工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)基礎(chǔ) Part1 第2章1 結(jié)構(gòu)的彈性地震反應(yīng)分析與抗震驗(yàn)算規(guī)定

第一篇工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)基礎(chǔ)第2章結(jié)構(gòu)的彈性地震反應(yīng)分析與抗震驗(yàn)算規(guī)定

2.1概述2.1.1地震反應(yīng)的概念

建筑結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)：(1)概念設(shè)計(jì)；(2)參數(shù)設(shè)計(jì)?？拐鹩?jì)算的任務(wù)：根據(jù)抗震設(shè)防烈度及場(chǎng)地類別等參數(shù)求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形，由此進(jìn)行結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面驗(yàn)算和變形驗(yàn)算。地震反應(yīng)或響應(yīng)：結(jié)構(gòu)位移、速度、加速度、內(nèi)力和變形等。系統(tǒng)：彈簧、質(zhì)量、阻尼輸入或激勵(lì)輸出或響應(yīng)

地震反應(yīng)除與地面運(yùn)動(dòng)有關(guān)(輸入或激勵(lì))外，還與結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性(自振周期與阻尼或彈簧、質(zhì)量、阻尼)有關(guān)。2.1.2質(zhì)點(diǎn)體系及其自由度

圖3-1水塔的簡(jiǎn)化體系

圖3-2框架的簡(jiǎn)化體系

自由度：確定質(zhì)點(diǎn)系在空間位置所需的獨(dú)立參數(shù)。

圖3-3質(zhì)量均勻分布的結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)體系

2.1.3地震反應(yīng)計(jì)算方法簡(jiǎn)述

(1)靜力理論：把地面運(yùn)動(dòng)最大加速度和重力加速度的比值K定義為“水平烈度”，即當(dāng)房屋重量為G時(shí)，水平地震力為KG，可理解為相當(dāng)于房屋重量K倍的水平力破壞了房屋的靜止?fàn)顟B(tài)。(2)反應(yīng)譜理論：用實(shí)際地震記錄求得的加速度反應(yīng)譜進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)。(3)地震反應(yīng)時(shí)程分析：在運(yùn)動(dòng)微分方程輸入地震加速度記錄后直接積分求位移、速度和加速度，進(jìn)一步求構(gòu)件內(nèi)力和應(yīng)力，進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)。

2.2單自由度體系的彈性地震反應(yīng)2.2.1單度系統(tǒng)在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程假定：(1)地面運(yùn)動(dòng)水平加速度代表地震時(shí)地面運(yùn)動(dòng)過程；(2)地基為一剛體；(3)結(jié)構(gòu)是彈性體系。設(shè)基礎(chǔ)絕對(duì)位移為，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于基礎(chǔ)x(t)圖3-4單自由度體系動(dòng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖

令

則

式中：ω為無阻尼自振圓頻率，簡(jiǎn)稱自振頻率，ξ為阻尼系數(shù)c與臨界阻尼系數(shù)Cr之比，簡(jiǎn)稱阻尼比。

2.2.2單自由度體系的自由振動(dòng)

當(dāng)ξ<1時(shí)，有自由振動(dòng)解：

積分常數(shù)A與B由初始條件確定，最后得

為有阻尼體系的頻率，通常ξ<<1。

2.2.3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)1、單自由度體系在脈沖荷載作用下的振動(dòng)設(shè)系統(tǒng)開始靜止，t＝0時(shí)，突然作用有沖量Pdt(圖3-8)。相當(dāng)于單自由度體系在初始條件作用下的自由振動(dòng)，由理論力學(xué)沖量定理，有：t＝0時(shí)，x(0)＝0，v=(0)＝Pdt/m(mv-mv0=Pdt)，于是由式(3-7)有x(t)＝(Pdt/Mω’)ｅ-ξωtSinω’t(3-10)圖3-8t＝0時(shí)的脈沖作用及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

若沖量(脈沖力)是在時(shí)間t＝τ時(shí)作用(圖3-10)，則在t<τ時(shí)，質(zhì)量m不發(fā)生運(yùn)動(dòng)，而在t>τ時(shí)，有x(t)＝(Pdτ/Mω’)ｅ-ξω(t-τ)Sinω’(t-τ)(t>τ)(3-11)τ=0時(shí)，(3-11)成為(3-10)圖3-10t＝τ時(shí)的脈沖作用及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

