2020-2021學(xué)年江蘇省揚州市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

第第20頁共20頁2020-2021學(xué)年江蘇省揚州市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合U{0,1,2,3}A{0,1,3}B

B（ ）UA．0,3U

．1,3 ．

D．0【答案】AA【分析】根據(jù)補集的概念，求出B，進而與集合取交集即可.AU【詳解】∵集合U{0,1,2,3}，B{1,2}，U∴B0,3，U又A{0,1,3}，

( B){0,3}.U故選：A2．命題“x0

R，x0

0”的否定是（ ）A．R，x0 B．R，x0C．x0

R，x00

D．x0

R，x00【答案】B【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題直接判斷即可.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得，“x0x0”，

R，x0

0R，故選：B.3．已知sin()

3，

,，則cos（ ）5 2 35【答案】D

3

45

45根據(jù)誘導(dǎo)公式得sin

35，結(jié)合平方和公式及條件即可得出答案.【詳解】解：由sin()

3及誘導(dǎo)公式得sin3，5 5

,

cos

4又 ，所以1sin211sin2132 52故選：D.【點睛】同角三角函數(shù)基本關(guān)系：tansin

(

k實現(xiàn)角的弦切互化；cos 2sin2+cos21.1若方程x32 0的解在區(qū)

[k,k1](kZ

內(nèi)，則k的值是（ ）A．1

B．0 C．1 D．2【答案】B

1x

1x

ff0【分析方程x32 0的解即函數(shù)f xx32的零點，由 結(jié)合零點存在定理即可得結(jié)果.1【詳解方程x32 0的解即函數(shù)

x

1x x3 2 fxf00f111ff0，2 2所以函數(shù)fx在區(qū)間0,1內(nèi)有零點，所以k0，故選：B.f(x)

xsinxA．xcosA．

在,的圖象大致為（ ）B．C．D．C．【答案】C先根據(jù)奇偶性排除A和B,再利用特殊值的正負(fù)可排除D,.xsinx2xcosx【詳解】 f(2xcosx

的定義域為R,關(guān)于原點對稱，又f(x)

xsin

fx，2xcosx所以函數(shù)f2xcosx其圖像關(guān)于y軸對稱，排除選項A和B, f

sin2 2

22 2 22又當(dāng)x 時，2

，故排除選項D,2

22cos2故選：C【點睛】方法點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.f(x)sin2x

fx的圖象向左平移0個單位長度，6 6 得到函數(shù)gx的圖象，若gx為偶函數(shù)，則的最小值是（ ）A． B．6 3【答案】A

C．D．3 6【分析】根據(jù)題意有g(shù)xsin2x25

，若gx為偶函數(shù)則6 6 2

k(kZ，結(jié)合0.6 2gxf(x)sin2xsin2x 66 66gx

(kZ，即

2k(kZ)6 2 3 2因為0，所以當(dāng)k時取得最小值.6故選：A.【點睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；f(x)的方程組)f(x)的解析式；f(xf(x)0得到關(guān)組)，進而得出參數(shù)的值；畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.計算器是如何計算sinxcosxexlnx

x等函數(shù)值的？計算器使用的是數(shù)x值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算多項式的值求出原函數(shù)的值，如sinxx

x3

x5

x7，cosx1

x2

x4

3! 5! 7!x6n!123n.英國數(shù)學(xué)家泰勒B.Taylo，2! 4! 6!1685-1731)發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出sinx和cos的值也就越精確運用上述思想，可得到cos1的近似值為（ ）A．0.50【答案】C

B．0.52 C．0.54 D．0.56【分析】根據(jù)新定義，直接計算取近似值即可.【詳解】由題意，cos11

14

16

111 1

10.50.0410.001 0.542! 4! 6! 2 24 720故選：C“8.2.12中，我們得到如下結(jié)論：當(dāng)0x2x42xx22x42xx2，請比較alog3，4bsin3

，c

cos的大小關(guān)系（ ）3ab【答案】B

bac C．cab D．bca根據(jù)題意化簡得b

，c32 3

能得出bc，alog242

3化為指數(shù)tlog3232根據(jù)當(dāng)0x2x42xx2判定ab，將ac4的指數(shù)，通過放縮比較的ca.32【詳解】解：因為bsin

，c2cos

21

，所以bc，對于alog4

321log322

3 23，令tlog2

23，則2t3故t(1,2)3當(dāng)0x2x42xx2，所以2tt2，即3tt33所以at b，32 2ac4的指數(shù)得

34log433,4c3

24222,2因為22

222

ca2所以bac故選：B.2【點睛】方法點睛：指、對、冪大小比較的常用方法：1底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如ax1

