的縱向運用。由第4章的討論知道，在這種情況下，相應的兩個特許偏振分量的振動方向分別平行于感應折射率橢球的兩個主軸方向(x1′和x2′)，它們的折射率由(5.1-28)式中的n1′和n1′給出，這兩個偏振光在晶體中以不同的折射率(不同的速度)沿x3′軸傳播，當它們通過長度為d的晶體后，其間相位差由折射率差決定，表示式為

(5.1-30)(5.1-29)式中，Ed恰為晶片上的外加電壓U,故上式可表示為

(5.1-31)通常把這種由外加電壓引起的二偏振分量間的相位差叫做“電光延遲”。顯然，γ63縱向運用所引起的電光延遲正比于外加電壓，與晶片厚度d無關。(5.1-32)實際上，可以通過改變晶體上的外加電壓得到不同的電光延遲，因而就使得電光晶體可以等效為可控的可變波片。例如，當電光延遲為j=π/2、π和2π時，電光晶體分別相應于四分之一波片、半波片和全波片。由于外加電壓的大小直接反映了晶體電光效應的優(yōu)劣，因此在實際應用中，人們引入了一個表征電光效應特性的很重要的物理參量——半波電壓Uλ/2或Uπ，它是指產生電光延遲為j=π的外加電壓。由(5.1-31)式可以求得半波電壓為它只與材料特性和波長有關。例如，在λ=0.55μm的情況下，KDP晶體的no=1.512，γ63=10.6×10－10cm/V，Uλ/2=7.45kV；KD*P晶體的no=1.508,γ63=20.8×10－10cm/V，Uλ/2=3.8kV。②光沿x2′(或x1′)方向傳播。當外加電壓平行于x3′軸方向，光沿x2′(或x1′)軸方向傳播時，γ63貢獻的電光效應叫γ63的橫向運用。這種工作方式通常對晶體采取45°-x3切割，即如圖5-3所示，晶片的長和寬與x1、x2軸成45°方向。光沿晶體的［110］方向傳播，晶體在電場方向上的厚度為d，在傳播方向上的長度為l。如前所述，當沿x3方向外加電壓時，晶體的感應折射率橢球的主軸方向系由原折射率橢球主軸繞x3軸旋轉45°得到，因此，光沿感應折射率橢球的主軸方向x2′傳播時，相應的兩個特許線偏振光的折射率為n1′和n3′，該二光由晶片射出時的相位差(“電光延遲”)為圖5-3用于γ63橫向運用的KDP晶片上式中，等號右邊第一項表示由自然雙折射造成的相位差；第二項表示由線性電光效應引起的相位差。

(5.1-33)與γ63縱向運用相比,γ63橫向運用有兩個特點：i)電光延遲與晶體的長厚比l/d有關，因此可以通過控制晶體的長厚比來降低半波電壓，這是它的一個優(yōu)點；ii)橫向運用中存在著自然雙折射作用，由于自然雙折射(晶體的主折射率no、ne)受溫度的影響嚴重，所以對相位差的穩(wěn)定性影響很大。實驗表明，KDP晶體的Δ(no－ne)/ΔT約為1.1×10-5/℃，對于0.6328μm的激光通過30mm的KDP晶體，在溫度變化1℃時，將產生約1.1π的附加相位差。為了克服這個缺點，在橫向運用時，一般均需采取補償措施。經常采用兩種辦法：其一，用兩塊制作完全相同的晶體，使之90°排列，即使一塊晶體的x1′和x3′軸方向分別與另一塊晶體的x3′和x1′軸平行，如圖5-4(a)所示；其二，使一塊晶體的x1′和x3′軸分別與另一種晶體的x1′和x3′軸反向平行排列，在中間放置一塊1/2波片，如圖5-4(b)所示。圖5-4補償自然雙折射的兩種晶體配置就補償原理而言，這兩種方法相同，都是使第一塊晶體中的o光進入第二塊晶體變成e光，第一塊晶體中的e光進入第二塊晶體變?yōu)閛光，而且二晶體長度和溫度環(huán)境相同，所以,由自然雙折射和溫度變化引起的相位差相互抵消。因此，由第二塊晶體射出的兩光束間，只存在由電光效應引起的相位差：(5.1-34)相應的半波電壓為

(5.1-35)與(5.1-32)式進行比較有

(5.1-36)顯然，可以通過改變晶體的長厚比，降低橫向運用的半波電壓，使得橫向運用時的半波電壓低于縱向運用。但由于橫向運用時必須采取補償措施，結構復雜，對兩塊晶體的加工精度要求很高，所以，一般只有在特別需要較低半波電壓的場合才采用。2)LiNbO3型晶體的線性電光效應LiNbO3(鈮酸鋰)以及與之同類型的LiTaO3(鉭酸鋰)、BaTaO3(鉭酸鋇)等晶體，屬于3m晶體點群，為單軸晶體。它們在0.4～5μm波長范圍內的透過率高達98%，光學均勻性好，不潮解，因此在光電子技術中經常采用。其主要缺點是光損傷閾值較低。LiNbO3型晶體未加電場時的折射率橢球為旋轉橢球,即式中， no和ne分別為單軸晶體的尋常光和非常光的主折射率。(5.1-37)當晶體外加電場時，由(5.1-14)式及LiNbO3(3m晶類)型晶體的線性電光系數(shù)矩陣，有(5.1-38)由此得到

