湖大自控(考研)第七章

自動(dòng)控制原理2011年11月唐求電氣與信息工程學(xué)院離散系統(tǒng)的基本概念7-1信號(hào)的采樣與保持7-2Z變換理論3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型47-37-4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差47-5離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析47-6第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正一、基本概念控制系統(tǒng)中所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼。1、連續(xù)系統(tǒng)：2、離散系統(tǒng)：3、采樣控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，也稱脈沖控制系統(tǒng)。4、數(shù)字控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中的離散信號(hào)是數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)，又稱計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念二、采樣控制系統(tǒng)周期采樣：隨機(jī)采樣：在有規(guī)律的時(shí)間間隔上，取得離散信息。信息之間的間隔是時(shí)變的，或隨機(jī)的。te(t)0te(t)0teh(t)0采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖Gh(s)Gp(s)r(t)c(t)_H(s)b(t)Se(t)e(t)eh(t)7-1離散系統(tǒng)的基本概念S：理想采樣開關(guān)Gh(s)：保持器的傳遞函數(shù)Gp(s)：被控對(duì)象的傳遞函數(shù)H(s)：反饋元件的傳遞函數(shù)圖中，1、信號(hào)采樣在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過(guò)程稱為采樣過(guò)程，簡(jiǎn)稱采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，或稱采樣開關(guān)。2、信號(hào)復(fù)現(xiàn)在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過(guò)程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過(guò)程。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過(guò)程的裝置稱為保持器。最簡(jiǎn)單的保持器是零階保持器。7-1離散系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)中如果用計(jì)算機(jī)來(lái)代替脈沖控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)偏差信號(hào)的處理，就構(gòu)成了數(shù)字控制系統(tǒng)，也稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖r(t)檢測(cè)元件e(t)–c(t)e(kT)D/A和保持器對(duì)象b(t)計(jì)算機(jī)和A/D采樣開關(guān)系統(tǒng)中的A/D轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開關(guān)，D/A轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)保持器。三、數(shù)字控制系統(tǒng)7-1離散系統(tǒng)的基本概念三、數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖Gh(s)Gp(s)r(t)c(t)_H(s)b(t)Se(t)u(t)uh(t)Gc(s)e(t)u(t)SS：理想采樣開關(guān)；Gh(s)：保持器的傳遞函數(shù)；Gp(s)：被控對(duì)象的傳遞函數(shù)；H(s)：反饋元件的傳遞函數(shù)；圖中，Gc(s)：數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念四、離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)1、由數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置，控制規(guī)律由軟件實(shí)現(xiàn)，因此，與連續(xù)式控制裝置相比，控制規(guī)律修改調(diào)整方便，控制靈活。2、采樣信號(hào)，特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲，人而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。3、可以采用高靈敏度的控制元件，提高系統(tǒng)的控制精度。4、可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高了設(shè)備利用率，經(jīng)濟(jì)性好。五、離散控制系統(tǒng)的研究方法z變換法狀態(tài)空間分析法7-1離散系統(tǒng)的基本概念一、采樣過(guò)程與采樣定理二、信號(hào)的保持7-2信號(hào)的采樣與保持采樣開關(guān)每次閉合的時(shí)間為τ1、連續(xù)信號(hào)的采樣過(guò)程：e(t)0t0te*(t)TτT一般τ<<T

一、采樣過(guò)程與采樣定理7-2信號(hào)的采樣與保持2．采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示

通過(guò)采樣開關(guān)，將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變成離散信號(hào)。采樣過(guò)程為理想脈沖序列δT(t)

對(duì)e(t)幅值的調(diào)制過(guò)程。δT(t

)=

δ(t–kT)Σ8k=-+8e*(t

)=e(t

)δT(t)=e(t

)δ(t–kT)Σ8k=-+8t<0時(shí)，e(t)=0則e(t

)δ(t–kT)Σ8k=0+=e*(t

)=e(t

)δ(t–kT)Σ8k=0+=e(0

)δ(t)+e(T)δ(t-T)+e(2T)δ(t-2T)+···

e*(t

)=e(t)δT(t)=e(kT

)δ(t–kT)Σk=0+∞采樣過(guò)程如圖所示：t0δT(t)2T3TTt0e*(t)T2T3Tt0e(t)7-2信號(hào)的采樣與保持（1）、采樣信號(hào)的拉氏變換對(duì)e*(t)進(jìn)行拉氏變換，可得根據(jù)拉氏變換的位移定理，有所以，采樣信號(hào)的拉氏變換為

7-2信號(hào)的采樣與保持（2）、采樣信號(hào)的頻譜理想單位脈沖序列T(t)

是一個(gè)周期函數(shù)，可以展開成如下傅氏級(jí)數(shù)形式：上式兩邊取拉氏變換，由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理，可得7-2信號(hào)的采樣與保持其中，E(j)是連續(xù)信號(hào)e(t)的傅氏變換。一般，連續(xù)信號(hào)e(t)的頻譜E(j)是單一的連續(xù)頻譜，如圖所示。0m-mE(j)連續(xù)信號(hào)頻譜m：頻譜E(j)中的最高角頻率。令s=j，可得采樣信號(hào)e*(t)的傅氏變換7-2信號(hào)的采樣與保持可見，采樣信號(hào)e*(t)的頻譜E(j)是以采樣角頻率s為周期的無(wú)窮多個(gè)頻譜之和。0s/2-mE(j)采樣信號(hào)的頻譜（s>2m）-s/21/Ts-sm2s-2s221其中，n=0的頻譜是采樣頻譜的主分量，如曲線1所示，與連續(xù)頻譜E