和ax

，利用指數(shù)函數(shù)yax的單調(diào)性；2指數(shù)相同，底數(shù)不同，如xaxayxa單調(diào)性比較大小；21底數(shù)相同，真數(shù)不同，如loga

2x和log

x利用指數(shù)函數(shù)log

x單調(diào)性比較大小；或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進行大小關(guān)系的判定.二、多選題下列說法中，正確的有（ ）ab0abb2ab0baa b若對x(0,x1m恒成立，則實數(shù)m2xDa0b0，ab11

1的最小值為4a b【答案】ACD利用不等式的性質(zhì)可判斷選項AB的正誤；求出yx1的最小值可得實x數(shù)m的范圍，可判斷選項C；利用基本不等式求最值可判斷選項D.對于選項A：若ab0，則abb2，故選項A正確；對于選項B：若ab0，則b

1

a，故選項B不正確；a b對于選項C：若對x(0,)，x1m恒成立，則mx1 ， xx minxx1xx0yx1x1xx

2x1時yx

1的最小值為2，xba 所以m2m2，故選項C對于選項D：若a0b0aba 1111ab2b

2

4，a b a b a b ba 1 1 1 當(dāng)且僅當(dāng)a b 即abab1確，故選：ACD

時等號成立，所以 2 a

的最小值為4，故選項D正b【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：一正就是各項必須為正數(shù)；”大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；.如圖，摩天輪的半徑為40米，點O距地面的高度為50米，摩天輪按逆時針方向做勻速轉(zhuǎn)動，每30分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處，下面的有關(guān)論正確的有（ ）15P首次到達(dá)最高點1020P距離地面的高度一直在升高1倍210P70m【答案】ADP

,10,A40,T30，求得點P離地2 2 h40sin

t50，然后再逐項判斷.22【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系： P2,10A40,T30， 得，15

2所以點P離地面的高度為：h40sin15t2

50，當(dāng)t15時，h40sin5090，所以經(jīng)過15分鐘，點P首次到達(dá)最高點，故正確；令2

2k15

222

2k,kZ，解得30kt1530k,kZ，所以從第210分鐘到第15分鐘，點P距離地面的高度一直在升高，從第15分鐘到第20分鐘，高度在降低，故錯誤；若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則其旋轉(zhuǎn)一圈所需要的時間變?yōu)樵瓉淼?倍，故錯誤； 1 令h40sin15t

25070，即sin15t

22，解得6

t 15 2

，所以6 10 t 2010P70m.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，求出P離地面的高度函數(shù)h40sin15t

50.22

lnf(x)x24

xx

，若函數(shù)

gxfxm

有四個零點，則實數(shù)m可?。?A．1

D．5【答案】BCyfxymyfxym.gxfxmyfxym有四個不同的交點，作出fx圖象如下圖所示：yfxym有四個不同的交點，則m0,4，故選：BC．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．對于任意兩正數(shù)uv(uv，記區(qū)間vf(x)

1下的曲邊梯形(圖中x陰影部分LvLu,u0Lv,uLuv，且L1,xlnx，則下列命題中正確的有（）A．L B．L1,uvL1,uLu,uvC．f

uv f(u)f(v)22 22

D．對正數(shù)uh有h Lu,uhhuh u【答案】ABD【分析】由新定義可直接計算判斷AB是否正確，取特殊值可判斷C，利用陰影部分的面積與相應(yīng)梯形矩形的面積大小，可推出不等式.Lu,u0Lv,uLuvxlnx可知，Lln6ln2ln3LL，故A正確；L(1,v)lnvlnuvlnuL(1,uv)L(1,u)L(1,uv)L(u,1)L(u,uv)故B正確；取u1,v2

122

f(1)f(2)

1(11)

3，故C錯誤； 2

3 2 2 2 4 f(uh)

1 1下底長為f(u) 高為h的直uh u角梯形的面積，所以Luh1(1 1 )h1(11)hh，12u uh 2u u u1又陰影部分面積大于長為h，寬為f(uh) 的矩形的面積，uh所以Luhh 1

h u有h

Lu,uhh，故D.

uh uh

uh u【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷D選項時，根據(jù)圖象，由面積之間的大小關(guān)系，推出不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題.三、填空題

yfx

的圖象過點

2

f9 ．，則【答案】3，則yfxf的值.【詳解設(shè)yfxxa，由于圖象過點2, 2,212得 2a,a ，22yfxx1，22f9912

3，故答案為3.【點睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.已知扇形的半徑為，圓心角為2rad，則該扇形的面積為 .【答案】36cm2【分析】利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】因為扇形的半徑為6cm，圓心角為2rad，1所以扇形的面積為236cm2

