第5章 彈性桿件橫截面上剪應(yīng)力分析

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高等教育出版社范欽珊教育與教學工作室清華大學范欽珊Friday,February3,2023返回總目錄(5)材料力學討論課教學軟件第5章材料力學彈性桿件橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章彈性桿件橫截面上的剪應(yīng)力分析對于實心截面桿件以及某些薄壁截面桿件，當其橫截面上僅有扭矩（Mx）或剪力（FQy或FQz）時，與這些內(nèi)力分量相對應(yīng)的分布內(nèi)力，其作用面與橫截面重合。這時分布內(nèi)力在一點處的集度，即為剪應(yīng)力。分析與扭矩和剪力對應(yīng)的剪應(yīng)力方法不完全相同。對于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、變形協(xié)調(diào)與物性關(guān)系，其過程與正應(yīng)力分析相似。對于剪力存在的情形，在一定的前提下，則僅借助于平衡方程。本章重點介紹圓截面桿在扭矩作用下其橫截面剪應(yīng)力以及薄壁桿件的彎曲剪應(yīng)力分析。第5章彈性桿件橫截面上的剪應(yīng)力分析第1

部分圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力圖示實心圓軸承受外扭轉(zhuǎn)力偶，其力偶矩T=3kN·m。

試求：1．軸橫截面上的最大剪應(yīng)力；2．軸橫截面上半徑r=15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以內(nèi)部分，橫截面上的最大剪應(yīng)力增加的百分比。第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計算解：1．軸橫截面上的最大剪應(yīng)力第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計算解：

2.軸橫截面上半徑r=15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比：第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計算解：

2.軸橫截面上半徑r=15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比：第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計算解:

3．去掉r=15mm以內(nèi)部分，橫截面上的最大剪應(yīng)力增加的百分比：采用圓環(huán)截面的扭轉(zhuǎn)最大剪應(yīng)力公式第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計算思考問題圓軸表面的圓，在圓軸受扭轉(zhuǎn)后將變成什么形狀？第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計算思考問題1．去掉r=15mm以內(nèi)部分，所用材料將會減少多少？2．如果中心r=15mm以內(nèi)部分所用的是另一種材料，這時，橫截面上的最大剪應(yīng)力將發(fā)生在哪里？計算這時的最大剪應(yīng)力，還需要什么條件？G1G1>G2G2第1類習題扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計算圖示芯軸AB與軸套CD的軸線重合，二者在B、C處連成一體；在D處無接觸。已知芯軸直徑d=66mm；軸套的外徑D=80mm，壁厚δ=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大剪應(yīng)力不得超過60MPa。

試求：結(jié)構(gòu)所能承受的最大外扭轉(zhuǎn)力偶矩T。第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計解：芯軸與軸套只在下面部分B處相連接，在上部D處，二者互不接觸，所以，芯軸與軸套都是在兩端承受扭矩。1.芯軸橫截面上的最大剪應(yīng)力為：

根據(jù)對最大剪應(yīng)力剪應(yīng)力的限制，有第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計

根據(jù)對最大剪應(yīng)力剪應(yīng)力的限制，有

因此得到芯軸所能承受的最大扭矩第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計解：2.軸套橫截面上的最大剪應(yīng)力為：

根據(jù)對最大剪應(yīng)力的限制，有

因此得到軸套所能承受的最大扭矩第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計3.結(jié)構(gòu)所能承受的最大扭轉(zhuǎn)力偶：

根據(jù)上述結(jié)果，整個結(jié)構(gòu)所能承受的最大扭轉(zhuǎn)力偶為N·mN·m第2類習題扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計圖示開口和閉口薄壁圓管橫截面的平均直徑均為D、壁厚均為，橫截面上的扭矩均為T=Mx。試：1．證明閉口圓管受扭時橫截面上最大剪應(yīng)力2．證明開口圓管受扭時橫截面上最大剪應(yīng)力

3．畫出兩種情形下，剪應(yīng)力沿壁厚方向的分布

第3類習題開口與閉口薄壁圓管扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力比較

解：1．證明閉口圓管受扭時橫截面上最大剪應(yīng)力：這時可以近似認為剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布τδ第3類習題開口與閉口薄壁圓管扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力比較

解：

2．證明開口圓管受扭時橫截面上最大剪應(yīng)力

：這時可以將開口的薄壁圓環(huán)近似看成狹長的矩形截面，扭轉(zhuǎn)時，剪應(yīng)力沿壁厚線性分布。根據(jù)狹長的矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力公式δh=πD，b=δ第3類習題開口與閉口薄壁圓管扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力比較thin-walledtubeshaftblock直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺，凸臺上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時，將薄壁管與凸臺焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。

試：

1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？

2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應(yīng)力。第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpagethin-walledtubeshaftblockBeforeweldingAAA'φ0解：1．分析卸載后軸和薄壁管的變形：