2、一般荷載作用下的單自由度體系的振動(dòng)圖3-9t＝τ時(shí)的脈沖作用及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

單質(zhì)點(diǎn)體系在一般荷載P(t)作用下的振動(dòng)微分方程為

荷載P(t)可看作是無數(shù)的脈沖荷載P(τ)(或微沖量P(τ)dτ)的連續(xù)作用之和或疊加(圖3-9)，在t＝τ作用的微沖量P(τ)dτ產(chǎn)生的微小位移為：

dx＝(P(τ)dτ/Mω’)ｅ-ξω(t-τ)Sinω’(t-τ)(3-12a)在激勵(lì)由0到t的連續(xù)作用下，質(zhì)量m在時(shí)刻t時(shí)的總位移為：

此積分式稱為卷積積分或褶積積分或杜哈梅積分（Duhamel）。

2.2.4單自由度體系的彈性地震反應(yīng)分折

比較式(3-5)與(3-12)后可知，相當(dāng)于P(t)/m，所以由式(3-13)有特解：

方程(3-5)的通解等于方程的齊次解(式(3-7))與特解(式(3-14))之和，但式(3-7)是瞬態(tài)解，在有阻尼的情況下，很快會(huì)衰減，因此起作用的是穩(wěn)態(tài)解或特解式(3-14)。

速度：

加速度：

對(duì)式(3-14)、(3-15)及(3-16)進(jìn)行積分，可得位移、速度和加速度的地震反應(yīng)。

位移：

影響結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的因素：

(1)地面運(yùn)動(dòng)加速度；(2)系統(tǒng)固有頻率ω；(3)阻尼比ξ

式(3-14)、(3-15)及(3-16)的積分通常采用數(shù)值分析方法(直接積分法)進(jìn)行。

常用的直接積分法有中心差分法、線性加速度法、威爾遜(Wilson)—θ法、Newmark法、Houbolt方法及龍格—庫(kù)塔(Runge-Kutta)法等。

(均為數(shù)值方法)1、線性加速度法

假定質(zhì)點(diǎn)的加速度反應(yīng)在任一微小時(shí)段Δt內(nèi)的變化是線性關(guān)系，考慮tk-1至tk的Δtk時(shí)段(圖3-12)。

將位移及速度分別按泰勒級(jí)數(shù)展開：

(3-17)(3-18)由圖3-12，線性加速度的變化率為：

所以

由

有

解(3-20)、(3-21)和(3-22)，得式中：m、k和c分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼。已知系統(tǒng)質(zhì)量m、剛度k和阻尼比ξ，初始條件及地面時(shí)程加速度，則tk時(shí)刻系統(tǒng)的位移、速度和加速度計(jì)算過程如下：

(1)確定時(shí)間步長(zhǎng)Δt，計(jì)算ω、c=2ξω和K(式(3-26))；

(2)求時(shí)刻t1(＝Δt)的反應(yīng);(a)由式(3-28)、(3-29)確定初始時(shí)刻的α0和β0；

(b)由式(3-27)確定t1時(shí)刻的R1；

(c)由式(3-23)、(3-24)和(3-25)求t1時(shí)刻的(3)求時(shí)刻t2(＝t1+Δt)的反應(yīng);求法重復(fù)步驟(2)(4)再依次求t3、t4，…至所要求的時(shí)刻為止。

2、龍格—庫(kù)塔法

龍格—庫(kù)塔法是以德國(guó)數(shù)學(xué)家C.Runge及M.W.Kutta命名的。龍格—庫(kù)塔法不作介紹，具體推導(dǎo)可以參考下列文獻(xiàn)：(1)易大義，蔣叔豪，李有法，數(shù)值方法，浙江科學(xué)技術(shù)出版社，1984.9(2)徐稼軒，鄭鐵生，結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的數(shù)值方法，西安交通大學(xué)出版社出版，1993.6

(3)K·J·巴特，E·L·威爾遜，有限元分析中的數(shù)值方法，科學(xué)出版社，1985.5(4)其他數(shù)值分析，數(shù)值計(jì)算方法等2.3地震反應(yīng)譜

2.3.1地震反應(yīng)譜的概念

工程中往往只關(guān)心響應(yīng)的最大絕對(duì)值，利用地震反應(yīng)譜可求最大地震反應(yīng)。地震反應(yīng)譜：系統(tǒng)的最大反應(yīng)與系統(tǒng)自振周期(或固有頻率)和阻尼比的關(guān)系曲線。

