第5章 彈性桿件橫截面上剪應力分析

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高等教育出版社范欽珊教育與教學工作室清華大學范欽珊Friday,February3,2023返回總目錄(5)材料力學討論課教學軟件第5章材料力學彈性桿件橫截面上的剪應力分析第5章彈性桿件橫截面上的剪應力分析對于實心截面桿件以及某些薄壁截面桿件，當其橫截面上僅有扭矩（Mx）或剪力（FQy或FQz）時，與這些內(nèi)力分量相對應的分布內(nèi)力，其作用面與橫截面重合。這時分布內(nèi)力在一點處的集度，即為剪應力。分析與扭矩和剪力對應的剪應力方法不完全相同。對于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、變形協(xié)調(diào)與物性關系，其過程與正應力分析相似。對于剪力存在的情形，在一定的前提下，則僅借助于平衡方程。本章重點介紹圓截面桿在扭矩作用下其橫截面剪應力以及薄壁桿件的彎曲剪應力分析。第5章彈性桿件橫截面上的剪應力分析第1

部分圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應力圖示實心圓軸承受外扭轉(zhuǎn)力偶，其力偶矩T=3kN·m。

試求：1．軸橫截面上的最大剪應力；2．軸橫截面上半徑r=15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以內(nèi)部分，橫截面上的最大剪應力增加的百分比。第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應力計算解：1．軸橫截面上的最大剪應力第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應力計算解：

2.軸橫截面上半徑r=15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比：第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應力計算解：

2.軸橫截面上半徑r=15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比：第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應力計算解:

3．去掉r=15mm以內(nèi)部分，橫截面上的最大剪應力增加的百分比：采用圓環(huán)截面的扭轉(zhuǎn)最大剪應力公式第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應力計算思考問題圓軸表面的圓，在圓軸受扭轉(zhuǎn)后將變成什么形狀？第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應力計算思考問題1．去掉r=15mm以內(nèi)部分，所用材料將會減少多少？2．如果中心r=15mm以內(nèi)部分所用的是另一種材料，這時，橫截面上的最大剪應力將發(fā)生在哪里？計算這時的最大剪應力，還需要什么條件？G1G1>G2G2第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應力計算圖示芯軸AB與軸套CD的軸線重合，二者在B、C處連成一體；在D處無接觸。已知芯軸直徑d=66mm；軸套的外徑D=80mm，壁厚δ=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大剪應力不得超過60MPa。

試求：結(jié)構所能承受的最大外扭轉(zhuǎn)力偶矩T。第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設計解：芯軸與軸套只在下面部分B處相連接，在上部D處，二者互不接觸，所以，芯軸與軸套都是在兩端承受扭矩。1.芯軸橫截面上的最大剪應力為：

根據(jù)對最大剪應力剪應力的限制，有第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設計

根據(jù)對最大剪應力剪應力的限制，有

因此得到芯軸所能承受的最大扭矩第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設計解：2.軸套橫截面上的最大剪應力為：

根據(jù)對最大剪應力的限制，有

因此得到軸套所能承受的最大扭矩第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設計3.結(jié)構所能承受的最大扭轉(zhuǎn)力偶：

根據(jù)上述結(jié)果，整個結(jié)構所能承受的最大扭轉(zhuǎn)力偶為N·mN·m第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設計圖示開口和閉口薄壁圓管橫截面的平均直徑均為D、壁厚均為，橫截面上的扭矩均為T=Mx。試：1．證明閉口圓管受扭時橫截面上最大剪應力2．證明開口圓管受扭時橫截面上最大剪應力

3．畫出兩種情形下，剪應力沿壁厚方向的分布

第3類習題開口與閉口薄壁圓管扭轉(zhuǎn)剪應力比較

解：1．證明閉口圓管受扭時橫截面上最大剪應力：這時可以近似認為剪應力沿壁厚均勻分布τδ第3類習題開口與閉口薄壁圓管扭轉(zhuǎn)剪應力比較

解：

2．證明開口圓管受扭時橫截面上最大剪應力

：這時可以將開口的薄壁圓環(huán)近似看成狹長的矩形截面，扭轉(zhuǎn)時，剪應力沿壁厚線性分布。根據(jù)狹長的矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的剪應力公式δh=πD，b=δ第3類習題開口與閉口薄壁圓管扭轉(zhuǎn)剪應力比較thin-walledtubeshaftblock直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺，凸臺上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時，將薄壁管與凸臺焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。

試：

1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？

2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應力。第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpagethin-walledtubeshaftblockBeforeweldingAAA'φ0解：1．分析卸載后軸和薄壁管的變形：

