2-狀態(tài)方程求解

2狀態(tài)方程的求解本章是通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能的。由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數(shù)方程。因此，只要求出狀態(tài)方程的解，就很容易得到系統(tǒng)的輸出，進(jìn)而研究系統(tǒng)的性能。本章內(nèi)容為1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解4線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析5線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣8用MATLAB求解系統(tǒng)方程6線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化7線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2.1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（1）（2）先考察標(biāo)量齊次微分方程的冪級(jí)數(shù)解法假設(shè)其解為一冪級(jí)數(shù)（3）將（3）式代入（2）式這時(shí)系統(tǒng)的輸入為零等式兩邊t

的同次冪的系數(shù)相等，因此有而因?yàn)閯t解為（4）模仿標(biāo)量齊次微分方程的解法，假設(shè)線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式等式兩邊t

同次冪的系數(shù)相等，因此有而記作則線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（6）則（7）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗(yàn)證和矩陣指數(shù)函數(shù)又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記作由于系統(tǒng)沒有輸入向量，是由初始狀態(tài)激勵(lì)的。因此，這時(shí)的運(yùn)動(dòng)稱為自由運(yùn)動(dòng)。的形態(tài)由決定，即是由矩陣A

惟一決定的。2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為或其幾何意義是：系統(tǒng)從初始狀態(tài)開始，隨著時(shí)間的推移，由轉(zhuǎn)移到，再由轉(zhuǎn)移到，……。的形態(tài)完全由決定。2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）即2）即3）可逆性即4）傳遞性即5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有如果時(shí)，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）2）3）4）5）當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）2）3）4）5）當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）2）3）4）5）當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí)2.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法方法1

根據(jù)定義，計(jì)算方法2

應(yīng)用拉普拉斯變換法，計(jì)算對(duì)上式求拉普拉斯變換，得如果為非奇異（9）LL（10）由微分方程解的唯一性L例2-2

線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解于是L方法3

應(yīng)用凱萊-哈密頓定理，計(jì)算凱萊-哈密頓定理：矩陣A

滿足自身的特征方程。即根據(jù)凱萊-哈密頓定理（11）例用凱萊-哈密頓定理計(jì)算解由凱-哈定理：所以（11）式表明：是、、、、的線性組合（12）將（11）式代入（12）式，不斷地進(jìn)行下去，可以看出：、、、都是、、、、的線性組合（13）其中，，為待定系數(shù)。的計(jì)算方法為：1）A的特征值互異應(yīng)用凱-哈定理，和都滿足的特征方程。因此，也可以滿足（13）式。（其中，）寫成矩陣形式（14）于是（15）例2-3

線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為用凱-哈定理計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解即2）A的特征值相同，均為（16）3）A的特征值有重特征值，也有互異特征值時(shí)，待定系數(shù)可以根據(jù)（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。例2-4

線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為解應(yīng)用凱-哈定理計(jì)算A

的特征值為于是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法4

通過線性變換，計(jì)算因?yàn)槎驗(yàn)閷?duì)角陣的特殊性質(zhì)，有：1）矩陣A

可以經(jīng)過線性變換成為對(duì)角陣，計(jì)算因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為例2-5

線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為用線性變換方法，計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解（17）2）矩陣A

可以經(jīng)過線性變換成為約當(dāng)形陣，計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（18）3）矩陣A

可以經(jīng)過線性變換成為模態(tài)形陣，計(jì)算如果矩陣A的特征值為共軛復(fù)數(shù)經(jīng)過線性變換，可轉(zhuǎn)換為模態(tài)矩陣M其中系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（19）2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為（20）改寫為（21）（21）式兩邊同乘得或?qū)懗桑?2）對(duì)（22）式在0

到t

時(shí)間段上積分，有（23）（24）（24）式兩邊同乘，并且移項(xiàng)（25）（26）（27）更一般情況，當(dāng)（28）由式（25）或式（27）可知，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)包括兩個(gè)部分。一部分是輸入向量為零時(shí)，初始狀態(tài)引起的，即相當(dāng)于自由運(yùn)動(dòng)。第二部分是初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入向量引起的，稱為強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。正是由于第二部分的存在，為系統(tǒng)提供這樣的可能性，即通過選擇適當(dāng)?shù)妮斎胂蛄?，使的形態(tài)滿足期望的要求。例2-8