工程上通常以相對(duì)位移(與結(jié)構(gòu)變形和內(nèi)力有關(guān))、相對(duì)速度(與地震動(dòng)輸入能量有關(guān))和絕對(duì)加速度(與地震慣性力有關(guān))等最為重要的變量建立反應(yīng)譜。

位移、速度和加速度反應(yīng)譜分別記為，則當(dāng)阻尼比ξ很小時(shí)，近似有圖3-18為按圖3-15地震波作輸入所得的位移和加速度反應(yīng)譜。

阻尼影響很大；從圖3-19可見加速度反應(yīng)譜在短周期部分波動(dòng)劇烈且幅值較大；當(dāng)周期較長(zhǎng)時(shí)，譜值逐漸衰減；當(dāng)周期大于某定值時(shí)，速度反應(yīng)譜的譜值隨周期的變化呈現(xiàn)出大致與周期軸平行的趨勢(shì)；當(dāng)周期大于某定值時(shí)，位移反應(yīng)譜具有隨周期增大而增高的趨勢(shì)，即位移反應(yīng)對(duì)長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的影響比短周期結(jié)構(gòu)要大。

2.3.2反應(yīng)譜的標(biāo)準(zhǔn)化及平均反應(yīng)譜

顯然，不同場(chǎng)地或不同時(shí)間發(fā)生的地震波記錄作輸入所得的反應(yīng)譜是不同的，因此，用己知的某一個(gè)地震波記錄所得的反應(yīng)譜來預(yù)測(cè)未來的地震反應(yīng)，進(jìn)行工程抗震設(shè)計(jì)是沒有意義的。

為了得到具有代表性的反應(yīng)譜供抗震設(shè)計(jì)用，提出了反應(yīng)譜的標(biāo)推化及平均反應(yīng)譜。

標(biāo)準(zhǔn)化反應(yīng)譜：反應(yīng)的最大值與引起該反應(yīng)的地面運(yùn)動(dòng)的最大幅值之比，將兩者的比值β作為縱坐標(biāo)所得的反應(yīng)譜。如對(duì)加速度反應(yīng)譜，β為：

β稱為動(dòng)力放大系數(shù)。

由不同地震記錄所得的加速度標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜，其最大譜值βmax大致相同，只是譜的形狀不同。這樣，通過標(biāo)準(zhǔn)化處理后，地震動(dòng)強(qiáng)度對(duì)反應(yīng)譜的影響基本上消除了，可以單獨(dú)研究地震動(dòng)頻譜特性對(duì)反應(yīng)譜的影響。

通常，震中距和場(chǎng)地條件是影響反應(yīng)譜形狀的主要因素。

平均反應(yīng)譜：將大量的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜按影響譜形狀的各種因素分別加以平均的反應(yīng)譜。

規(guī)范根據(jù)場(chǎng)地條件和震中距兩個(gè)因素將反應(yīng)譜分成A、B、C、D、E五類。以烈度8度為例：近震Ⅰ類場(chǎng)地為A，近震Ⅱ類和遠(yuǎn)震Ⅰ類為B，近震Ⅲ類和遠(yuǎn)震Ⅱ類為C，近震Ⅳ類和遠(yuǎn)震Ⅲ類為D，遠(yuǎn)震Ⅳ類為E(場(chǎng)地分類見第2章)。五種譜形的平均反應(yīng)譜如圖3-23：2.3.3規(guī)范規(guī)定的地震反應(yīng)譜

平均反應(yīng)譜雖可作抗震設(shè)計(jì)的依據(jù)，但不便應(yīng)用，為此，進(jìn)行處理。地震作用：

k稱為地震系數(shù)，是地震強(qiáng)烈程度的指標(biāo)，規(guī)范按烈度7、8、9度分別取k值為0.1、0.2和0.4。

β為式(3-36)表示的動(dòng)力系數(shù)，規(guī)范取βmax=2.25。α稱為地震影響系數(shù)。

設(shè)計(jì)用反應(yīng)譜：1、縱坐標(biāo)用α。首先將圖3-23的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜加以模型化，成為圖3-24；然后將已模型化的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜的譜值β乘上一個(gè)系數(shù)k，得到α譜曲線如圖3-25(《抗震規(guī)范》規(guī)定的抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜)，兩者的譜值不同，但譜的形狀沒有改變。各設(shè)計(jì)階段的αmax值如表3-1所示。