(j)形狀一致，幅值上變化了1/T倍。其余頻譜（n=1,2,···）是采樣頻譜的補(bǔ)分量。7-2信號(hào)的采樣與保持0E(j)采樣信號(hào)的頻譜（s<2m）可見，當(dāng)s<2m時(shí)，采樣頻譜中發(fā)生頻率混疊。7-2信號(hào)的采樣與保持3．采樣定理

為了使離散信號(hào)e*(t)不失真地復(fù)現(xiàn)原信號(hào)e(t)，對(duì)e(t)與e*(t)的頻譜分析得出如下關(guān)系：這就是采樣定理，又稱香農(nóng)(shannon)定理，它指明了復(fù)現(xiàn)原信號(hào)所必須的最低采樣頻率。ωs≥

2ωmax7-2信號(hào)的采樣與保持二、采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)信號(hào)的復(fù)現(xiàn)：解決兩相鄰采樣時(shí)刻間的插值問(wèn)題。工程中一般都采用時(shí)域外推的原理，下面重點(diǎn)介紹應(yīng)用最廣泛的零階保持器。保持器：采樣信號(hào)恢復(fù)成相應(yīng)的連續(xù)信號(hào)的過(guò)程。將采樣信號(hào)復(fù)現(xiàn)為原來(lái)連續(xù)信號(hào)的裝置。7-2信號(hào)的采樣與保持恒值外推原理：把采樣時(shí)刻kT的采樣值e(kT)保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T。k(k+1)e*(t)t0eh(t)t0k(k+1)e*(t)eh(t)零階保持器零階保持器的輸入輸出特性kT≤t≤(k+1)Teh(t

)=e(kT)7-2信號(hào)的采樣與保持零階保持器的單位脈沖響應(yīng)為：零階保持器的單位脈沖響應(yīng)曲線TT11-10tgh(t)0tgh(t)gh

(t

)=1(t)-1(t-T)零階保持器的傳遞函數(shù)：

S1–e–Ts

S1

Se–Ts–=Gh

(s)=頻率特性：jω1–e-jωTGh

(jω)=ω–

j[1-cos(ωT)+jsin(ωT)]=ω

sin(ωT)–

j[1-cos(ωT)]=幅頻特性：

sin2(ωT)+[1-cos(ωT)]2

ω=|Gh

(jω)|

ω22ωTsin=相頻特性：

sin(ωT

)-[1-cos(ωT)]∠Gh

(jω)=tg-1=-2ωT傳遞函數(shù)中的e-TS

展開為級(jí)數(shù)形式1+Ts+T2S2/2+···1)S1=(1–

11+

Ts(1–

TTs+

1)=s1~~S1-e-TsGh

(s)=7-2信號(hào)的采樣與保持零階保持器用RC網(wǎng)絡(luò)來(lái)近似實(shí)現(xiàn)如圖-Δ∞++R2R1e*(t)gh(t)C傳遞函數(shù)為：Gh

(s)=

KpTS+

1Kp

=R2R1T=R2C7-2信號(hào)的采樣與保持一、Z變換的定義二、求Z變換的方法三、Z變換的基本定理四、Z反變換7-3Z變換理論連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為離散函數(shù)：一、Z變換的定義f*(t

)=+Σ8k=0f(t

)δ(t–kT

)=f

(kT)δ(t–kT

)e–stdt

Σ8k=0+∫∞

0

F

(s)=f

(t)e–st

dt∫∞

0

對(duì)離散函數(shù)求拉氏變換F*(s

)=∫∞

0

+Σ8k=0[f(t

)δ(t–kT

)]e–st

dtf(kT)e

–kTSΣ8k=0+=引入新變量eTsz=則f

(kT)z–kF

(z)=Σ8k=0+F(z)為f*(t)的Z變換，記作F

(z)=Z[f*(t)]7-3Z變換理論

二、求Z變換的方法1．級(jí)數(shù)求和法根據(jù)定義式展開

=f(0)z0+f(T)z-1+f(2T)z-2+f(3T)z-3+···f

(kT)F

(z)=Σ8k=0+利用級(jí)數(shù)求和法可求得常用函數(shù)的z變換.7-3Z變換理論11–z-1

=

zz–1=f

(kT)z-k=1+z-1+z-2+z-3+···F

(z)=Σ8k=0+(1)單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)f(kT)=1(kT)=1|z|>17-3Z變換理論

