高中數(shù)學(xué)北師大版1第二章圓錐曲線與方程雙曲線 學(xué)業(yè)分層測評10

學(xué)業(yè)分層測評(十)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．等軸雙曲線的一個焦點是F1(－6,0)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是()【導(dǎo)學(xué)號：63470045】\f(y2,18)－eq\f(x2,18)＝1 B．eq\f(x2,18)－eq\f(y2,18)＝1\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(y2,8)－eq\f(x2,8)＝1【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a＞0)．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.故雙曲線方程為eq\f(x2,18)－eq\f(y2,18)＝1.【答案】B2．若雙曲線x2＋ky2＝1的離心率是2，則實數(shù)k的值是()A．－3 B．eq\f(1,3)C．3 D．－eq\f(1,3)【解析】雙曲線x2＋ky2＝1可化為eq\f(x2,1)＋eq\f(y2,\f(1,k))＝1，故離心率e＝eq\f(\r(1－\f(1,k)),1)＝2，解得k＝－eq\f(1,3).【答案】D3．雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一個頂點的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1【解析】由頂點在y軸上得該雙曲線焦點位于y軸，排除A、D，B項，a＝2，b＝2，c＝2eq\r(2)，∴2a＋2b＝eq\r(2)·2c符合題意．【答案】B4．雙曲線eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，則r＝()【導(dǎo)學(xué)號：63470046】\r(3) B．2C．3 D．6【解析】雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，圓心坐標(biāo)為(3,0)，由點到直線的距離公式與漸近線與圓相切得，圓心到漸近線的距離為r，且r＝eq\f(|3\r(2)＋0|,\r(2＋4))＝eq\r(3).【答案】A5．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，m＞b＞0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a、b、m為邊長的三角形是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解析】雙曲線的離心率e1＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，橢圓的離心率e2＝eq\f(\r(m2－b2),m)，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形為直角三角形．【答案】B二、填空題6．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝________.【導(dǎo)學(xué)號：63470047】【解析】∵2a＝2,2b＝2eq\r(－\f(1,m))，∴eq\r(－\f(1,m))＝2，∴m＝－eq\f(1,4).【答案】－eq\f(1,4)7．若雙曲線中心在原點，焦點在y軸，離心率e＝eq\f(13,5)，則其漸近線方程為________．【解析】由于焦點在y軸，則漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x.而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(13,5)，則eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(144,25)，eq\f(b,a)＝eq\f(12,5)，∴漸近線方程為y＝±eq\f(5,12)x.【答案】y＝±eq\f(5,12)x8．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作等邊△MF1F2.若雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為________．【解析】如圖，點N為MF2的中點，且在雙曲線上，利用雙曲線的定義即可求解．|F1N|＝eq\r(3)c，|NF2|＝c.又∵|NF1|－|NF2|＝2a，即eq\r(3)c－c＝2a.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.【答案】eq\r(3)＋1三、解答題9．求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x；(2)求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程．【解】(1)設(shè)以y＝±eq\f(3,2)x為漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝λ(λ≠0)，當(dāng)λ>0時，a2＝4λ，∴2a＝2eq\r(4λ)＝6?λ＝eq\f(9,4)；當(dāng)λ<0時，a2＝－9λ，∴2a＝2eq\r(－9λ)＝6?λ＝－1.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,\f(81,4))＝1和eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.(2)設(shè)與雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)，將點(2，－2)代入雙曲線方程，得λ＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.10．已知橢圓D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．【解】橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5.設(shè)雙曲線G的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴漸近線方程為bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3.∴eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，∴雙曲線G的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.[能力提升]1．設(shè)a，b是關(guān)于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的兩個不等實根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點的直線與雙曲線eq\f(x2,cos2θ)－eq\f(y2,sin2θ)＝1的公共點的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得a＋b＝－tanθ，ab＝0，則a，b中必有一個為0，另一個為－tanθ.不妨設(shè)A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，則直線AB的方程為y＝－xtanθ.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得雙曲線的漸近線方程為y＝±xtanθ，顯然直線AB是雙曲線的一條漸近線，所以直線與雙曲線沒有公共點．【答案】A2．設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()\r(2)\r(3)\f(\r(3)＋1,2)\f(\r(5)＋1,2)【解析】設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故選D.【答案】D3．設(shè)雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB面積為________.【導(dǎo)學(xué)號：63470048】【解析】A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，取過F平行于漸近線y＝eq\f(4,3)x的直線，則方程為y＝eq\f(4,3)(x－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－5，,\f(x2,9)－\f(y2,16)＝1，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).∴△AFB的面積S＝eq\f(1,2)(5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).【答案】eq\f(32,15)4．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A、B兩點，試問A、B兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長．【解】雙曲線方程可化為eq\f(x2,1)－eq\f(y2,3)＝1，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.∴F2(2,0)，又l的斜率為1.∴直線l的方程為y＝x－2，代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0.設(shè)A(x1，y1)、