(5.1-39)將這些分量通過(5.1-10)式代入(5.1-9)式，即得LiNbO3型晶體外加電場后的感應折射率橢球方程：(5.1-40)下面分兩種情況進行討論：①電場平行于x3軸的橫向運用。當外加電場平行于x3軸時，

E1=E2=0，(5.1-40)式變?yōu)?/p>

(5.1-41)

類似前面的處理方法，(5.1-41)式可表示

(5,1-42)

該式中沒有交叉項，因此在E3電場中，LiNbO3型晶體的三個主軸方向不變，仍為單軸晶體，只是主折射率的大小發(fā)生了變化，近似為(5.1-43)no′和ne′為在x3方向外加電場后，晶體的尋常光和非常光的主折射率，其主折射率之差為(5.1-44)上式等號右邊第一項是自然雙折射；第二項是外加電場E3后的感應雙折射，其中(n3eγ33－n3oγ13)是由晶體材料決定的常數(shù)，為方便起見，常將其寫成n3oγ*,γ*=(ne/no)3γ33－γ13稱為有效電光系數(shù)。LiNbO3型晶體加上電場E3后，由于x3軸仍為光軸，因而其縱向運用沒有電光延遲。但可以橫向運用，即光波沿垂直x3軸的方向傳播。當光波沿x1軸(或x2軸)方向傳播時，出射沿x2軸和x3軸(或沿x1軸和x3軸)方向振動的二線偏振光之間，將產生受電場控制的相位差：(5.1-45)其中，l為光傳播方向上的晶體長度；d為電場方向上的晶體厚度；U3為沿x3方向的外加電壓。該式表明，LiNbO3型晶體x3軸方向上外加電壓的橫向運用，與KDP型晶體45°-x3切片的γ63橫向運用類似，有自然雙折射的影響。②電場在x1Ox2平面內的橫向運用。這種工作方式是電場加在x1Ox2平面內的任意方向上，而光沿著x3方向傳播。此時，E1、E2≠0,E3=0，代入(5.1-40)式，可得感應折射率橢球為(5.1-46)顯然，外加電場后，晶體由單軸晶體變成了雙軸晶體。為了求出相應于沿x3方向傳播的光波折射率，根據(jù)折射率橢球的性質，需要確定垂直于x3軸的平面與折射率橢球的截線。這只需在(5.1-46)式中令x3=0即可。由此可得截線方程為(5.1-47)這是一個橢圓方程。為了方便地求出這個橢圓的主軸方向和主軸值，可將(5.1-47)式主軸化，使(O－x1x2x3)坐標系繞x3軸旋轉θ角，變?yōu)? 坐標系，其變換關系為(5.1-48)由此,(5.1-47)式變?yōu)?/p>

經整理后得

若x1′、x2′為主軸方向，則上式中的交叉項應等于零，

有

(5.1-49)因為E1、E2是外加電場E在x1,x2方向上的分量，E的取向不同，則E1,E2不同，所以截線橢圓的主軸取向也不同。當電場E沿x1方向時，E1=E,E2=0，則相應的θ=45°，即截線橢圓的主軸相對原方向x1,x2旋轉了45°；當電場E沿x2方向時，E1=0,E2=E,θ=0°，即截線橢圓主軸方向不變。實際上，當E=E1時，感應折射率橢球的主軸除繞x3軸旋轉45°外，還再繞x1′軸旋轉一個小角度α，其α角大小滿足當E=E2時，感應折射率橢球的主軸繞x1軸旋轉一個小角度β，

β角大小滿足

(5.1-50)(5.1-51)由于α和β都很小，通常均略去不計。于是，在感應主軸坐標系中，截線橢圓方程為(5.1-52)利用(1±x)n≈1nx的關系，上式可寫成

因此

(5.1-53)(5.1-54)若外加電場E與x1軸的夾角為γ，

則

(5.1-55)(5.1-56)將(5.1-56)式與(5.1-49)式進行比較，可見

tan2θ=cotγγ=90°－2θ

(5.1-57)因此，將(5.1-57)式代入(5.1-55)式，再將E1、E2關系式代入(5.1-54)式得(5.1-58)當光沿x3方向傳過l距離后，由于線性電光效應引起的電光延遲為