設(shè)軸受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T時，相對扭轉(zhuǎn)角為φ0，如果不與薄壁管連成一體，卸載后，變形將消失(AA'A)，軸的橫截面上沒有扭矩作用。第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題thin-walledtubeshaftblockBeforeweldingAA'φ0AfterweldingAA'Bφ2φ1AA'解：1．分析卸載后軸和薄壁管的變形：

加載后，軸與薄壁管焊成一體，然后卸載，不僅軸的變形不會消失，而且薄壁管也會產(chǎn)生變形(AA'B)。第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpageφ2φ1AA'Bthin-walledtubeshaftblock這時，軸和薄壁管的橫截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。Mx1Mx2第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage這時，軸和薄壁管的橫截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。thin-walledtubeshaftblockφ2φ1AA'BMx1Mx2第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpagethin-walledtubeshaftblockφ2φ1AA'BMx1Mx22．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應(yīng)力：平衡方程變形協(xié)調(diào)方程物性關(guān)系方程第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應(yīng)力：第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題Backtothefirstpage2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大剪應(yīng)力：第4類習題扭轉(zhuǎn)靜不定問題第5章彈性桿件橫截面上的剪應(yīng)力分析第2

部分彎曲剪應(yīng)力四種不同截面的懸臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如圖所示，圖中O為彎曲中心。試分析哪幾種情形下可以直接應(yīng)用彎曲應(yīng)力公式計算橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力：（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應(yīng)力公式應(yīng)用條件解：剪應(yīng)力公式是在正應(yīng)力公式的基礎(chǔ)上推導出來的，因此只有正應(yīng)力公式適用時，剪應(yīng)力公式才適用。對于實心截面桿件，平面彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用條件是，載荷作用主軸平面內(nèi)，載荷作用線通過截面的形心；同時由于中性軸必須通過截面形心，并且垂直于載荷作用線，因此，與載荷作用線垂直的坐標軸必須通過截面的形心。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應(yīng)力公式應(yīng)用條件對于實心截面桿件，平面彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用條件是，載荷作用主軸平面內(nèi)，載荷作用線通過截面的形心；同時由于中性軸必須通過截面形心，并且垂直于載荷作用線，因此，與載荷作用線垂直的坐標軸必須通過截面的形心。對于薄壁截面桿件，產(chǎn)生平面彎曲不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的條件是，載荷作用主軸平面內(nèi)，載荷作用線通過截面的彎曲中心；同時由于中性軸必須通過截面形心，并且垂直于載荷作用線，因此，與載荷作用線垂直的坐標軸必須通過截面的形心。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應(yīng)力公式應(yīng)用條件因此，本題的正確答案是

D

。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1類習題彎曲剪應(yīng)力公式應(yīng)用條件梁的受力及橫截面尺寸如圖所示。試：1．繪出梁的剪力圖和彎矩圖；2．確定梁內(nèi)橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；3．確定梁內(nèi)橫截面上的最大剪應(yīng)力；4．畫出橫截面上的剪應(yīng)力流。第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）

解：1．確定約束力，繪梁的剪力圖和彎矩圖：

FRAFRB第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）Mx8

解：1．確定約束力，繪梁的剪力圖和彎矩圖：

ABCFRAFRBq8FQx1800816.22218第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）2．確定形心C位置，計算形心主慣性矩yz0CzyC第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）3．確定梁內(nèi)彎矩最大橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力Mx8ABCFRAFRBq8FQx1800816.22218Mmax第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）4．確定梁內(nèi)橫截面上的最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點：其中Szmax為中性軸以上或以下的面積對于中性軸的靜矩：z0yCzyC第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）4．確定梁內(nèi)橫截面上的最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力：z0yCzyC第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）5．畫出橫截面上的剪應(yīng)力流第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（1）由四塊木板粘接而成的箱形截面梁，其橫截面尺寸如圖所示。已知橫截面上沿鉛垂方向的剪力FQ=3.56kN。試求：粘接接縫A、B兩處的剪應(yīng)力。

第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（2）解：箱形截面的腹板上有與剪力方向一致的剪應(yīng)力；上下翼緣上具有水平方向的剪應(yīng)力，截面上的剪應(yīng)力流如圖所示。根據(jù)對稱性分析，位于箱形截面翼緣上、與縱向?qū)ΨQ軸(y)相交的點，其上的水平剪應(yīng)力等于零。若從此處切開，切開面相當于自由表面。

=0對稱軸

=0第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與剪應(yīng)力流（2）

=0對稱軸

=0根據(jù)對稱性分析，位于箱形截面翼緣上、與縱向?qū)ΨQ軸(y)相交的點，其上的水平剪應(yīng)力等于零。若從此出切開，切開面相當于自由表面。A點的水平剪應(yīng)力仍可以采用下式計算：其中為面積A*對于中性軸的靜矩AA*z第2類習題彎曲剪應(yīng)力計算與