基本烈度：αmax＝kβmax=(0.1～0.4)*2.25多遇烈度：k值約為基本烈度的0.35倍罕遇烈度：k值約為基本烈度的2.2、2.0和1.6倍(當(dāng)基本烈度為7、8和9度時(shí))表3-1水平地震影響系數(shù)最大值αmax驗(yàn)算內(nèi)容設(shè)防烈度6789多遇地震，承載力(與彈性變形)驗(yàn)算0.040.080.160.32相應(yīng)基本烈度地震(一般不使用)0.120.230.450.90罕遇地震，防倒塌彈塑性變形驗(yàn)算0.250.500.901.40表2-1水平地震影響系數(shù)最大值αmax

2、取阻尼比ξ＝0.05的譜曲線作為設(shè)計(jì)用的譜曲線。3、將譜曲線分為三段：Tg稱為特征周期，按表3-2確定。

表3-2特征周期Tg(s)近、遠(yuǎn)震場(chǎng)地類別ⅠⅡⅢⅣ近震0.200.300.400.65遠(yuǎn)震0.250.400.550.85關(guān)于α(T)曲線的說明：(a)單質(zhì)點(diǎn)體系自振周期T可按下式確定：ωT=2πω2=k/mkδ=P=1→T==2π(Gδ/g)1/2G——質(zhì)點(diǎn)重力荷載代表值；δ——單位水平集中力使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的側(cè)移。

(b)關(guān)于T=0時(shí)，β=1T=0時(shí)，系統(tǒng)為剛性體系，地面的運(yùn)動(dòng)就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，即系統(tǒng)既不放大也不縮小，β=1。(c)關(guān)于αmin的取值為了保證結(jié)構(gòu)具有最低限度的抗震能力，《規(guī)范》規(guī)定，α值的下限不應(yīng)小于最大值的20％，即αmin＝0.2αmax。至于限制T≤3.0s的問題，主要考慮當(dāng)T≤3.0s時(shí)，α反應(yīng)譜曲線準(zhǔn)確性才有保證。(d)α反應(yīng)譜曲線在0.1s≤T≤Tg一段，作了平滑處理，為安全計(jì)，這一段取水平線，即均按αmax取值。在0≤T≤0.1s一段，按直線變化，即按0.45αmax和αmax之間線性插入取值。(e)繪制α反應(yīng)譜曲線時(shí)，阻尼比采用ξ＝0.05

利用抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)構(gòu)所受地震力的基本步驟：

(1)

計(jì)算結(jié)構(gòu)的重量G和自振周期T；

(2)

根據(jù)結(jié)構(gòu)所在地區(qū)的設(shè)防烈度、場(chǎng)地條件和震中距，按表3-1和表3-2查得反應(yīng)譜的最大地震影響系數(shù)αmax和特征周期Tg；

(3)

按公式(3-40)確定地震影響系數(shù)α；

(4)

按公式(3-37)計(jì)算地震作用Fek，即<例2－4>

兩跨單層廠房，其結(jié)構(gòu)為鉸接排架，如圖3-26(a)所示。屋蓋重量G1＝495kN，G2＝396kN，柱子重量g1＝g3＝30kN，g2＝36kN，柱子剛度EI1＝EI3=10.83kN?m2，EI2=18.72kN?m2，柱高h(yuǎn)＝6m。按8度、近震、Ⅲ類場(chǎng)地求廠房強(qiáng)度驗(yàn)算時(shí)所受地震作用。

圖3-26兩跨單層廠房剖面及其計(jì)算簡(jiǎn)圖

〖解〗模型簡(jiǎn)化如圖3-26(b)，體系剛度為各柱剛度之和，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量當(dāng)計(jì)算體系自振周期T時(shí)取屋蓋重量及1/4柱重量之和，當(dāng)計(jì)算地震作用Fek時(shí)取屋蓋重量及1/2柱重量之和。EI=EI1+EI2+EI3(為什么？)由材料力學(xué)δ=PL3/3EI及Kδ=P令L=h即可得K值。K的計(jì)算原理：8度，αmax＝0.16；近震、Ⅲ類場(chǎng)地，Tg＝0.40所以：