(5.1-59)相應的半波電壓為

(5.1-60)式中，l是光傳播方向上晶體的長度；d為外加電場方向上晶體的厚度。由此可見，在LiNbO3型晶體x1Ox2平面內外加電場，光沿x3方向傳播時，可以避免自然雙折射的影響，同時半波電壓較低。因此，一般情況下，若用LiNbO3晶體作電光元件，多采用這種工作方式。在實際應用中應注意，外加電場的方向不同(例如，沿x1方向或x2方向)，其感應主軸的方向也不相同。3)GaAs、BGO型晶體的線性電光效應GaAs(砷化鎵)晶體屬于43m晶體點群，這一類晶體還有InAs(砷化銦)、CuCl(氯化銅)、ZnS(硫化鋅)、CdTe(碲化鎘)等；BGO(鍺酸)晶體屬于23晶體點群，這一類晶體還有BSO(硅酸)等，它們都是立方晶體，在電光調制、光信息處理等領域內，有著重要的應用。這類晶體未加電場時，光學性質是各向同性的，其折射率橢球為旋轉球面，方程式為(5.1-61)式中，x1,x2,x3坐標取晶軸方向。它們的線性電光系數(shù)矩陣為

(5.1-62)因此，在外加電場后，感應折射率橢球變?yōu)?/p>

在實際應用中，外加電場的方向通常有三種情況：電場垂直于(001)面(即沿x3軸方向)，垂直于(110)面和垂直于(111)面。(5.1-63)(1)電場垂直于(001)面的情況當外加電場垂直于(001)面時，其情況與KDP型晶體沿x3軸方向加電場相似，用類似的處理方法可以得到如下結論：晶體的光學性質由各向同性變?yōu)殡p軸晶體，感應折射率橢球的三個主軸方向由原折射率橢球的三個主軸繞x3軸旋轉45°得到，如圖5-5所示。感應主折射率分別為(5.1-64)圖5-5E垂直(001)面的感應主軸

當光沿x3軸方向傳播時，電光延遲為

(5.1-65)式中，U3是沿x3軸方向的外加電壓。當光沿x1′軸方向(或x2′軸方向)傳播時，電光延遲為(5.1-66)式中，l是沿光傳播方向上晶體的長度；d是沿外加電壓方向上晶體的厚度。

(2)電場垂直于(110)面的情況當外加電場方向垂直于(110)面時，如圖5-6所示，感應主軸x3′垂直于(110)面，x1′和x2′的夾角為(001)面所等分，三個感應主折射率分別為(5.1-67)這時晶體由各向同性變?yōu)殡p軸晶體，當光沿x3′方向傳播時，電光延遲為

(5.1-68)式中，l是晶體沿x3′軸方向的長度；d是晶體沿垂直于(110)面的厚度。

圖5-6E垂直于(110)面的感應主軸(3)電場垂直于(111)面的情況當外加電場方向垂直于(111)面時，晶體由各向同性變?yōu)閱屋S晶體，光軸方向(x3′)就是外加電場的方向，另外兩個感應主軸x1′和x2′的方向可以在垂直于x3′軸的(111)面內任意選取，如圖5-7所示。相應的三個主折射率為(5.1-69)圖5-7E垂直于(111)面的感應主軸

當光沿x3′軸方向傳播時，沒有電光延遲。當光沿垂直于x3′軸方向傳播時，電光延遲為式中，

l為晶體沿光傳播方向的長度；

d為晶體沿外加電場方向的厚度。

(5.1-70)5.1.3晶體的二次電光效應實驗證明，自然界有許多光學各向同性的固體、液體和氣體在強電場(電場方向與光傳播方向垂直)作用下會變成各向異性，而且電場引起的雙折射和電場強度的平方成正比，這就是眾所周知的克爾效應，或稱為二次電光效應。實際上，克爾效應是三階非線性光學效應，可以存在于所有電介質中，某些極性液體(如硝基苯)和鐵電晶體的克爾效應很強。所有晶體都具有二次電光效應，但是在沒有對稱中心的20類壓電晶體中，它們的線性電光效應遠較二次電光效應顯著，所以對于這類晶體的二次電光效應一般不予考慮。在具有對稱中心的晶體中，它們最低階的電光效應就是二次電光效應，但通常我們感興趣的只是屬于立方晶系的那些晶體的二次電光效應。因為這些晶體在未加電場時，在光學上是各向同性的，這一點在應用上很重要。如前所述，

克爾效應的一般表達式為

ΔΒij=hijpqEpEq

i,j,p,q=1,2,3(5.1-71)式中，Ep、Eq是外加電場分量；［hijpq］是晶體的二次電光系數(shù)(或克爾系數(shù))，它是一個四階張量。但在實用中，人們習慣于將［ΔBij］與晶體的極化強度聯(lián)系起來，表示為：ΔΒij=gijpqPpPq

i,j,p,q=1,2,3(5.1-72)其中，Pp、Pq是晶體上外加電場后的極化強度分量，［gijpq］也叫二次電光系數(shù)，一般手冊給出的是［gijpq］?？梢宰C明，［hijpq］和［gijpq］都是對稱的四階張量，均可采用簡化下標表示，即ij→m,pq→n,m、n的取值范圍是從1到6。于是，克爾系數(shù)可以從9×9的四階張量簡化成6×6的矩陣，相應地，(5.1-71)式和(5.1-72)式可以寫成：(5.1-73)(5.1-74)(5.1-75)當n=4,5,6時，