=1+e–aT

z-1+e–2aT

z-2+e–3aTz-3+···|ze

at|>1

zz–e–aT

11–e–aT

z-1=

=（2）指數(shù)函數(shù)f(t)=e–atf

(kT)z-kF

(z)=Σ8k=0+（3）單位脈沖函數(shù)f(t)=δ(t

)=f

(kT)z-k=1F

(z)Σ8k=0+f(kT)=δ(kT

)

f(kT)=

e–akT

7-3Z變換理論（4）單位斜坡函數(shù)f(t)=t

f(kT)=kT=Tz-1+2Tz-2+3Tz-3+···Tz(z–1

)2Tz-1(1–z-1)2==|z|>1=f

(kT)z-kF

(z)Σ8k=0+7-3Z變換理論（5）正弦函數(shù)f(t)=sinωt=

ejωt-e–jωt

2j

ejωkT

–

e–jωkT

2j

f(kT)=

11–e–jωTz-111–ejωTz-1

–[]12j==f

(kT)z-kF

(z)Σ8k=0+z-1ejωT–z-1e–jωT1–ejωTz-1–e–jωTz-1+z-2[]12j=

z-1sinωT

1–2(cosωT)z-1+z-2=

zsinωT

z2–2zcosωT+1=f(t)=cosωtz(z–cosωt

)

z2–2zcosωT+1F

(z)=同理：7-3Z變換理論2．部分分式展開法

pi—極點(diǎn)如果已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s)，則可將F(s)展開成部分分式之和的形式，然后求F(z)。設(shè)

b0sm+b1sm–1+···+bm

sn–a1sn–1+···+anF

(s)=n>mΣi=1nAiS–Pi

=Ai—待定系數(shù)Ais–Pi

]=

Z[Ai1–ePiTz

-1基于

Ai1–ePiTz

-1F

(z)=Σi=1n得

7-3Z變換理論

例

求F(s)的z變換F(z)。解：

1

S(S+1)F

(s)=1

S(S+1)F

(s)==–1

S1

S+1z(1–e–T)

(z–1)(z–e–T)=z

z–e–T

zz–1–F

(z)=7-3Z變換理論

解：

例

求F(s)的z變換F(z)。1

S2(S+1)F

(s)=1

S2(S+1)F

(s)==–1

S21

S+11

S+z

z–e–T

zz–1+F

(z)=Tz(z–1)2–7-3Z變換理論3．留數(shù)計(jì)算法

已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)及其全部極點(diǎn)pi,F(z)可由留數(shù)計(jì)算公式求得:z

z–esT

[(s-pi)riF(s)]F

(z)=∑1dri-1(r–1)!dsri-1s=pii=1n式中：ri

為s=pi

的重極點(diǎn)數(shù)7-3Z變換理論

解：

例

求F(s)的z變換F(z)。S+3

(S+1)(S+2)F

(s)=z

z–eST

S=-1

F(z)=(S+1)S+3

(S+1)(S+2)z

z–eST

S=-2

+(S+2)S+3

(S+1)(S+2)z

z–e–2T

2z–F

(z)=

z–e–Tz2+z(e-T-2e-2T)=z2-(e-T+e-2T)z+e

-3T7-3Z變換理論三、Z變換的基本定理1.線性定理a1和a2為常數(shù)

2．實(shí)數(shù)位移定理

z變換的基本定理為z變換的運(yùn)算提供了方便。Z[a1f1(t)±a2f2(t)]=a1F1(z)±a2F2(z)Z[f(t–kT

)]=z–kF(z)求Z[t–T]Z[t–T]=Z[t]·z-1Tz

(z–1)2T(z–1)2z-1==例

解：7-3Z變換理論3．超前定理f

(kT)z-kZ[f(t+k1T)]=zk1F(z)-zk1k1–1Σk=0

例

求1(t-2T)的Z變換解：

Z[1(t+2T)]=z2zz–1-z2[f(0)z0+f(T)z-1]z3z–1–z2–z=

4．復(fù)數(shù)位移定理Z[f(t)e

±at

]=F(ze

±at)

例

求te-at的Z變換。

解：

Z[te–at

]=TzeaT

(zeaT–1)25．初值定理

t→0Limf(t)=lim

F(z)z→∞6．終值定理

t→∞Limf(t)=lim(z-1)F(z)z→17-3Z變換理論四、Z反變換Z反變換：記作

從函數(shù)F(z)求出原函數(shù)f*(t)的過(guò)程Z-1[F(z)]=f*(t)由于F(z)只含有連續(xù)函數(shù)f(t)在采樣時(shí)刻的信息，因而通過(guò)z反變換只能求得連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。求反變換一般有兩種方法。7-3Z變換理論可知：

得：按Z-1的升冪級(jí)數(shù)展開，即

1．長(zhǎng)除法b0zm+b1zm–1

+···+bma0zn+a1zn–1

+···+anF

(z)=(m≤n)設(shè)F

(z)=c0+c1z–1+c2z–2+···f

(0)=c0,

f

(T)=c1,

f

(2T)=c2,···f*(t)=c0δ(t)+c1δ(t–T)+c2δ(t–2T)+···7-3Z變換理論

例

求F(z)反變換f*(t)。解：

zz–1F

(z)=

用F(z)的分子除以分母，得=1+z–1+z–2+z–3+···

zz–1F

(z)=f*(t)=δ(t)+δ(t–T)+δ(t–2T)+···7-3Z變換理論

例

求F(z)反變換f*(t)。解：

F(z)=z(z+1)(z+2)Z[F

(s)]=δ(t-T)-3δ(t-2T)+7δ(t-3T)-15δ(t-4T)+···F(z)=z

z2+3z+2=0+z-1-3z-2+7z-3-15z-4

7-3Z變換理論

2．部分分式法先將F(z)/z展開為部分分式，再把展開式的每一項(xiàng)都乘上Z后，分別求Z反變換并求和。

例

求F(z)反變換f*(t)。

F(z)=0.5z(z–1)(z–0.5)解：

0.5(z–1)(z–0.5)

