高中數(shù)學(xué)人教B版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算

3．1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算1．理解n次方根及根式的概念．(重點(diǎn))2．正確運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))4．掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1整數(shù)指數(shù)閱讀教材P85～P86“第7行”以上部分，完成下列問題．1．a(chǎn)n＝.an叫做a的n次冪，a叫做冪的底數(shù)，n叫做冪的指數(shù)，并規(guī)定a1＝a.2．零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：a0＝1(a≠0)，a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N＋)．3．整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則對整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算仍然成立．下列運(yùn)算中，正確的是()A．a(chǎn)2·a3＝a6 B．(－a2)5＝(－a5)2C．(eq\r(a)－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10【解析】a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；當(dāng)a＝1時(shí)，(eq\r(a)－1)0無意義；當(dāng)a≠1時(shí)，(eq\r(a)－1)0＝－1.【答案】D教材整理2根式閱讀教材P86～P87“第6行”以上內(nèi)容，完成下列問題．1．a(chǎn)的n次方根的意義如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，則x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a(bǔ)開n次方，稱作開方運(yùn)算．2．根式的意義和性質(zhì)當(dāng)eq\r(n,a)有意義時(shí)，eq\r(n,a)叫做根式，n叫做根指數(shù)．根式的性質(zhì)：(1)(eq\r(n,a))n＝a(n>1，且n∈N＋)；(2)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，,|a|，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).))判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)n∈N*時(shí)，(eq\r(n,－16))n都有意義．()(2)任意實(shí)數(shù)都有兩個(gè)偶次方根，它們互為相反數(shù)．()(3)eq\r(n,an)＝a.()【解析】(1)×.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，(eq\r(n,－16))n沒有意義．(2)×.負(fù)數(shù)沒有偶次方根．(3)×.當(dāng)n為偶數(shù)，a<0時(shí)，eq\r(n,an)＝－a.【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理3實(shí)數(shù)指數(shù)冪閱讀教材P87“第7行”～P88“例1”以上部分內(nèi)容，完成下列問題．1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(1)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：aeq\s\up8(\f(m,n))＝(eq\r(n,a))m＝eq\r(n,am)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，m，n∈N＋，且\f(m,n)為既約分?jǐn)?shù)))；(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．2．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈Q)；(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q)．3．無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)eq\r(3－π2)＝π－3.()(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪aeq\s\up8(\f(m,n))可能理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘．()(3)0的任何指數(shù)冪都等于0.()【解析】∵eq\r(3－π2)＝|3－π|＝π－3.∴(1)正確．由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義知(2)、(3)均錯(cuò)．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]利用根式的性質(zhì)化簡或求值求下列各式的值.【導(dǎo)學(xué)號：60210072】(1)eq\r(5,－25)；(2)eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－π,2)))4)；(3)eq\r(x－y2)；(4)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)(－3<x<3)．【精彩點(diǎn)撥】根指數(shù)是奇數(shù)的，直接開出結(jié)果，根指數(shù)是偶數(shù)的，先判斷被開方數(shù)的底數(shù)的符號，如不能唯一確定，可分類表示．【自主解答】(1)eq\r(5,－25)＝－2.(2)∵3－π<0，∴eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－π,2)))4)＝eq\f(π－3,2).(3)eq\r(x－y2)＝|x－y|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y，x≥y，,y－x，x<y.))(4)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.∵－3<x<3，∴－4<x－1<2,0<x＋3<6.當(dāng)－4<x－1<0，即－3<x<1時(shí)，|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；當(dāng)0≤x－1<2，即1≤x<3時(shí)，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.∴eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x<1，,－4，1≤x<3.))1．正確區(qū)分eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意義，據(jù)n的奇偶性不同可知a的范圍；(2)eq\r(n,an)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，eq\r(n,an)的值取決于n的奇偶性．2．有條件根式的化簡(1)有條件根式的化簡問題，是指被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式可以通過配方、拆分等方式進(jìn)行化簡．(2)有條件根式的化簡經(jīng)常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡時(shí)，要考慮被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式的正負(fù)．[再練一題]1．求值：eq\r(3－2\r(2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,1－\r(2))))3＝________.【解析】eq\r(3－2\r(2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,1－\r(2))))3＝eq\r(\r(2)－12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)))＝eq\r(2)－1＋1－eq\r(2)＝0.【答案】0根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：【精彩點(diǎn)撥】對于本題先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用運(yùn)算性質(zhì)求解．【自主解答】1．當(dāng)所要化簡的根式含有多重根號時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后用性質(zhì)進(jìn)行化簡．2．關(guān)于式子eq\r(n,am)＝aeq\s\up8(\f(m,n))的兩點(diǎn)說明：(1)根指數(shù)n?分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母；(2)被開方數(shù)(式)的指數(shù)m?分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．3．通常規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的底數(shù)a＞0，但像(－a)eq\s\up8(\f(1,2))＝eq\r(－a)中的a則需要a≤0.特點(diǎn)提醒：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式是同一個(gè)數(shù)的兩種不同書寫形式．[再練一題]2．化簡eq\f(\r(x)·\r(3,x2),x·\r(6,x))的結(jié)果是()\r(x) B．xC．1 D．x2【解析】.故選C.【答案】C利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化簡、求值計(jì)算下列各式：(1)；(2)．【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)原式＝－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq\f(5,2)－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＝eq\f(27,16).(2).利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值的方法1．進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序．2．在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí)，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進(jìn)行化簡運(yùn)算．3．對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．[再練一題]3．計(jì)算：.【解析】【答案】eq\f(1,2)[探究共研型]指數(shù)式的條件求值問題探究1把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)分別展開是什么？【提示】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)＝a＋eq\f(1,a)＋2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)＝a2＋eq\f(1,a2)＋2.探究2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up12(2)有什么關(guān)系？【提示】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up12(2)＋4.已知aeq\s\up8(\f(1,2))＋aeq\s\up8(-\f(1,2))＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.【精彩點(diǎn)撥】尋找要求值的式子與條件式aeq\s\up8(\f(1,2))＋aeq\s\up8(-\f(1,2))＝4的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值．【自主解答】(1)將aeq\s\up8(\f(1,2))＋aeq\s\up8(-\f(1,2))＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的的變形，或先對條件式加以變形、溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．2．在利用整體代入的方法求值時(shí)，要注意完全平方公式的應(yīng)用．[再練一題]4．已知aeq\s\up8(\f(1,2))－aeq\s\up8(-\f(1,2))＝eq\r(5)，則aeq\s\up8(\f(1,2))＋aeq\s\up8(-\f(1,2))＝________.【解析】因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up8(\f(1,2))＋a\s\up8(－\f(1,2))))2＝a＋a－1＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up8(\f(1,2))＋a\s\up8(－\f(1,2))))eq\s\up12(2)＋4＝5＋4＝9，又因?yàn)閍eq\s\up8(\f(1,2))＋aeq\s\up8(-\f(1,2))>0，所以aeq\s\up8(\f(1,2))＋aeq\s\up8(-\f(1,2))＝3.【答案】31．下列運(yùn)算結(jié)果中，正確的是()A．a(chǎn)2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(eq\r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6【解析】a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq\r(a)－1)0＝1，若成立，需要滿足a≠1；(－a2)3＝－a6，故選A.【答案】A2．下列各式中成立的一項(xiàng)是()【解析】A中應(yīng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))7＝n7m－7；B中等式左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負(fù)數(shù)；C中x＝y(tǒng)＝1時(shí)不成立；D正確．【答案】D3.【解析】.【答案】D4．如果x>y>0，則eq\f(xyyx,yyxx)＝_