有

(5.1-76)下面，具體考察m3m晶類的二次電光效應。屬于這一類晶體的有KTN(鉭酸鈮鉀)，KTaO3(鉭酸鉀)、BaTiO3(鈦酸鋇)、NaCl(氯化鈉)、LiCl(氯化鋰)、LiF(氟化鋰)、NaF(氟化鈉)等。未加電場時，m3m晶體在光學上是各向同性的，折射率橢球為旋轉球面：(5.1-77)當晶體外加電場時，折射率橢球發(fā)生變化，根據(jù)(5.1-74)式和m3m晶類的二次電光系數(shù)矩陣，其二次電光效應矩陣關系為(5.1-78)由此得出

將上面分量代入折射率橢球的一般形式(5.1-8)式，

得

現(xiàn)在討論一種簡單的情況：外電場沿著［001］方向(x3軸方向)作用于晶體，即E1=E2=0,E3=E。因為立方晶體的電場E和極化強度有如下關系：

Pi=ε0χEi

i=1,2,3(5.1-80)(5.1-79)所以極化強度為P1=P2=0,P3=ε0χE,代入(5.1-9)式，得

(5.1-81)顯然，當沿x3方向外加電場時，由于二次電光效應，折射率橢球由球變成一個旋轉橢球，其主折射率為(5.1-82)當光沿x3方向傳播時，無雙折射現(xiàn)象發(fā)生；當光沿[100]方向(x1方向)傳播時，通過晶體產生的電光延遲為(5.1-83)相應的半波電壓為

(5.1-84)5.1.4晶體電光效應的應用舉例

1.電光調制將信息電壓(調制電壓)加載到光波上的技術叫光調制技術。利用電光效應實現(xiàn)的調制叫電光調制。圖5-8是一種典型的電光強度調制器示意圖，電光晶體(例如KDP晶體)放在一對正交偏振器之間，對晶體實行縱向運用，則加電場后的晶體感應主軸x1′、x2′方向，相對晶軸x1、x2方向旋轉45°，并與起偏器的偏振軸P1成45°夾角。圖5-8電光強度調制器根據(jù)(4.5-8)式，通過檢偏器輸出的光強I與通過起偏器輸入的光強I0之比為

(5.1-85)當光路中未插入1/4波片時，上式的j即是電光晶體的電光延遲。由(5.1-31)式、(5.1-32)式，有所以(5.1-85)式變?yōu)?/p>

稱I/I0為光強透過率(%)，

它隨外加電壓的變化如圖5-9所示。

(5.1-86)圖5-9透過率與外加電壓關系圖

如果外加電壓是正弦信號

則透過率為

(5.1-88)該式說明，一般的輸出調制信號不是正弦信號，它們發(fā)生了畸變，如圖5-9中曲線3所示。如果在光路中插入1/4波片，則光通過調制器后的總相位差是(π/2+j)，因此(5.1-85)式變?yōu)?5.1-89)(5.1-87)工作點由O移到A點。在弱信號調制時，U<<Uλ/2，上式可近似表示為

(5.1-90)

可見，當插入1/4波片后，一個小的正弦調制電壓將引起透射光強在50%透射點附近作正弦變化，如圖5-9中的曲線4所示。

2.電光偏轉為了說明電光偏轉原理，首先分析光束通過玻璃光楔的偏轉原理。如圖5-10所示，設入射波前與光楔ABB′的AB面平行，由于光楔的折射率n>1，因而AB面上各點的振動傳到A′B′(∥AB)面上時，通過了不同的光程：由A到A′，整個路程完全在空氣中，光程為l;由B到B′，整個路程完全在玻璃中，光程為nl；A和B之間的其它各點都通過一段玻璃，例如，由C到C′，光程為nl′+(l-l′)=l+(n-1)l′。從上到下，光在玻璃中的路程l′線性增加，所以整個光程是線性增加的。因此，透射波的波陣面發(fā)生傾斜，偏角為θ，由(5.1-91)

決定。

圖5-10光束通過光楔的偏轉

電光偏轉器就是根據(jù)上述原理制成的。圖5-11是一種由兩塊KDP楔形棱鏡組成的雙KDP楔形棱鏡偏轉器，棱鏡外加電壓沿著圖示x3方向，兩塊棱鏡的光軸方向(x3)相反，x1′、x2′為感應主軸方向。現(xiàn)若光線沿x2′軸方向入射，振動方向為x1′軸方向，則根據(jù)前面的分析可知：光在下面棱鏡中的折射率為 在上面棱鏡中，由于電場與該棱鏡的x3方向相反，所以折射率為 。因此，上下光的折射率之差為 ，光束穿過偏振器后的偏轉角為(5.1-92)圖5-11雙KDP楔形棱鏡偏轉器5.2聲