F(z)z=1

z–11

z–0.5–

=z

z–1z

z–0.5–

F(z)=即

f(kT)=1–0.5kk=0,1,2···f*(t)=f(0)δ(t)+f(T)δ(t–T)+f(2T)δ(t–2T)+···則

7-3Z變換理論例

求F(z)反變換f*(t)。

解:

F(z)=(–e-aT)z(z–1)(z–e-aT)F(z)z1

z–11

z–e-aT

–

=(1–e-aT)z(z–1)(z–e-aT)

=F(z)=z

z–1z

z–e-aT

–

f(kT)=1–e-akT

k=0,1,2···Σ8k=0

(1–e-akT

)δ(t–kT)

f*(t

)=7-3Z變換理論3．留數(shù)計(jì)算法

已知函數(shù)F(z)及其全部極點(diǎn)pi,可由留數(shù)計(jì)算公式求z反變換:

[F(z)zk-1(z-pi)ri]f(kT)=∑1dri-1(r–1)!dzri-1z=pii=1n式中：ri

為z=pi

的重極點(diǎn)數(shù)7-3Z變換理論例

求F(s)的z變換F(z)。z

(z-0.5)(z-1)2F

(s)=

解：

z=0.5

f(kT)=[zk

(z-0.5)(z-1)2(z-0.5)](2-1)!dzd1z=0.5

+zk

(z-0.5)(z-1)2(z-1)2]1

k1–0.5-=(0.5–1)2+0.5k(1-0.5)2=4(0.5k-1)+2k7-3Z變換理論一、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義在離散時(shí)間系統(tǒng)理論中，所涉及的數(shù)字信號(hào)總是以序列的形式出現(xiàn)，即輸入序列：輸出序列：離散系統(tǒng)：將輸入序列變換為輸出序列的一種變換關(guān)系。記作這里，r(n)和c(n)可以理解為t=nT

時(shí)，系統(tǒng)的輸入序列r(nT)和輸出序列c(nT)，T為采樣周期。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1、線性離散系統(tǒng)：滿足線性疊加原理的離散系統(tǒng)，即下列關(guān)系成立：2、線性定常離散系統(tǒng)：輸入與輸出關(guān)系不隨時(shí)間而改變的線性離散系統(tǒng)。若r(n)c(n)則，r(n-k)c(n-k)線性定常離散系統(tǒng)可用線性定常（常系數(shù)）差分方程描述。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、線性常系數(shù)差分方程及其解法對(duì)于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k時(shí)刻的輸出c(k)1）與k時(shí)刻的輸入r(k)有關(guān)；2）與k時(shí)刻以前的輸入r(k-1)、r(k-2)、······有關(guān)；3）與k時(shí)刻以前的輸出c(k-1)、c(k-2)、······有關(guān)。1、數(shù)學(xué)描述：上式亦可表示為：式中，ai

(i=1,2,···,n)和bj

(j=0,1,···,m)為常系數(shù)，mn。1）用n階后向差分方程來(lái)描述：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2）用n階前向差分方程來(lái)描述：上式亦可表示為：式中，ai

(i=1,2,···,n)和bj

(j=0,12,···,m)為常系數(shù)，mn。2、差分方程的解法：1）迭代法若已知差分方程，且給定輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計(jì)算機(jī)上一步一步地算出輸出序列。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例：已知差分方程輸入序列r(k)=1，初始條件c(0)=0，c(1)=1，試用迭代法求輸出序列c(k)，k=0,1,2,···,10。解：根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2）z變換法對(duì)差分方程兩邊取z變換，并利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對(duì)代數(shù)方程的解C(z)取z反變換，求得輸出序列c(k)。例6：用z變換法求解下列二階差分方程設(shè)初始條件c(0)=0，c(1)=1。解：該差分方程又可以寫成如下形式：對(duì)差分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行z變換，根據(jù)實(shí)數(shù)位移定理7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型所以，差分方程變成如下代數(shù)方程解得求出z反變換得7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在連續(xù)系統(tǒng)的分析中，用傳遞函數(shù)來(lái)表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在采樣控制系統(tǒng)的分析中則用脈沖傳遞函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型。三、脈沖傳遞函數(shù)的定義r(t)G(s)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)G(z)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖其中

