高中數(shù)學(xué)人教A版1直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測評9

學(xué)業(yè)分層測評(九)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．如圖2-4-12所示，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點C，AC＝eq\f(1,2)BC，則sin∠MCA＝()圖2-4-12\f(1,2) \f(\r(2),2)\f(\r(3),2) \f(\r(5),5)【解析】由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.∵sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq\f(AC,\r(5)AC)＝eq\f(\r(5),5)，故選D.【答案】D2．如圖2-4-13，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點，那么圖中與∠DCF相等的角的個數(shù)是()圖2-4-13A．4 B．5C．6 D．7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】B3.如圖2-4-14所示，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為()圖2-4-14A．2 B．3C．2eq\r(3) D．4【解析】連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2eq\r(3)，故選C.【答案】C4．如圖2-4-15，PC與⊙O相切于C點，割線PAB過圓心O，∠P＝40°，則∠ACP等于()【導(dǎo)學(xué)號：07370043】圖2-4-15A．20° B．25°C．30° D．40°【解析】如圖，連接OC，BC，∵PC切⊙O于C點，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.∵OC＝OB，∴∠B＝eq\f(1,2)∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】B5．如圖2-4-16所示，已知AB，AC與⊙O相切于B，C，∠A＝50°，點P是⊙O上異于B，C的一動點，則∠BPC的度數(shù)是()圖2-4-16A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°【解析】當(dāng)點P在優(yōu)弧上時，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.當(dāng)P點在劣弧上時，∠BPC＝115°.故選C.【答案】C二、填空題6.如圖2-4-17所示，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________.圖2-4-17【解析】∵PB切⊙O于點B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AB)，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝eq\r(mn).【答案】eq\r(mn)7．如圖2-4-18，已知△ABC內(nèi)接于圓O，點D在OC的延長線上．AD是⊙O的切線，若∠B＝30°，AC＝2，則OD的長為__________．圖2-4-18【解析】連接OA，則∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA為正三角形，所以O(shè)A＝2.又因為AD是⊙O的切線，即OA⊥AD，所以O(shè)D＝2OA＝4.【答案】48.如圖2-4-19，點P在圓O直徑AB的延長線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點，CD⊥AB于D點，則CD＝________.圖2-4-19【解析】連接OC，∵PC切⊙O于點C，∴OC⊥PC，∵PB＝OB＝2，OC＝2，∴PC＝2eq\r(3)，∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)三、解答題9．如圖2-4-20所示，△ABT內(nèi)接于⊙O，過點T的切線交AB的延長線于點P，∠APT的平分線交BT，AT于C，D.圖2-4-20求證：△CTD為等腰三角形．【證明】∵PD是∠APT的平分線，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圓的切線，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD為等腰三角形．10．如圖2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一點，過點M的切線與分別以A，B為垂足的直線AD，BC交于D，C兩點，過M點作NM⊥CD交AB于點N，求證：MN2＝AD·BC.圖2-4-21【證明】連接AM，MB，因為DA⊥AB，MN⊥CD，所以∠MDA＋∠MNA＝180°.又因為∠MNA＋∠MNB＝180°，所以∠MDA＝∠MNB，又因為CD為⊙O的切線，所以∠1＝∠2，所以△ADM∽△MNB，所以eq\f(AD,MN)＝eq\f(AM,BM)，同理eq\f(MN,BC)＝eq\f(AM,BM)，所以eq\f(AD,MN)＝eq\f(MN,BC)，即有MN2＝AD·BC.[能力提升]1．在圓O的直徑CB的延長線上取一點A，AP與圓O切于點P，且∠APB＝30°，AP＝eq\r(3)，則CP＝()【導(dǎo)學(xué)號：07370044】\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)－1 D．2eq\r(3)＋1【解析】如圖，連接OP，則OP⊥PA，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，在Rt△OPA中，由AP＝eq\r(3)，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝eq\r(3).【答案】A2．如圖2-4-22，AB是⊙O直徑，P在AB的延長線上，PD切⊙O于C點，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為()圖2-4-22A．1 B．2C．3 D．4【解析】連接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP，得PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，設(shè)⊙O半徑為r，則4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】A3．如圖2-4-23，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝__________.圖2-4-23【解析】由PA為⊙O的切線，BA為弦，得∠PAB＝∠BCA.又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以eq\f(PB,AB)＝eq\f(AB,BC).而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝eq\r(35).【答案】eq\r(35)4．如圖2-4-24，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.圖2-4-24證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【證明】(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2).又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