光

效

應

5.2.1彈光效應和彈光系數(shù)

彈光效應可以按照電光效應的方法進行處理，即應力或應變對介質光學性質(介質折射率)的影響，可以通過介質折射率橢球的形狀和取向的改變來描述。假設介質未受外力作用時的折射率橢球為(5.2-1)介質受到應力σ作用后的折射率橢球變?yōu)?/p>

(5.2-2)或

(5.2-3)式中，ΔBij為介質受應力作用后的折射率橢球方程各系數(shù)的變化量，它是應力的函數(shù)，ΔBij=f(σ)。若考慮線性效應，略去所有的高次項，ΔBij可表示為ΔBij=Πijklσkli,j,k,l=1,2,3(5.2-4)在此，考慮了介質光學性質的各向異性，認為應力［σkl］和折射率橢球的系數(shù)增量［ΔBij］都是二階張量；［Πijkl］是壓光系數(shù)，它是一個四階張量，有81個分量。根據(jù)虎克(Hooke)定律，應力和應變有如下關系： σkl=Cklrssrs

k,l,r,s=1,2,3(5.2-5)式中，［srs］是彈性應變；［Cklrs］是倔強系數(shù)。將(5.2-5)式代入(5.2-5)式，ΔΒij可用應變參量描述： ΔBij=ΠijklCklrssrs=Pijrssrs(5.2-6)式中，Pijrs=ΠijklCklrs；［Pijrs］叫彈光系數(shù)，它也是四階張量，有81個分量。由于［ΔΒij］和［σkl］都是對稱二階張量，有ΔΒij=ΔΒji，σkl=σlk，所以有Πijkl=Πjilk，故可將前后兩對下標ij和kl分別替換成單下標，將張量用矩陣表示。相應的下標關系為張量表示(ij)(kl)(rs)11223323,3231,1312,21矩陣表示(m)(n)123456且有n=1,2,3時，Πmn=Πijkl,如Π21=Π2211n=4,5,6時，Πmn=2Πijkl,如Π24=2Π2223采用矩陣形式后，(5.2-4)式變換為

ΔBm=Πmnσn

m,n=1,2,…,6(5.2-7)這樣，壓光系數(shù)的分量數(shù)目由張量表示時的81個減少為36個。應指出，在(5.2-7)式中，［Πmn］在分量形式上與二階張量分量相似，但它不是二階張量，而是一個6×6矩陣。類似地，對彈光系數(shù)［Pijkl］的下標也可以進行簡化，將(5.2-6)式變?yōu)榫仃?分量)形式：ΔBm=Pmnsn

m,n=1,2,…,6(5.2-8)與［Πmn］的差別是，［Pmn］的所有分量均有Pmn=Pijkl,并且有Pmn=ΠmrCrn(m,n,r=1,2,…,6)。(1)23和m3立方晶體受到平行于立方體軸的單向應力作用假設立方晶體的三個主軸為x1,x2、x3，應力平行于x1方向，則施加應力前的折射率橢球為旋轉球面：式中，B0=1/n20。在應力作用下，折射率橢球發(fā)生了形變，在一般情況下，折射率橢球方程式可表示如下：(5.2-9)(5.2-10)根據(jù)(5.2-7)式及立方晶體的［Πmn］矩陣形式，有

由此可得

(5.2-11)將其代入(5.2-10)式，

得到

(5.2-12)可見，當晶體沿x1方向加單向應力時，折射率橢球由旋轉球面變成了橢球面，主軸仍為x1、x2、x3，立方晶體變成雙軸晶體，相應的三個主折射率為(5.2-13)(2)43m、432和m3m立方晶體受到平行于立方體軸(例如x1方向)的單向應力作用這種情況與上述情況基本相同，只是由于這類晶體的Π12=Π13，所以(5.2-14)即晶體由光學各向同性晶體變成了單軸晶體。

5.2.2聲光衍射超聲波是一種彈性波，當它通過介質時，介質中的各點將出現(xiàn)隨時間和空間周期性變化的彈性應變。由于彈光效應，介質中各點的折射率也會產生相應的周期性變化。當光通過有超聲波作用的介質時，相位就要受到調制，其結果如同它通過一個衍射光柵，光柵間距等于聲波波長，光束通過這個光柵時就要產生衍射，這就是通常觀察到的聲光效應。按照超聲波頻率的高低和介質中聲光相互作用長度的不同，由聲光效應產生的衍射有兩種常用的極端情況：喇曼—乃斯(Raman-Nath)衍射和布喇格衍射。衡量這兩類衍射的參量是(5.2-15)式中，L是聲光相互作用長度；λ是通過聲光介質的光波長；λs是超聲波長。當Q1(實踐證明，當Q≤0.3)時，為喇曼—乃斯衍射。當Q1(實際上，當Q≥4π)時，為布喇格衍射。而在0.3<Q<4π的中間區(qū)內，衍射現(xiàn)象較為復雜，通常的聲光器件均不工作在這個范圍內，故不討論。1.喇曼—乃斯衍射1)超聲行波的情況假設頻率為Ω的超聲波是沿x1方向傳播的平面縱波，波矢為Ks，則如圖5-12所示，在介質中將引起正弦形式的彈性應變(5.2-16)相應地將引起折射率橢球的變化，其折射率橢球系數(shù)的變化為