設軸受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T時，相對扭轉(zhuǎn)角為φ0，如果不與薄壁管連成一體，卸載后，變形將消失(AA'A)，軸的橫截面上沒有扭矩作用。第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題thin-walledtubeshaftblockBeforeweldingAA'φ0AfterweldingAA'Bφ2φ1AA'解：1．分析卸載后軸和薄壁管的變形：

加載后，軸與薄壁管焊成一體，然后卸載，不僅軸的變形不會消失，而且薄壁管也會產(chǎn)生變形(AA'B)。第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpageφ2φ1AA'Bthin-walledtubeshaftblock這時，軸和薄壁管的橫截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。Mx1Mx2第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage這時，軸和薄壁管的橫截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。thin-walledtubeshaftblockφ2φ1AA'BMx1Mx2第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpagethin-walledtubeshaftblockφ2φ1AA'BMx1Mx22．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應力：平衡方程變形協(xié)調(diào)方程物性關系方程第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應力：第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應力：第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題第5章彈性桿件橫截面上的剪應力分析第2

部分彎曲剪應力四種不同截面的懸臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如圖所示，圖中O為彎曲中心。試分析哪幾種情形下可以直接應用彎曲應力公式計算橫截面上的正應力和剪應力：（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應力公式應用條件解：剪應力公式是在正應力公式的基礎上推導出來的，因此只有正應力公式適用時，剪應力公式才適用。對于實心截面桿件，平面彎曲正應力公式的應用條件是，載荷作用主軸平面內(nèi)，載荷作用線通過截面的形心；同時由于中性軸必須通過截面形心，并且垂直于載荷作用線，因此，與載荷作用線垂直的坐標軸必須通過截面的形心。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應力公式應用條件對于實心截面桿件，平面彎曲正應力公式的應用條件是，載荷作用主軸平面內(nèi)，載荷作用線通過截面的形心；同時由于中性軸必須通過截面形心，并且垂直于載荷作用線，因此，與載荷作用線垂直的坐標軸必須通過截面的形心。對于薄壁截面桿件，產(chǎn)生平面彎曲不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的條件是，載荷作用主軸平面內(nèi)，載荷作用線通過截面的彎曲中心；同時由于中性軸必須通過截面形心，并且垂直于載荷作用線，因此，與載荷作用線垂直的坐標軸必須通過截面的形心。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應力公式應用條件因此，本題的正確答案是

D

。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應力公式應用條件梁的受力及橫截面尺寸如圖所示。試：1．繪出梁的剪力圖和彎矩圖；2．確定梁內(nèi)橫截面上的最大拉應力和最大壓應力；3．確定梁內(nèi)橫截面上的最大剪應力；4．畫出橫截面上的剪應力流。第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）

解：1．確定約束力，繪梁的剪力圖和彎矩圖：

FRAFRB第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）Mx8

解：1．確定約束力，繪梁的剪力圖和彎矩圖：

ABCFRAFRBq8FQx1800816.22218第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）2．確定形心C位置，計算形心主慣性矩yz0CzyC第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）3．確定梁內(nèi)彎矩最大橫截面上的最大拉應力和最大壓應力Mx8ABCFRAFRBq8FQx1800816.22218Mmax第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）4．確定梁內(nèi)橫截面上的最大剪應力最大剪應力發(fā)生在中性軸上各點：其中Szmax為中性軸以上或以下的面積對于中性軸的靜矩：z0yCzyC第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）4．確定梁內(nèi)橫截面上的最大剪應力最大剪應力：z0yCzyC第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）5．畫出橫截面上的剪應力流第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（1）由四塊木板粘接而成的箱形截面梁，其橫截面尺寸如圖所示。已知橫截面上沿鉛垂方向的剪力FQ=3.56kN。試求：粘接接縫A、B兩處的剪應力。

第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（2）解：箱形截面的腹板上有與剪力方向一致的剪應力；上下翼緣上具有水平方向的剪應力，截面上的剪應力流如圖所示。根據(jù)對稱性分析，位于箱形截面翼緣上、與縱向?qū)ΨQ軸(y)相交的點，其上的水平剪應力等于零。若從此處切開，切開面相當于自由表面。

=0對稱軸

=0第2類習題彎曲剪應力計算與剪應力流（2）

=0對稱軸

=0根據(jù)對稱性分析，位于箱形截面翼緣上、與縱向?qū)ΨQ軸(y)相交的點，其上的水平剪應力等于零。若從此出切開，切開面相當于自由表面。A點的水平剪應力仍可以采用下式計算：其中為面積A*對于中性軸的靜矩AA*z第2類習題彎曲剪應力計算與