R(z)=Z[r*(t

)]C(z)=Z[c*(t

)]脈沖傳遞函數(shù)的定義：零初始條件下，離散輸出信號(hào)的Z

變換與離散輸入信號(hào)的Z變換之比。C

(z)R(z)G(z)=7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型大多數(shù)采樣系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)c(t)而不是離散信號(hào)c*(t)，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，通常在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān)，如圖中虛線所示，它與輸入端采樣開關(guān)同步工作。Tc*(t)C(z)G(z)R(z)TD(s)r(t)r*(t)c(t)G1(s)G2(s)輸出的采樣信號(hào)可根據(jù)下式求得c*(t

)=Z-1[C(z)]=Z-1[G(z)·R(z)]7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型四、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的求取與連續(xù)系統(tǒng)求傳遞函數(shù)類似。但脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)的位置有關(guān)。當(dāng)采樣系統(tǒng)中有環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，根據(jù)它們之間有無(wú)采樣開關(guān)，其等效的脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1．串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開關(guān)

G1(s)和G2(s)的兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)如圖：G1G2(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)d(z)G1(s)G2(s)=G1(s)G2(s)C

(s)R(s)G(s)=由圖可見Z變換:=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)C

(z)R(z)G(z)=兩個(gè)期間無(wú)采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積的Z變換。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：

1s+aG1(s)=1(s+a)(s+b)G(s)=G1(s)G2(s)=s+bG2(s)=

1(

1b-a-

1s+a)

1s+b=

G(z)=Z[(

1b-a-

1s+a)]

1s+b

1b–azz-e-aT

-][=zz-e-bT

z(e-aT-e-bT)

(z-e-aT)(

z-e-bT)

1b–a=7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2．串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)

當(dāng)兩串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)時(shí)：G1(z)G2(z)G(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)d*(s)d(t)TD(z)G1(s)G2(s)可得：D(s

)=G1(s)R*(s)C(s

)=G2(s)D*(s)D(z

)=G1(z)R(z)C(z

)=G2(z)D(z)=G1(z)G2(z)R(z)得C

(z)R(z)G(z)==G1(z)G2(z)兩個(gè)其間有采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：

1s+aG1(s)=s+bG2(s)=

1G1(z)=zz-e-aT

G2(z)=zz-e-bT

G1(z)G2(z)≠

G1G2(z)

z2

(z-e-aT)(

z-e-bT)G(z)=G1(z)G2(z)=7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3．帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

r(t)Tr*(t)c(t)Tc*(t)C(z)1-es-TSG1(s)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖:開環(huán)傳遞函數(shù)為G1(s)

s=(1-e-Ts)G(s)=(1-e-Ts)

sG1(s)設(shè)G1(s)sG2(s)=則G(s)=(1-e-Ts

)G2(s)Z[G2(s)]=G2(z)Z[e-TsG2(s)]=z-1G2(z)G(z

)=Z[(1-e-Ts

)G2(s)]=(1-z-1)G2(z)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示，求G(z).解：T=1S1S(S+1)G1(s)=1S2(S+1)G2(s)=(1-e-Ts)SG(s)=1S(S+1)G2(z)=Z[1S2(S+1)]=Z[]1S2-1S+1S(S+1)

z[(z-e-1)-(z-1)(

z-e-1)+(z-1)2](z-1)2(z-e-1)=0.386z+0.264z2-1.368z+0.386

=e-1z+(1-2e-1)(z-1)(z-e-1)=G(z)=(1-z-1)G2(z)=(z-1)z·

z[(z-e-1)-(z-1)(

z-e-1)+(z-1)2](z-1)2(z-e-1)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型五、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)之間有著確定的關(guān)系，而在采樣系統(tǒng)中，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)還與采樣開關(guān)的位置有關(guān)。

Z變換是對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)變換，為了方便分析系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào)都假設(shè)離散化了，用虛線表示采樣開關(guān)。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型r(t)e(t)–c(t)G(s)H(s)b(t)r*(t)TTTTc*(t)C(z)e*(t)E(t)R(z)b*(t)B(z)Φ(z)（1）采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖：E(s)=R(s)–B(s)E(z)=R(z)–B(z)B(z)=GH(z)E(z)B(s)=G(s)H(s)E*(s)

R(z)1+GH(z)E(z)=E(z)=R(z)–GH(z)E(z)C(s)=G(s)E*(s)C(z)=G(z)E(z)

R(z)G(z)1+GH(z)C(z)=

G(z)1+GH(z)=C

(z)R(z)Φ(z)=7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖r(t)e(t)c(t)E(s)TC(z)G2(s)d*(s)D(z)C(s)c*(t)R(s)H(s)G1(s)d(t)TD(s)–B(s)D(s

)=R(s)G1(s)–D*(s)G1(s)G2(s)H(s)D(s

)=E(s)G1(s)=R(s)G1(s)-B(s)G1(s)E(s

)=R(s)-B(s)B(s

)=C(s)H(s)=D*(s)G2(S)H(s)D(z

)=RG1(z)–D(z)G1G2H(z)C(s

)=D*(s)G2(s)C(z

)=D(z)G2(z)RG1(z)

1+G1G2H(z)D(z)=RG1(z)G2(z)

1+G1G2H(z)c(z)=對(duì)于這種系統(tǒng)，只能求出C(z),求不出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖連續(xù)系統(tǒng)輸出的拉氏變換為G1(s)G2(s)H(s)c*(t)c(t)C(z)e(t)E(s)r(t)R(s)TT-e*(t)TTG1(s)G2(s)R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)C(s)=G1(z)G2(z)R(z)1+G1(z)G2(z)H(z)C(z)=可得:系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