(5.2-17)圖5-12超聲行波寫成標量形式為

式中，(Δn)M=n30PS/2，表示折射率變化的最大幅值。該式表明，聲光介質在超聲波作用下，折射率沿x1方向出現(xiàn)了正弦形式的增量，因而聲光介質沿x1方向的折射率分布為n(x1,t)=n0-(Δn)Msin(Ksx1-Ωt)(5.2-20)如果光通過這種折射率發(fā)生了變化的介質，就會產生衍射。(5.2-18)(5.2-19)當超聲波頻率較低，聲光作用區(qū)的長度較短，光線平行于超聲波波面入射(即垂直于超聲波傳播的方向入射)時，超聲行波的作用可視為是與普通平面光柵相同的折射率光柵，頻率為ω的平行光通過它時，將產生圖5-13所示的多級光衍射。圖5-13喇曼—乃斯聲光衍射

根據(jù)理論分析，各級衍射光的衍射角θ滿足如下關系：λssinθ=mλ

m=0,±1,… (5.2-21)相應于第m級衍射的極值光強為(5.2-22)式中，Ii是入射光強；V=2π(Δn)ML/λ表示光通過聲光介質后，由于折射率變化引起的附加相移；Jm(V)是第m階貝塞爾函數(shù)，由于因而，在零級透射光兩邊，同級衍射光強相等，這種各級衍射光強的對稱分布是喇曼—乃斯型衍射的主要特征之一。相應各級衍射光的頻率為ω+mΩ，即衍射光相對入射光有一個多普勒頻移。2)超聲駐波的情況在光電子技術的實際應用中，聲光介質中的超聲波可能是一個聲駐波，在這種情況下，介質中沿x1方向的折射率分布為n(x1,t)=n0+(Δn)MsinΩtsinKsx1 (5.2-23)光通過這種聲光介質時，其衍射極大的方位角θ仍滿足λssinθ=mλ

m=0,±1,…(5.2-24)各級衍射光強將隨時間變化，正比于J2m(VsinΩt)，以2Ω的頻率被調制。這一點是容易理解的:因為聲駐波使得聲光介質內各點折射率增量在半個聲波周期內均要同步地由“+”變到“－”，或由“－”變到“+”一次，故在其越過零點的一瞬間，各點的折射率增量均為零，此時各點的折射率相等，介質變?yōu)闊o聲場作用情況，相應的非零級衍射光強必為零。此外，理論分析指出，在聲駐波的情況下，零級和偶數(shù)級衍射光束中，同時有頻率為ω,ω±2Ω，ω±4Ω，…的頻率成分;在奇數(shù)級衍射光束中，則同時有頻率為ω±Ω,ω±3Ω，…的頻率成分。

2.布喇格衍射在實際應用的聲光器件中，經常采用布喇格衍射方式工作。布喇格衍射是在超聲波頻率較高，聲光作用區(qū)較長，光線與超聲波波面有一定角度斜入射時發(fā)生的。這種衍射工作方式的顯著特點是衍射光強分布不對稱，而且只有零級和+1或－1級衍射光，如果恰當?shù)剡x擇參量，并且超聲功率足夠強，可以使入射光的能量幾乎全部轉移到零級或1級衍射極值方向上。因此，利用這種衍射方式制作的聲光器件，工作效率很高。1)布喇格方程由于布喇格衍射工作方式的超聲波頻率較高，聲光相互作用區(qū)較長，因而必須考慮介質厚度的影響，其超聲光柵應視為體光柵。下面，我們討論這種體光柵的衍射極值方向。假設超聲波面是如圖5-14所示的部分反射、部分透射的鏡面，各鏡面間的距離為λs?，F(xiàn)有一平面光波A1B1C1相對聲波面以θi角入射，在聲波面上的A2,B2,C2和A2′等點產生部分反射，在相應于它們之間光程差為光波長的整數(shù)倍、或者說它們之間是同相位的衍射方向θd上，其光束相干增強。下面循此思路確定衍射光干涉增強的入射條件，并導出布喇格方程。圖5-14平面波在超聲波面上的反射

