高等數(shù)學BIT84重積分應用

期中考試時間定于5月5日，考試范圍6，7，8章

(具體時間，地點另通知）

往年期中試卷在公共郵箱

mathyzz@

含參積分連續(xù)性表明:定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算的順序是可交換的.機動目錄上頁下頁返回結束含參積分可積性表明:累次積分可交換求積順序,例.解:由被積函數(shù)的特點想到積分:機動目錄上頁下頁返回結束定理3.(可導性)都在證:

令函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束因上式左邊的變上限積分可導,因此右邊且有此定理說明,被積函數(shù)及其偏導數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時,求導與求積運算是可以交換順序的.機動目錄上頁下頁返回結束例.解:考慮含參變量t

的積分所確定的函數(shù)顯然,由于機動目錄上頁下頁返回結束故因此得機動目錄上頁下頁返回結束二、積分限含參變量的積分在實際問題中,常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域

上的連續(xù)函數(shù),則也是參變量x

的函數(shù),其定義域為[a,b].利用前面的定理可推出這種含參積分的性質.機動目錄上頁下頁返回結束定理4.(連續(xù)性)上連續(xù),則函數(shù)證:令則由于被積函數(shù)在矩形域上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù)定理5.(可微性)都在中的可微函數(shù),則證:令機動目錄上頁下頁返回結束利用復合函數(shù)求導法則及變限積分求導,得機動目錄上頁下頁返回結束例3.解:機動目錄上頁下頁返回結束例4.驗證當|x|充分小時,函數(shù)的n

階導數(shù)存在,且證:令

在原點的某個閉矩形鄰域內連續(xù),

由定理5可得即同理當x=0時，有含參量反常積分設是定義在無界區(qū)域上,若對每一個固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數(shù),表為稱為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡稱為含參量反常積分.1.積分順序交換定理2.積分號下求導的定理例6計算積分

解

令

在第二項積分中令

得故

四、重積分的應用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積質量,轉動慣量,質心,引力證明某些結論等

2.物理方面3.其它方面機動目錄上頁下頁返回結束1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法

機動目錄上頁下頁返回結束一、立體的體積二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是曲頂柱體的體積．

占有空間有界域

的立體的體積為例1

求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積。解顯然，所求立體應在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個卦限部分的體積是對稱相等的。因此，若設第一卦限部分的體積為V1

，則所求立體的體積為V1

可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底D由半圓周及x

軸圍成。用極坐標系表示于是，所求立體體積另解：V=4V1yzxzyxD二、面積1.平面圖形面積例1.

求由拋物線y=(x2)2+1,直線y=2x所圍圖形的面積.解：y=(x2)2+1y=2x(1,2),(5,10)y=2xy=(x2)2+110012525１．設曲面的方程為：如圖，2.曲面面積思考問題---曲面

S的面積元素曲面面積公式為：３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得注：1、確定投影區(qū)域、曲面方程

2、計算曲面微元

3、計算二重積分若光滑曲面方程為隱式則且機動目錄上頁下頁返回結束例1：求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax(a>0)內部的那部分面積.yzx解：A=4A1:Dxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxyzyxDxyA=4A1=2(2)a2例2.求由拋物線z=x2

上從x=1到x=2的一段繞z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面的面積.解：:z=x2+y2Dxy:1≤x2+y2≤2z=x2201xyzDxy例3.求半徑相等且對稱軸垂直相交的兩個圓柱體的公共部分的表面積.解:

設兩個圓柱體的方程為利用對稱性,立體的表面積其在第一象限內公共部分的表面積如圖所示。部分的曲面方程為投影區(qū)域為得由由二、物體的質心

設xoy平面上有n個質點，它們分別位于),(11yx，),(22yx，,L),(nnyx處，質量分別為nmmm,,,21L．則該質點系的質心的坐標為

??====niiniiiymxmMMx11，

??====niiniiixmymMMy11．2.質心坐標的計算設薄板形成的有界區(qū)域為D,密度

(x,y)問題:計算變密度平面薄板的質心坐標將D劃分成n

個子區(qū)域:當i

充分小時,密度

(x,y)在i

上近似不變任取記,則有薄板的質心坐標:(1)若(x,y)=c,此時稱為圖形D的形心坐標解例求曲面與曲面所界區(qū)域的重心坐標(設密度為常數(shù))重心坐標為由于Ω關于

yz,xz

平面對稱利用柱面坐標計算三重積分Ω在

xoy

平面上的投影區(qū)域:重心坐標解:只需求質點A

對于軸l

的轉動慣量J

慣量可用積分計算.質點組的轉動慣量等于各質點和A

與轉動軸l

的距離r

的平方的乘積,即

三、轉動慣量的轉動慣量之和,故連續(xù)體的轉動等于A

的質量m

設在該物體位于(x,y,z)處取一微元，因此該物體對z軸的轉動慣量:對z

軸的轉動慣量為其體積記為dV

，質量為

到z

軸的距離為從而為空間物體V

的密度函數(shù)，求V

對

z

軸的轉動慣量.類似可得:對x

軸的轉動慣量對y

軸的轉動慣量對原點的轉動慣量一般說來，若V

中的點(x,y,z)到轉動軸l

的距離為則轉動慣量為對坐標平面的轉動慣量分別為對xy

平面的轉動慣量對yz

平面的轉動慣量對xz

平面的轉動慣量如果物體D

是平面薄片,

面密度為

則轉動慣量的表達式是二重積分.一般說來，若D

中的點(x,y)到轉動軸l

的距離為則轉動慣量為例4求密度均勻的圓環(huán)D

對于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉動慣量解設圓環(huán)D

為密度為ρ，則D

中任一點

(x,y)與轉軸的距離為于是轉動慣量解:

取球心為原點,z軸為l

軸,則球體的質量例.求均勻球體對于過球心的一條軸

l

的轉動慣量.設球所占域為(用球坐標)機動目錄上頁下頁返回結束求密度為的物體V

對物體外質量為1的的單位質點A

的引力在該物體位于(x,y,z)處取一微元，其體積記為dV

，質量為

對質點A

的引力為設A

點的坐標為四、引力該引力在坐標軸上的投影為其中k

為引力常數(shù)，于是所求力在坐標軸上的投影分別為所以例7.求密度ρ

的均勻球體V

：的單位質量質點的引力.

解:

利用對稱性知引力分量對位于點解由積分區(qū)域的對稱性知例

求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形薄片：222