=C

(z)R(z)G1(z)G2(z)1+G1(z)G2(z)H(z)環(huán)節(jié)之間都有采樣開關(guān)，可直接寫出輸出的Z變換式。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（4）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖G1(s)G2(s)H(s)c*(t)C(z)c(t)e(t)r(t)R(s)TT--先求出系統(tǒng)輸出的拉氏變換，再根據(jù)采樣開關(guān)的位置寫出輸出Z

變換的表達(dá)式。內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)：G2(s)1+G2(s)H(s)G(s)=系統(tǒng)輸出拉氏變換：G1(s)G2(s)R(s)1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)C(s)=G1(z)G2(z)R(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z)C(z)=系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

G1(z)G2(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z)

C(z)

R(z)=7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-T+T

G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)c*(t)c(t)C(z)r(t)R(s)（5）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可得R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)G4(s)C(s)=R(s)G5(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)G4(s)+R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+R(s)G5(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)G4(s)=RG1(z)G2G3G4(z)+RG5G4(z)

1+G2G3G4(z)C(z)=7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，可以從s平面和z平面之間的關(guān)系中，找出分析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。

二、z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件

一、z平面和s平面的關(guān)系

三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)

四、穩(wěn)態(tài)誤差7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差

z變量和s變量的關(guān)系為:

其中s是復(fù)變量:

一、z平面和s平面的關(guān)系z(mì)=eTsS=σ+jωz=eTs=eTσejωT=︱z︱ejθ7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差s域到z域的基本映射關(guān)系式為：1、s平面的虛軸（）z平面上的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓。s23s2s23s2主要帶次要帶次要帶采樣角頻率：z平面上的相應(yīng)點(diǎn)沿單位圓從z平面01s平面j0s平面虛軸在z平面上的映射ReReIm7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差2、s平面的左半平面（）s平面的左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)。3、s平面的右半平面（>）s平面的右半平面映射到z平面單位圓內(nèi)外的點(diǎn)。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)定臨界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定σ>0σ=0σ<0︱z︱<1︱z︱=1︱z︱>1

s平面和z平面的穩(wěn)定域0jωσS平面穩(wěn)定區(qū)0ImRez平面穩(wěn)定區(qū)7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差

二、z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。即︱zi︱<1若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓外的極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

r(t)e(t)–c(t)G(s)TC(s)R(s)G(s)=S(S+4)1T=0.25s解：

G(z)=Z[S(S+4)1

]41S1S+41(

-)]=Z[=41z-1zz-e-4Tz(

-

)(1-e-4T)z/4(z-1)(1-e-4T)==(z-1)(z-e-4T)+(1-e-4T)z/4(1-e-4T)z/4G(z)1+G(z)Φ(z)=特征方程式為z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605±j0.04444141(z-1)(z-e-4T)+(1-e-4T)z=0即

所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。︱z1︱=︱z2︱<1因?yàn)?/p>

7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)是判斷線性連續(xù)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的一種簡(jiǎn)捷的方法。在采樣系統(tǒng)中，由于穩(wěn)定的邊界是單位圓而不是虛軸，所以不能直接引用勞斯判據(jù)，必須把Z平面上的單位圓內(nèi)部映射為另一W左半平面，單位圓的外部映射為W右半平面，然后再應(yīng)用勞斯判據(jù)。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)復(fù)變函數(shù)雙線性變換公式:

或

令

z=x+jyz=w+1w-1w=u+jvw=z+1z-1設(shè)

=u+jvw=(x-1)2+y22y(x-1)2+y2(x2+y2)-1

-j可得：W平面內(nèi)Z平面內(nèi)u>0u<0u=0︱z︱=x2+y2=1︱z︱=x2+y2<1︱z︱=x2+y2>1將Z平面上的特征方程式經(jīng)過(guò)Z→W變換，就可應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例

已知采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：

D(z)=45z3-117z2+119z-39=045(

w+1w-1w+1w-1w+1w-1

)3-117(

)2+119(

)-39=0

45(w+1)3-117(w+1)2(w-1)+119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0

將Z→W變換代入特征方程式：

經(jīng)整理得

w3+2w2+2w+40=0列勞斯表

w3w2w1w00040240-1821有二個(gè)根在w右半平面,即有兩個(gè)根在Z平面上的單位圓外，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例：設(shè)某閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知采樣周期T分別為0.1(s)和0.01(s)，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。r(t)e(t)c(t)C*(s)–e(t)E(s)c*(t)Ks(0.1s+1)解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為列勞斯表為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須T=0.1(s)時(shí)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍：0<K<4.33。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)T=0.01(s)時(shí)，同樣的步驟可得域中的特征方程為列勞斯表為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須T=0.01(s)時(shí)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍：0<K<38。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差影響離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素：1）系統(tǒng)開環(huán)增益；2）系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布；3）傳輸延遲；4）采樣周期。采樣周期T與開環(huán)增益K對(duì)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響：1、當(dāng)采樣周期T一定時(shí)，增大開環(huán)增益K會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。2、當(dāng)開環(huán)增益K一定時(shí)，采樣周期越長(zhǎng)，丟失的信息越多，對(duì)離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能均不利，甚至可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差四、穩(wěn)態(tài)誤差的分析穩(wěn)態(tài)誤差是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要性能指標(biāo)，通過(guò)對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的分析可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的大小和形式、系統(tǒng)的型別以及開環(huán)增益有關(guān)。這一結(jié)論同樣也適用于采樣系統(tǒng)。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差G(s)-e(t)Te*(t)E(z)c(t)c*(t)C(z)Tr(t)

