高二物理競賽Fermi凍結(jié)課件

Fermi凍結(jié)

Fermi凍結(jié)1）Fermi-Dirac分布當(dāng)T>0時，電子熱運(yùn)動的能量~kBT，在常溫下kBT<<EF0因此，只有費(fèi)米面附近的電子才能被激發(fā)到高能態(tài)，即只有E－EF0

~kBT的電子才能被熱激發(fā)，而能量比EF0低幾個kBT的電子則仍被Pauli原理所束縛，其分布與T＝0時相同。能量在E－E＋dE之間的電子數(shù)為：自旋因子k空間費(fèi)米球體積k空間態(tài)密度電子數(shù)T=0時費(fèi)米能計算當(dāng)rs/a0=1時，vF=4.2×108cm/s。但是，在室溫下（300K），電子熱運(yùn)動速度為8.3×106cm/s。費(fèi)米速度不同于熱運(yùn)動速度(1-10eV)其中為Fermi－Dirac分布函數(shù)是電子的化學(xué)勢，其物理意義是在體積不變的情況下，系統(tǒng)增加一個電子所需的自由能。從分布幾率看，當(dāng)E＝時，f()＝0.5，代表填充幾率為1/2的能態(tài)。當(dāng)E比大幾個kBT時，exp[(E－)/kBT]>>1

，有，這時，F(xiàn)ermi－Dirac分布過渡到經(jīng)典的Boltzmann分布。且f(E)隨E的增大而迅速趨于零。這表明，E比大幾個kBT的能態(tài)是沒有電子占據(jù)的空態(tài)。當(dāng)E比小幾個kBT時，exp[(E－)/kBT]<<1

，這時，f(E)1，這表明，E比小幾個kBT的能態(tài)基本上是滿態(tài)。對金屬而言，其熔點(diǎn)均低于TF，因此，在熔點(diǎn)以下，T<<TF總是滿足的。

化學(xué)勢

Fermi能EF只有在費(fèi)米面附近厚度~kBT的一層電子能夠吸收能量，因此只有這層電子對比熱有貢獻(xiàn)。由于泡利不相容原理，處于費(fèi)米海深處的電子在熱激發(fā)下得不到足夠的能量躍遷到空態(tài)，因此不受熱激發(fā)的影響。Fermi凍結(jié)

對于金屬而言，由于T<<TF總是成立的，因此，只有費(fèi)米面附近的一小部分可以電子被激發(fā)到高能態(tài)，而離費(fèi)米面較遠(yuǎn)的電子則仍保持原來（T＝0）的狀態(tài)，我們稱這部分電子被“冷凍”下來。因此，雖然金屬中有大量的自由電子，但是，決定金屬許多性質(zhì)的并不是其全部的自由電子，而只是在費(fèi)米面附近的那一小部分。正因?yàn)檫@樣，對金屬費(fèi)米面的研究就顯得尤為重要。電子熱容量

對于金屬，T<<TF；當(dāng)T>0時，占有在費(fèi)米面附近幾個kBT的電子受熱激發(fā)，而離費(fèi)米面較遠(yuǎn)處的電子仍保持原來的狀態(tài)（被“冷凍”下來）。因此，盡管金屬中有大量的自由電子，但對電子熱容量有貢獻(xiàn)的只是在費(fèi)米面附近厚度~kBT的一層電子，而這層電子僅占電子總數(shù)的很小一部分。只有在費(fèi)米面附近厚度~kBT的一層電子能夠吸收能量，因此只有這層電子對比熱有貢獻(xiàn)。由于泡利不相容原理，處于費(fèi)米海深處的電子在熱激發(fā)下得不到足夠的能量躍遷到空態(tài)，因此不受熱激發(fā)的影響。簡單估計，只有費(fèi)米面附近kBT范圍的電子被熱激發(fā)，這部分電子約為：

這部分電子對熱內(nèi)能的貢獻(xiàn)為：因此電子比熱為：精確一些的估計：在E－EFkBT中的電子數(shù)為：以及：所以：于是，而每個電子熱運(yùn)動的平均能量為由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為電子熱容量為：對于一摩爾金屬，N＝ZN0，Z是每個金屬原子所貢獻(xiàn)的自由電子數(shù)。而常溫下，CL3R，由于T<<TF，所以Ce<<CL，即常溫下可以不必考慮電子熱容量的貢獻(xiàn)。直流電導(dǎo)－－k空間圖像

當(dāng)＝0時，費(fèi)米球的球心在原點(diǎn)，這時，任何一個量子態(tài)k，都有一個反方向的－k態(tài)與之對應(yīng)，處在這兩種量子態(tài)的電子具有大小相等、方向相反的速