計(jì)算體系自振周期T時(shí)取屋蓋重量及1/4柱重量之和，當(dāng)計(jì)算地震作用Fek時(shí)取屋蓋重量及1/2柱重量之和。(為什么？)計(jì)算體系自振周期T時(shí)設(shè)立柱速度分布為直線，則立柱和屋蓋質(zhì)量分別為m和M，立柱單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度為ρ，則系統(tǒng)動(dòng)能為系統(tǒng)勢(shì)能：VVyy由T=U，兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得，即質(zhì)量取1/3。若立柱速度分布為拋物線，則同樣推導(dǎo)可得質(zhì)量取1/5。若選取直桿重力荷載q沿水平方向作用得到的彈性曲線作為振型曲線(如圖示)，即則柱頂最大位移Xm為(令上式y(tǒng)=H)：Xm=qH4∕8EI所以x=Xm(y4-4Hy3+6H2y2)∕(3H4)立柱動(dòng)能T柱為：(利用柱頂速度V=ωXm及柱質(zhì)量m=ρH)故等效質(zhì)量取柱質(zhì)量的0.257倍，約m/4因此，這里有模型的選取問題。

計(jì)算地震作用Fek時(shí)：立柱質(zhì)心在h/2處，慣性力為ma/2=a(m/2)<例2－5>

單層鋼筋混凝土框架計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示。集中在屋蓋處的重力荷載代表值G＝1200kN，梁的抗彎剛度EI＝∞，柱的截面尺寸bh＝350mm×350mm，采用C20混凝土，Ⅲ類場(chǎng)地，設(shè)防烈度7度(近震)。試確定按第一階段設(shè)計(jì)時(shí)的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值，并繪出相應(yīng)地震內(nèi)力圖。

〖解〗(1)求水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值

C20混凝土的彈性模量E＝25.5kN／mm2，柱的慣性矩：（為什么？見下頁(yè)）框架自振周期(注意梁的抗彎剛度EI＝∞，無變形)：也可用：

P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的轉(zhuǎn)角分別為：θP=-PL2/2EIθM=ML/EIP=1M自由端是固支端，轉(zhuǎn)角為零θP+θM=0所以：

M=PL/2在力P和力偶M=PL/2共同作用下，自由端的撓度為：δ=δP+δM=-PL3/3EI+ML2/2EI=-PL3/12EI由Kδ=P得K=12EI/L3

圖參見右圖由P49表3-1，當(dāng)設(shè)防烈度為7度、多遇地震時(shí)，αmax＝0.08，由表3-2，當(dāng)Ⅲ類場(chǎng)地、近震時(shí)Tg＝0.40s按式(3-40)計(jì)算地震影響系數(shù)α式(3-37)計(jì)算水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值：(2)求地震內(nèi)力標(biāo)準(zhǔn)值，并繪出內(nèi)力圖

求得水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值FEk＝45.6kN后，就可把它加到框架橫梁標(biāo)高處，按靜載計(jì)算框架地震內(nèi)力V和M。地震內(nèi)力V圖(剪力圖)、M圖(彎矩圖)見圖。

2.4多自由度體系的彈性地震反應(yīng)

2.4.1多自由度體系的自由振動(dòng)1、自振頻率(1)剛度法圖示框架，模型簡(jiǎn)化如圖3-27(b)、(c)所示，mi、hi、ki及xi分別表示第i層的質(zhì)量、層高、柱的剪切剛度及水平位移。

受力分析如圖3-28，由理論力學(xué)達(dá)朗貝爾原理，有

或

k22k12x=1k11K21x=1k1k2設(shè)解為：

所以：

式(3-47)為振幅方程。

振幅Xl及X2不同時(shí)等于零的條件是系數(shù)行列式等于零，即或式(3-49)稱為頻率方程。ω1稱為第一自振頻率或基頻；ω2稱為第二自振頻率。對(duì)于多層框架的多自由度體系，有頻率方程：剛度矩陣[K]是對(duì)稱三對(duì)角矩陣。

如果考慮的是空間問題或一般的振動(dòng)系統(tǒng)，則[K]將不是三對(duì)角矩陣。質(zhì)量矩陣[M]是對(duì)角矩陣由頻率方程(3-53)，可以得到n個(gè)固有頻率和相應(yīng)的振型。