線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解在例2-2中已經(jīng)求得由（26）式例2-8

用拉氏變換法求解例2-8

用拉氏變換法求解系統(tǒng)的輸出方程為則或（29）可見，系統(tǒng)的輸出由三部分組成。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出后，不同輸入狀態(tài)向量作用下的系統(tǒng)輸出即可以求出，進(jìn)而就可以分析系統(tǒng)的性能了。例2-8

求連續(xù)狀態(tài)方程的解2.6線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化作以下假定：1）被控對(duì)象上有采樣開關(guān)；2）采樣周期為T，滿足香農(nóng)采樣定理要求，包含連續(xù)信號(hào)全部信息；3）具有零階保持器。2.6.1線性時(shí)變系統(tǒng)（56）初始狀態(tài)為狀態(tài)方程的解為（57）令，，則（58）（59）再令，，則將（59）式兩邊都左乘（60）（58）減（60）并且整理后，得到令：考慮到于是省略T，得到（61）輸出方程離散化，令，即可以得到（62）2.6.2線性定常系統(tǒng)（63）離散化后得到（64）其中例2-8

求連續(xù)狀態(tài)方程的離散化例2-8

連續(xù)狀態(tài)方程離散化后求解2.7線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2.7.1線性定常離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：其中，x(k)為n維狀態(tài)向量采用迭代法可以求出系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解（65）其中（66）系統(tǒng)的輸出為（67）2.7.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣若系統(tǒng)初始狀態(tài)為，通過將其轉(zhuǎn)移到狀態(tài)，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。1.的基本性質(zhì)1）滿足自身的矩陣差分方程及初始條件2）傳遞性3）可逆性2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法：①按定義計(jì)算；②用z反變換計(jì)算；③應(yīng)用凱-哈定理計(jì)算；④通過線性變換計(jì)算。在此，我們僅討論用z反變換計(jì)算。離散系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：對(duì)上式進(jìn)行z變換Z可見Z（68）例2-13

離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解Z2.7.3線性定常離散系統(tǒng)方程的解（69）系統(tǒng)方程為可以用迭代法求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解系統(tǒng)方程的解為（70）系統(tǒng)的輸出為（71）2.7.3線性定常離散系統(tǒng)方程的解（69）系統(tǒng)方程為可以用z變換法求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例2-13

離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為求解狀態(tài)方程解例2-13

離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為2.8用MATLAB求解系統(tǒng)方程2.8.1線性齊次狀態(tài)方程的解使用MATLAB可以方便地求出狀態(tài)方程的解。我們通過例子來說明。例2-16

已知線性系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為初始條件求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。解用以下MATLAB程序計(jì)算齊次狀態(tài)方程的解，其中collect()函數(shù)的作用是合并同類項(xiàng)，而ilaplace()函數(shù)的作用是求取拉普拉斯逆變換，函數(shù)det()的作用是求方陣的行列式。程序執(zhí)行結(jié)果這表示2.8.2線性非齊次狀態(tài)方程的解通過以下例子說明。例2-17

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為解用以下MATLAB程序求系統(tǒng)方程的解。其中，語句phi=subs(phi0,’t’,(t-tao))表示將符號(hào)變量phi0中的自變量t用(t-tao)代換就構(gòu)成了符號(hào)變量phi，而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號(hào)變量F對(duì)tao在0到t的積分區(qū)間上求積分，運(yùn)算結(jié)果返回到x2。程序執(zhí)行結(jié)果為這表示2.8.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化在MATLAB中，函數(shù)c2d（）的功能就是將連續(xù)時(shí)間的系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間的系統(tǒng)模型。其調(diào)用格式為：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，輸入?yún)⒘縮ysc為連續(xù)時(shí)間的系統(tǒng)模型；T為采樣周期（秒）；method用來指定離散化采用的方法?！畓oh’——采用零階保持器；‘foh’——采用一階保持器；‘tustin’——采用雙線性逼近方法；‘prewarm’——采用改進(jìn)的tustin方法；‘mat