26236，f(x)x|x|fxf(3x2)0x的取值范圍是 用區(qū)間表示)12 先判定函數(shù)fx.【詳解】由題意fxxx，其定義域為R，關(guān)于原點對稱，fxxxxxfxfx是奇函數(shù)，又fxxxx2 x

，所以函數(shù)

fx在

R上單調(diào)遞增，則x2 x0fxf20fxf2f2，又函數(shù)單調(diào)遞增，所1以x3x2，解得x .2故答案為：12 四、雙空題定義域為R的函數(shù)F(x)2x可以表示為一個奇函數(shù)fx和一個偶函數(shù)gx的和，則fx ；若關(guān)于x的不等式f(x)abF(x)的解的最小值為其中a,bR，則a的取值范圍是 .1【答案】 2x2

2x

a1先根據(jù)fxgx為偶函數(shù)，求出Fx，再與Fx聯(lián)立即可fxfxFxfxabF(x，即可得到1a2xb 21

1 2x ，將其轉(zhuǎn)化 1

2x1

x1，令2 22

max2 hxb12x2x1x1，求出hx2

即可求出a的取值范圍.F(xfxgx2xfxgx為偶函數(shù)，fxfx,gxgx，F(xiàn)(x)fxgxfxgx2xFxFxfxgxfxgx2fx2x2x，即fx122

2x ，f(x)abF(x)，1即 2x2

2

ab2x，即a2xb12x2

2x ， 1ab22

2x1， xfxabF(x1， 12 等價于a b 22

2x1

,x1，

maxhxb12x2x1x1， 2 21當(dāng)b12

時，hx2x1,xhx2x1在1,單調(diào)遞減，hxmax

h1，a，1 1當(dāng)b

時，b 0，2 2hxb12x2x1在單調(diào)遞減，hx

2 2hb12120

b3，max

2 2 4當(dāng)b趨近于hxmax

趨近于， 1故a b 2

2x1

x1無解，2 2 1 1

max當(dāng)b

時，b 0，2 2x102

1，2 1b22

0，2x11， hxb12

2x1

1，2 2 a，a.1 故答案為：2

2x2x

；a.關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是將關(guān)于xfxabF(x的解的 1最小值為1，轉(zhuǎn)化為a b 2

2x1

,x1.2 2

max五、解答題1（）2lg4lg5；( ( 2)221（2）8221

(4)0 .2【答案（）1（2） .24【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算法則計算；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算.（1）原式lg16lg5lg101；82222（2）原式 1 .22224 418．已知關(guān)于x的不等式ax2x20的解集為A.當(dāng)a0“xA”是“x{m1xm1,mR}的必要條件，求m的取值范圍；ARa的取值范圍.（）1,（）1,.8 （1）當(dāng)a0A2,)，再由已知得出關(guān)于m不等式，解之可得答案（2）分a0a0a的取值范圍，再求并集可得答案．（1）當(dāng)a0x20xA2,)，“xA是“xm1xm,m的必要條件，所以[m1,m1]2,，所以m12，得m1，m的取值范圍為1,.（2）1．當(dāng)a0x20.2．當(dāng)a0時，因為ax2x20R，a0 1所以18a0，解得a8.a的取值范圍是1.8 ，M,2?N5288f，M,2?N5288分別為其圖象上相鄰的最高點?最低點.fx的解析式；fx0,.

,22 （1）f(x)

2x（）單調(diào)遞增區(qū)間為0,，單調(diào)遞減區(qū)間為 84,，fx值域為 2,2.48 2 （1）A和周期T，由T

可求得的值，再將點M

2代入即可求得fx的解析式；8 （2）解不等式2k2

2x4

2k2

kZfx的單調(diào)的增區(qū)間， 再與0,求交集即可得 2

x在0,上的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性求出最值即得值 2 域.（1）因為fx圖象上相鄰兩個最高點和最低點分別為