(1)不同光線在同一聲波面上形成同相位衍射光束的條件如圖5-15所示，若入射光束A1B1在A2B2聲波面上被衍射，入射角為θi，衍射角為θd。由圖可見，衍射光同相位的條件是其光程差為波長的整數(shù)倍，即A2C-DB2=mλ

m=0,±1,…(5.2-25)其中，A2C=x1cosθi;DB2=x1cosθd。于是(5.2-25)式可表示為x1(cosθi-cosθd)=mλ(5.2-26)欲使上式對任意x1值均成立，只能是m=0,θi=θd(5.2-27)圖5-15不同光線在同一聲波面上反射

(2)同一入射光線在不同超聲波面上形成同相位衍射光束的條件如圖5-16所示，在此情況下，不同衍射光的光程差為如果

當Δ=mλ時，可出現(xiàn)衍射極大，即

(5.2-28)圖5-16同一光束在不同聲波面上反射

(3)不同光線在不同超聲波面上的衍射可以證明，在這種情況下，衍射極大的方向仍然需要滿足(5.2-28)式所表示的條件。應當注意的是，上面推導滿足衍射極大條件時，是把各聲波面看作是折射率突變的鏡面，實際上，聲光介質在聲波矢Ks方向上，折射率的增量是按正弦規(guī)律連續(xù)漸變的，其間并不存在鏡面?？梢宰C明，當考慮這個因素后，(5.2-28)式中m的取值范圍只能是+1或－1，即布喇格型衍射只能出現(xiàn)零級和+1級或－1級的衍射光束。綜上所述，以θi入射的平面光波，由超聲波面上各點產生同相位衍射光的條件是(5.2-30)通常將這個條件稱為布喇格衍射條件，將(5.2-29)式稱為布喇格方程，入射角θB叫布喇格角，滿足該條件的聲光衍射叫布喇格衍射。其衍射光路如圖5-17所示，零級和1級衍射光之間的夾角為2θＢ。圖5-17布喇格聲光衍射

2)布喇格衍射光強由光的電磁理論可以證明，對于頻率為ω的入射光，其布喇格衍射的±1級衍射光的頻率為ω±Ω，相應的零級和1級衍射光強分別為(5.2-30)

式中，V是光通過聲光介質后，由折射率變化引起的附加相移。可見，當V/2=π/2時，I0=0，I1=Ii。這表明，通過適當?shù)乜刂迫肷涑暪β?因而控制介質折射率變化的幅值(Δn)M)，可以將入射光功率全部轉變?yōu)?級衍射光功率。根據(jù)這一突出特點，可以制作出轉換效率很高的聲光器件。5.3晶體的旋光效應與法拉第效應5.3.1晶體的旋光效應1.旋光現(xiàn)象1811年,阿喇果(Arago)在研究石英晶體的雙折射特性時發(fā)現(xiàn)：一束線偏振光沿石英晶體的光軸方向傳播時，其振動平面會相對原方向轉過一個角度，如圖5-18所示。由于石英晶體是單軸晶體，光沿著光軸方向傳播不會發(fā)生雙折射，因而阿喇果發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象應屬另外一種新現(xiàn)象，這就是旋光現(xiàn)象。稍后，比奧(Biot)在一些蒸汽和液態(tài)物質中也觀察到了同樣的旋光現(xiàn)象。圖5-18旋光現(xiàn)象

實驗證明，一定波長的線偏振光通過旋光介質時，光振動方向轉過的角度θ與在該介質中通過的距離l成正比：θ=αl(5.3-1)比例系數(shù)α表征了該介質的旋光本領，稱為旋光率，它與光波長、介質的性質及溫度有關。介質的旋光本領因波長而異的現(xiàn)象稱為旋光色散，石英晶體的旋光率α隨光波長的變化規(guī)律如圖5-19所示。例如，石英晶體的α在光波長為0.4μm時，為49°/mm；在0.5μm時，為31°/mm；在0.65μm時，為16°/mm。而膽甾相液晶的α約為18000°/mm。圖5-19石英晶體的旋光色散對于具有旋光特性的溶液，光振動方向旋轉的角度還與溶液的濃度成正比，θ=αcl(5.3-2)式中，α稱為溶液的比旋光率；c為溶液濃度。在實際應用中，可以根據(jù)光振動方向轉過的角度，確定該溶液的濃度。實驗還發(fā)現(xiàn)，不同旋光介質光振動矢量的旋轉方向可能不同，并因此將旋光介質分為左旋和右旋。當對著光線觀察時，使光振動矢量順時針旋轉的介質叫右旋光介質，逆時針旋轉的介質叫左旋光介質。例如，葡萄糖溶液是右旋光介質，果糖是左旋光介質。自然界存在的石英晶體既有右旋的，也有左旋的，它們的旋光本領在數(shù)值上相等，但方向相反。之所以有這種左、右旋之分，是由于其結構不同造成的，右旋石英與左旋石英的分子組成相同，都是SiO2，但分子的排列結構是鏡像對稱的，反映在晶體外形上即是圖5-20所示的鏡像對稱。正是由于旋光性的存在，當將石英晶片(光軸與表面垂直)置于正交的兩個偏振器之間觀察其會聚光照射下的干涉圖樣時，圖樣的中心不是暗點，而幾乎總是亮的。圖5-20右旋石英與左旋石英