(2)柔度法仍以二層框架為例，任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)l及質(zhì)點(diǎn)2在慣性力作用下的位移為：δ21P=1δ11δ12P=1δ22設(shè)與剛度法一樣，有Xl和X2不同時(shí)等于零的條件：或：對(duì)于一般的多自由度體系，柔度法建立的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：柔度矩陣[δ]通常為滿陣：

質(zhì)量矩陣與前面一樣是對(duì)角陣。

頻率方程：柔度矩陣[δ]與剛度矩陣[K]互逆，即<例2－6>求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。

k1k2k3m1m2m3〖解〗剛度法：令x1=1，x2=x3=0，有k11=k1+k2k21=-k2k31=0同理：k22=k2+k3k12=-k2k32=-k3k23=-k3m1k1k2k11m2k2k21剛度矩陣kij描述了質(zhì)點(diǎn)i與j的聯(lián)系。柔度法：在m1

上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：

δ11

＝1/k1δ21

＝δ31

＝δ11

＝1/k1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1同理，在m2

上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：

δ12

＝1/k1δ22

＝1/k1

＋1/k2δ32＝1/k1

＋1/k2

在m3

上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：

δ13＝1/k1δ23

＝1/k1＋1/k2δ33

＝1/k1＋1/k2＋1/k3

柔度矩陣為：

可以驗(yàn)證：[δ]＝[K]-1

對(duì)彈性系統(tǒng)來說，總存在剛度矩陣，但不一定存在柔度矩陣，當(dāng)系統(tǒng)中存在剛體位移（模態(tài)）時(shí)，就是這種情況，此時(shí)，剛度矩陣[K]是奇異的，矩陣行列式等于零，因而不存在逆矩陣。如上面k1=02、主振型

從頻率方程求出ω1和ω2后，將其分別代入振幅方程(3-47)(剛度法)或式(3-56)(柔度法)，可得到相應(yīng)的位移幅值。由于振幅方程的系數(shù)行列式等于零，所以(3-47)的兩個(gè)方程并非獨(dú)立，由其中任一式可求振幅比：

兩自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)固有頻率ω1

與ω2

，說明系統(tǒng)具有兩種可能的同步運(yùn)動(dòng)，每個(gè)同步運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)一個(gè)固有頻率，即解有下列兩個(gè)形式：

頻率ω1

：x1(t)＝X11Sin(ω1t＋ε1)x2(t)＝X12Sin(ω1t＋ε1)

頻率ω2

：x1(t)＝X21Sin(ω2t＋ε2)x2(t)＝X22Sin(ω2t＋ε2)振幅的比值為一常數(shù)。

對(duì)應(yīng)每個(gè)自振頻率，都有一個(gè)振幅比，體系按某一彈性曲線形狀發(fā)生振動(dòng)。這種振動(dòng)形式通常稱為主振型，或簡(jiǎn)稱振型。ω1——對(duì)應(yīng)第一振型或基本振型；ω2——對(duì)應(yīng)第二振型?？梢宰C明，對(duì)第一振型，X11與X12正負(fù)相同，對(duì)第二振型，X21與X22正負(fù)相反。振型如圖3-29(a)與(b)。對(duì)于柔度法，有

令

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在一般情況下是這兩個(gè)同步運(yùn)動(dòng)的疊加：

x1(t)＝X11Sin(ω1t＋ε1)＋X21Sin(ω2t＋ε2)x2(t)＝X12Sin(ω1t＋ε1)＋X22Sin(ω2t＋ε2)

＝μ1X11Sin(ω1t＋ε1)＋μ2X21Sin(ω2t＋ε2)(3-64)寫成矩陣形式：

四個(gè)積分常數(shù)X11

、X21

、ε1

和ε2

由初始條件確定。

ω21和{u}1稱為第一特征對(duì)，ω22和{u}2稱為第二特征對(duì)。對(duì)于n自由度系統(tǒng)，有ω2i和{u}i(i=1,2,…,n)。3、主振型的正交性特征對(duì)ω2i與{u}i(i=1,2,…,n)滿足特征矩陣方程(3-52)，即