單位反饋采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖E(z)=R(z)-C(z)=R(z)1+G(z)閉環(huán)穩(wěn)定的采樣控制系統(tǒng)，由終值定理可求得其穩(wěn)態(tài)誤差。R(z)1+G(z)e*(∞)=lim(z-1)E(z)=lim(z-1)z→1z→1采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與輸入R(z)有關(guān)，又與系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)及T有關(guān)。系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一般表達(dá)式：G(z)=KrΠ(z-zi)mi=1n-v(z-1)vΠ(z-pj)j=1下面分別討論不同輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1、單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)系統(tǒng)的輸入為

R(z)=z-1z=11+limG(z)z→111+G(z)e*(∞)=lim(z-1)z→1

·z-1z定義系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)：

Kp=limG(z)z→1e*(∞)=1+Kp1則有

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不同，分幾種情況討論。e*(∞)=1+Kp1(1)v=0z→1limKp=KrΠ(z-zi)mi=1Π(z-pj)nj=1

=常數(shù)(2)v=1e*(∞)=0z→1limKp=KrΠ(z-zi)mi=1(z-1)Π(z-pj)j=1n-1=∞e*(∞)=0(3)v=2z→1limKp=KrΠ(z-zi)mi=1(z-1)2Π(z-pj)j=1n-2=∞7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差2、單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差(z-1)2TzR(z)=11+G(z)e*(∞)=lim(z-1)z→1(z-1)2Tz

·z→1lim(z-1)G(z)T=設(shè)系統(tǒng)的輸入為

定義系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)：

則有

e*(∞)=KvT(z-1)G(z)z→1limKv=

下面按系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分成幾種情況討論。(1)v=0e*(∞)=∞z→1Kv=lim

(z-1)KrΠ(z-zi)mi=1Π(z-pj)nj=1

=0(2)v=1e*(∞)=KvTKrΠ(z-zi)mi=1z→1limKv=(z-1)Π(z-pj)n-1j=1

(z-1)

=常數(shù)e*(∞)=0(3)v=2z→1limKv=KrΠ(z-zi)mi=1(z-1)2Π(z-pj)j=1n-2

(z-1)

=∞7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差3、單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2(z-1)3T2z(z+1)R(z)==

z→1

lim

(z-1)2G(z)T11+G(z)e*(∞)=lim(z-1)z→12(z-1)3T2z(z+1)

·定義系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：e*(∞)=KaT2e*(∞)=∞(1)v=0z→1j=1Ka=KrΠ(z-zi)mi=1Π(z-pj)n

lim(z-1)2

=0

z→1

lim(z-1)2G(z)Ka=(2)v=1e*(∞)=∞=0z→1Ka=KrΠ(z-zi)mi=1(z-1)Π(z-pj)j=1n-1lim(z-1)2

(3)v=2=常數(shù)e*(∞)=KaT2z→1lim(z-1)2

KrΠ(z-zi)mi=1(z-1)2Π(z-pj)j=1n-2Ka=7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差不同型別單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別位置誤差速度誤差加速度誤差0型I型0II型00III型0007-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例：設(shè)某閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知采樣周期T為0.1(s)，當(dāng)輸入r(t)=1(t)和t時(shí)，求離散系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。r(t)e(t)c(t)C(z)–e(t)E(z)c*(t)1s(0.1s+1)解：所以，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)。當(dāng)輸入r(t)=1(t)時(shí)，e()=0。當(dāng)輸入r(t)=t