2.旋光現(xiàn)象的解釋1825年，菲涅耳對旋光現(xiàn)象提出了一種唯象的解釋。按照他的假設，可以把進入旋光介質的線偏振光看作是右旋圓偏振光和左旋圓偏振光的組合。菲涅耳認為：在各向同性介質中，線偏振光的右、左旋圓偏振光分量的傳播速度vR和vL相等，因而其相應的折射率nR=c/vR和nL=c/vL相等；在旋光介質中，右、左旋圓偏振光的傳播速度不同，其相應的折射率也不相等。在右旋晶體中，右旋圓偏振光的傳播速度較快，vR>vL(nR<nL)；左旋晶體中，左旋圓偏振光的傳播速度較快，vL>vR(nL<nR)。根據(jù)這一種假設，可以解釋旋光現(xiàn)象。假設入射到旋光介質上的光是沿水平方向振動的線偏振光，則按照歸一化瓊斯矩陣方法,根據(jù)菲涅耳假設，可將入射光波瓊斯矢量表示為如果右旋和左旋圓偏振光通過厚度為l的旋光介質后，其相位滯后分別為

(5.3-4)(5.3-3)則其合成波的瓊斯矢量為

(5.3-5)引入

(5.5-6)合成波的瓊斯矢量可以寫為

(5.5-7)它代表了光振動方向與水平方向成θ角的線偏振光。這說明，入射的線偏振光光矢量通過旋光介質后，轉過了θ角。由(5.3-4)式和(5.3-6)式可以得到

(5.3-8)如果左旋圓偏振光傳播得快，nL<nR，則θ>0，即光矢量是向逆時針方向旋轉的；如果右旋圓偏振光傳播得快，nR<nL，則θ<0，即光矢量是向順時針方向旋轉的,這就說明了左、右旋光介質的區(qū)別。而且,(5.3-8)式還指出,旋轉角度θ與l成正比，與波長有關(旋光色散)，這些都是與實驗相符的。為了驗證旋光介質中左旋圓偏振光和右旋圓偏振光的傳播速度不同，菲涅耳設計了圖5-21所示的三棱鏡組，這個棱鏡是由左旋石英和右旋石英交替膠合制成的，棱鏡的光軸均與入射面AB垂直。一束單色線偏振光射入AB面，在棱鏡1中沿光軸方向傳播，相應的左、右旋圓偏振光的速度不同，vR>vL(即nR<nL)；在棱鏡2中，vL>vR(即nL<nR)；在棱鏡3中，vR>vL(即nR<nL)。所以，在界面AE上，左旋光遠離法線方向折射，右旋光靠近法線方向折射，于是左、右旋光分開了。在第二個界面CE上，左旋光靠近法線方向折射，右旋光遠離法線方向折射，于是兩束光更加分開了。在界面CD上，兩束光經折射后進一步分開。這個實驗結果證實了左、右旋圓偏振光傳播速度不同的假設。圖5-21菲涅耳棱鏡組

當然，菲涅耳的解釋只是唯象理論，它不能說明旋光現(xiàn)象的根本原因，不能回答為什么在旋光介質中二圓偏振光的速度不同。這個問題必須從分子結構去考慮，即光在物質中傳播時，不僅受分子的電矩作用，還要受到諸如分子的大小和磁矩等次要因素的作用，考慮到這些因素后，入射光波的光矢量振動方向旋轉就是必然的了。進一步，如果我們將旋光現(xiàn)象與前面討論的雙折射現(xiàn)象進行對比，就可以看出它們在形式上的相似性，只不過一個是指在各向異性介質中的二正交線偏振光的傳播速度不同，一個是指在旋光介質中的二反向旋轉的圓偏振光的傳播速度不同。因此，可將旋光現(xiàn)象視為一種特殊的雙折射現(xiàn)象——圓雙折射，而將前面討論的雙折射現(xiàn)象稱為線雙折射。

5.3.2法拉第效應上述旋光現(xiàn)象是旋光介質固有的性質，因此可以叫作自然圓雙折射。與感應雙折射類似，也可以通過人工的方法產生旋光現(xiàn)象。介質在強磁場作用下產生旋光現(xiàn)象的效應叫磁致旋光效應，或法拉第(Faraday)效應。1846年，法拉第發(fā)現(xiàn)，在磁場的作用下，本來不具有旋光性的介質也產生了旋光性，能夠使線偏振光的振動面發(fā)生旋轉，這就是法拉第效應。觀察法拉第效應的裝置結構如圖5-22所示：將一根玻璃棒的兩端拋光，放進螺線管的磁場中，再加上起偏器P1和檢偏器P2,讓光束通過起偏器后順著磁場方向通過玻璃