（[K]－ω2i[M]）{u}i

＝0或[K]{u}i

＝ω2i[M]{u}i(a)對(duì)任意j，同樣有

[K]{u}j＝ω2j[M]{u}j(b)將(a)式兩邊轉(zhuǎn)置后右乘{(lán)u}j

，得

{u}Ti[K]{u}j

＝ω2i{u}Ti[M]{u}j(c)對(duì)(b)式左乘{(lán)u}Ti

，得

{u}Ti[K]{u}j

＝ω2j{u}Ti[M]{u}j(d)(c)(d)兩式相減，得：

0＝(ω2i

－ω2j){u}Ti[M]{u}j

若i≠j，則ωi

≠ωj

，于是

{u}Ti[M]{u}j

＝0因而

{u}Ti[K]{u}j

＝0說明各個(gè)主振型關(guān)于[M]與[K]存在加權(quán)正交性。記

Mi

＝{u}Ti[M]{u}iKi

＝{u}Ti[K]{u}i

則

λi

＝Ki/Mi

Mi

與Ki

分別稱為第i階模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度。

《例題3-5》某兩層鋼筋混凝土框架，如圖3-30所示，假定橫梁的剛度很大而可不考慮其彎曲變形；柱的截面積為40cm×50cm，混凝土彈性模量E＝2.6×107kN／m2；一、二層的質(zhì)量為m1=m2＝5×l04kg。試求該框架的自振頻率與振型。

[解]：1計(jì)算各層的剪切剛度

I1=I2=0.4×0.53/12=0.05/12m4

注意：為什么這里k1=k2=12EI/h3而不是P51圖3-26的k=3EI/h3？因?yàn)閳D3-26是懸臂梁，這里是固支—固支梁！P=1圖3-26兩跨單層廠房剖面及其計(jì)算簡(jiǎn)圖

P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的轉(zhuǎn)角分別為：θP=-PL2/2EIθM=ML/EIP=1M自由端是固支端，轉(zhuǎn)角為零θP+θM=0所以

M=PL/2在力P和力偶M=PL/2共同作用下，自由端的撓度為：δ=δP+δM=-PL3/3EI+ML2/2EI=-PL3/12EI由Kδ=P得K=12EI/L32用剛度法求自振頻率由式(3-49)得

3用柔度法求自振頻率

由式(3—58)可求出相同的結(jié)果：

4求主振型

當(dāng)ω1=12.61時(shí)

當(dāng)ω2=33.0時(shí)2.4.2多自由度體系彈性地震反應(yīng)的振型分解法1、多自由度體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程圖示多自由度體系框架結(jié)構(gòu)，設(shè)基礎(chǔ)為剛性平面，地面位移為xg(t)，xi(t)表示質(zhì)點(diǎn)i的相對(duì)位移。

作用力有慣性力：阻尼力：式中：Cim——由點(diǎn)m產(chǎn)生的單位速度在點(diǎn)i產(chǎn)生的阻尼力；

kim——由點(diǎn)m產(chǎn)生的單位位移在點(diǎn)i產(chǎn)生的彈性反力彈性恢復(fù)力：圖3-22多層框架計(jì)算簡(jiǎn)圖

由達(dá)朗貝爾原理：

即

質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣分別為：

2、多自由度體系地震反應(yīng)的振型分解法

運(yùn)動(dòng)微分方程(3-72)是耦合的，即微分方程之間相互聯(lián)系。為了解耦，可以利用主振型關(guān)于[M]與[K]的加權(quán)正交性。

(1)阻尼矩陣假定

設(shè)

(2)廣義坐標(biāo)

進(jìn)行主坐標(biāo)變換：

即

式中：為廣義坐標(biāo)向量；

[X]為變換矩陣，由n個(gè)特征向量{Xi}所構(gòu)成。

(3)振型參與系數(shù)

式(3-80a)兩邊左乘[Xj]T[m]，得

考慮到振型關(guān)于[M]與[K]的加權(quán)正交性

{u}Ti[M]{u}j

＝0{u}Ti[K]{u}j

＝0或{Xi}T[M]{Xj}＝0{Xi}T[K]{Xj}＝0有由(3-83)和(3-84)得第j個(gè)廣義坐標(biāo)qj：對(duì)于x1＝x2＝…＝xn=1的特殊情況，用γj代替qj，有

式中γj稱為地震反應(yīng)中第j振型的振型參與系數(shù)，Xji為振型矩陣的第j行第i列元素。(4)廣義坐標(biāo)微分方程及其解

將式(3-77)、(3-80a)代入(3-72)，并左乘{(lán)Xj}T，