時(shí)，7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)線性采樣系統(tǒng)的性能分析主要內(nèi)容有：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。本節(jié)主要研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。一、離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析二、采樣器和保持器對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析三、閉環(huán)極點(diǎn)的位置與動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系一、離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)通常假定外作用為單位階躍函數(shù)1(t)。離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為:將上式展開成冪級(jí)數(shù)，通過(guò)z變換，可以求出輸出信號(hào)的脈沖序列c*(t)。c*(t)代表線性定常離散系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的響應(yīng)過(guò)程。則系統(tǒng)輸出量的z變換為：7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析例：設(shè)有零階保持器的閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知：T=1(s)，r(t)=1(t)，試分析離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。解：開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為r(t)e(t)c(t)C(z)–e(t)E(z)c*(t)1s(s+1)1-e-Tss7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析利用綜合除法，將其展開成無(wú)窮冪級(jí)數(shù):系統(tǒng)在單位階躍作用下的輸出序列c(nT)為:7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析離散系統(tǒng)輸出脈沖序列由圖求得離散系統(tǒng)的近似性能指標(biāo)為:上升時(shí)間：tr=2(s)峰值時(shí)間：tp=4(s)調(diào)節(jié)時(shí)間：ts=12(s)超調(diào)量：=40二、采樣器和保持器對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響采樣器和保持器不影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，僅影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。但是，采樣器和保持器影響閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，從而影響閉環(huán)離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。例：設(shè)閉環(huán)連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試分析該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。閉環(huán)連續(xù)系統(tǒng)r(t)c(t)–e(t)1s(s+1)解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為顯然，=0.5，n=1，單位階躍響應(yīng)為：7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析連續(xù)與離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線21連續(xù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)為:峰值時(shí)間：tp=3.6(s)調(diào)節(jié)時(shí)間：ts=5.3(s)超調(diào)量：=16.37-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析例：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知：T=1(s)，r(t)=1(t)，試分析離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。解：開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為r(t)e(t)c(t)C(z)–e(t)E(z)c*(t)1s(s+1)7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析系統(tǒng)在單位階躍作用下的輸出序列c(nT)為:繪出c*(t)曲線如下圖中曲線3所示。7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析該離散系統(tǒng)的近似性能指標(biāo)為:峰值時(shí)間：tp=3(s)調(diào)節(jié)時(shí)間：ts=5(s)超調(diào)量：=20.7連續(xù)與離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線213連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)（只有采樣器）離散系統(tǒng)（有采樣器和保持器）峰值時(shí)間（s）3.634調(diào)節(jié)時(shí)間（s）5.3512超調(diào)量16.3%20.7%40%振蕩次數(shù)0.50.51.5連續(xù)與離散系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)由表可知，采樣器和保持器對(duì)離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有如下影響：1）采樣器使系統(tǒng)的峰值時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間減小，但使超調(diào)量增大，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2）保持器使系統(tǒng)的峰值時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間加長(zhǎng)，使超調(diào)量和振蕩次數(shù)增加，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性；7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析設(shè)KTTs(s+1)e*(t)E(z)C(s)r(t)R(s)C(z)c*(t)-采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖:1

S(S+1)=G

(s)=–1

S1S+1K=1T=1s1SR

(s)=開環(huán)脈沖傳遞函數(shù):G

(z)=Z[]1S+1(S+1)zz-1

-]=[zz-e-T

z(1-e-T)

(z-1)(

z-e-T)=閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù):=

z(1-e-T)

(z-1)(

z-e-T)1+

z(1-e-T)

(z-1)(

z-e-T)

G(z)1+G(z)=C

(z)R(z)0.632zz2-0.736z+0.368=z(1-e-T)(z-1)(z-e-T)+z(1-e-T)==0.632z-1+1.097z-2+1.207z-3+1.12z-4+1.014

z-5+0.96

z-6+···

zz–1R(z)=

0.632z2(z2-0.736z+0.368)(z-1)C(z)=系統(tǒng)輸出的離散信號(hào)+1.014δ(t-5T)+0.96δ(t-6T)+···+1.207δ(t-3T)+1.12δ(t-4T)c*(t

)=0.632δ(t-T)+1.097δ(t-2T)采樣系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線T2T3T4T5T6Tt1c*(t)0…7-7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正在系統(tǒng)中加入零階保持器：K=1T=1s設(shè)1-e-Tss1s(s+1)r(t)R(s)e(t)TC(s)-E(z)C(z)c*(t)e*(t)T系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：G(z)=(1-z-1)Z[1S2(S+1)]=(1-z-1)Z[]1S2-1S+1(S+1)(T-1+e-T)z+(T-e-TT+e-T)z2-(1+e-T)z+e

-T==Tz(z-1)2–zz-1z

z-e-T+][z–1

zG(z)=0.368z+0.264z2-1.368z+0.368代入?yún)?shù)：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：R(z)C(z)=G(z)1+G(z)0.368z+0.264z2-

z+0.632=設(shè)輸入為單位階躍信號(hào)

zz–1R(z)=0.632z2+0.264zz3–

2z2+1.632z-0.632=·0.368z+0.264z2-

z+0.632

zz–1C(z)==0.368z-1+z-2+1.4

z-3+1.4

z-4+1.147z-5+0.895

z-6+0.8

z-7+···c*(t

)=0.368δ(t-T)+1δ(t-2T)+1.4δ(t-3T)+1.4δ(t-4T)+1.147δ(t-5T)+0.895δ(t-6T)+···系統(tǒng)的輸出脈沖序列0T2T3T4T5T6T7Tt1c*(t)加入零階保持器以后。由于其相位的滯后作用，使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變差。7-7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正三、閉環(huán)極點(diǎn)的位置與動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系

采樣控制系統(tǒng)的性能分析類似于連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出特性主要由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)來(lái)確定，下面主要討論在單位階躍信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出特性和閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系。7-7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù):單位階躍輸入時(shí)輸出的Z變換:R(z)C(z)Ф(z)==b0zm+b1zm-1+··+bm-1z+bma0zn+a1zn-1+···+an-1

z+an(n>m)

(z-z1)(z-z2)···(z-zn)·

zz–1C(z)=b0zm+b