,2，

,28 8 A2T

，則T

2 8 8 22又T||0，所以2f(x)2sin(2x，又圖象過點

2，所以22sin2

，即sin

1，8

8

4 所以2k4 2

kZ，即2k4

，kZ. 又|

，所以2

，所以f(x)2sin2x .44 4（2）由2k

2x

2k

kZ，得k

xk

，kZ，2 4 2 8 8fx的單調(diào)遞增區(qū)間為k

,k，kZ，8 8 又x0,2，所以

x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,， 8 fx的單調(diào)遞減區(qū)間為8

,.2又f(0)2sin

，f2

f ，4 8 222 22所以當(dāng)x0,時，fx值域為 2,2.2 ，利fx.xRfx1)fx)2x2；②不等式fx0的解集為1x；③函數(shù)yfx的圖象過點3,2請你在上述三個請將所選條件的序號填寫在答題紙指定位置)已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc，且滿足 填所選條件的序號).fx的解析式；設(shè)g(x)f(xmx，若函數(shù)gx在區(qū)間3，求實數(shù)m的值.（）f(x)x23x2（2）3.【分析（1）條①，求出f代入根據(jù)恒成立可得a1 ；條由一元二次b3a0不等式解的性質(zhì)可得b3a；條件③代入可得9a3bc2；分別根據(jù)選擇①②，c2a①③，②③，均可通過聯(lián)立方程組可得結(jié)果；m3（2）求出函數(shù)的對稱軸x ，將對稱軸和區(qū)間的端點進行比較，根據(jù)函數(shù)的單2調(diào)性列出關(guān)于m.【詳解】（1）條件①：因為f(x)ax2bxc(a0)，f(x1)fx)ax1)2bx1)cax2bxc2axab2x2，即2(a1)xab20x恒成立，所以2(a1)0 a所以ab2

，解得 .：因為不等式f(x)0的解集為1x，a0 b

a0所以 3，即b3a. a c2ac2 a條件③yfx的圖象過點，所以9ac2.①②a1bc2f(x)x23x2；a1選擇條①③：b3 ，9a3bc2a1bc2f(x)x23x2；a0b3a選擇條②③： ，c 2a9abc2a1bc2f(x)x23x2.（2）由gx)x2m3)x2x①m31，即m1時，2g(x) g(1)3m3)m3，解得m3；min②m32，即m12

m32 ，g(x)

min

g(2)62m6)2m3，解得m2

(舍)；③當(dāng)1

m32，即1m1時，2g(x)

gm3(m3)2

23 . ，無解min

2 4綜上所述，所求實數(shù)m的值為3.“”對稱軸位.110元，成本為8元，今年計劃投入適當(dāng)?shù)膹V告費進行促銷，預(yù)計年銷售量P(萬只)與投入廣告費x(萬元)之間ax1P

x1

(x0)，且當(dāng)投入廣告費為4萬元時，銷售量3.4萬只.現(xiàn)每只產(chǎn)品的銷售價為“原銷售價”與“年平均每只產(chǎn)品所占廣告費的

1(m0)”之和.m當(dāng)投入廣告費為1萬元時，要使得該產(chǎn)品年利潤不少于4.5萬元，則m的最大值是多少？若m3，則當(dāng)投入多少萬元廣告費時，該產(chǎn)品可獲最大年利潤？（）最大值為22）2萬元.4x【分析代入x 4，P 3.4，得Px1

（投入廣告費為1萬元時，得銷售價，利用年利潤等于售價減去成本和廣告費列不等式求解（列出年利潤與廣告費之間的“.x4P3.44a117，解得a4P

4x1.41 5 x1當(dāng)投入廣告費為1P

5，銷售價為10

11，2 P m年利潤W10

11P8P125

114

14.5，得0m2， P m

2 m m所以m的最大值為2.x萬元廣告費時，該產(chǎn)品可獲最大年利潤年利潤W10x1P8Px2P2x24x12x26 6

P 32(x1)

26

3 x1 3x16 x16 2(x1)33 x1 3 3 36當(dāng)且僅當(dāng)

2(x ，即x2(x x1 3【點睛】思路點睛：解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系式，將實際問題抽象成函數(shù)問題的模型．根據(jù)題意將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或者利用基本不等式求解最.22．若函數(shù)fx的圖象關(guān)于點a,b中心對稱，則對函數(shù)fx定義域中的任意x，恒有f(x) 2b f(2a x)如：函數(shù)fx的圖象關(guān)于點3,5中心對稱，則對函數(shù)fx定義域中的任意x恒有fx10fx.已知定義域為0,2m的函數(shù)fx，其圖象關(guān)于點1,e中心對稱，且當(dāng)x0,m1時，f(x)e|xm|，其中m1e.f1fx在0,2m上的解析式； 1 g(x)ex31x

0,2m

(1e)3,(e13， 1 2使得fx1

gx2

成立，求實數(shù)m的取值范圍.（1）

(m1)e

exmf(x)2eem2

0xm1m1x2m

（）

.（1）f(x)2ef(2m2xxm1f(m1)；當(dāng)x(m1,2m