第二章 點、直線與平面的投影

畫法幾何及機械制圖（機類）

武漢化工學(xué)院機械工程學(xué)院

工程及計算機圖學(xué)教研室第二章點、直線、平面的投影

問題的提出如何用二維平面圖反映三維空間物體？解決要求：一一對應(yīng)性直觀性度量性解決方法：將復(fù)雜的問題分解成簡單的問題將具體的問題抽象成幾何模型投影法

實例：物體在光的照射下就會產(chǎn)生影子在墻上。討論：墻上影子可以反映一個物體的實際形狀嗎？只能反映部分形狀只在特殊情況下反映真實尺寸

可以通過投影想象實際物體形狀結(jié)論：通過投影將三維物體轉(zhuǎn)換成二維平面物體，但還不能完全反映真實情況。問題：是否可以通過投影解決二維平面反映三維物體？投影法通過空間點A的直線L稱為投射線。

通過空間任一點A的投射線與投影面的交點a為A點的投影。利用投射線使物體在指定面上產(chǎn)生圖象的方法就是投影法投影法的分類投影法中心投影法平行投影法正投影斜投影投影法的分類投射中心S為一點投射中心S為無限遠

成影現(xiàn)象:光源光線被投影物體影子地面new中心投影:S中心投影投射線被投影物體投影面Hnew斜投影:new正投影:本教材所學(xué)的主要內(nèi)容

投射線的方向垂直于投影面H且彼此平行.newnew平行投影的基本性質(zhì)(正投影的基本性質(zhì))5.積聚性1.從屬性2.平行性3.定比性4.顯實性new1.從屬性:直線上的點的投影仍在直線的投影上.CBAacbEfFenew2.平行性:acbd〝DA〝CB〝兩平行直線的投影仍相互平行.new3.類似性：new4.顯實性

若線段和平面圖形平行于投影面,則其投影反映實長或?qū)嵭巍ew

5.積聚性

若線段和平面的圖形垂直于投影面，其投影積聚為一點或一直線段。new工程上常用的投影法

1、透視圖：用中心投影法生成的投影圖優(yōu)點：直觀性好，多用于效果圖、廣告圖缺點：作圖困難，度量性差；不用于施工圖2、軸測圖：用平行投影法生成的單面投影圖（正斜兩種）度量性和作圖便利性比透視圖好，直觀和立體感好，有一定度量性

多用于補充圖、構(gòu)思圖工程上常用的投影法

3、多面正投影圖：用正投影法將物體向多個投影面投影后將多個投影圖展開到同一平面上所形成的圖。作圖方便，度量性好，多用于施工圖。4、標(biāo)高投影圖

投影的可逆要求

問題：由一一對應(yīng)性提出通過投影可以唯一確定物體在空間形狀和位置。如果能夠通過投影確定每個點的空間位置，就一定可以確定這個物體在空間的位置。如果在一個面上投影不能反映點在空間的位置，那么再引入一個投影面是否可以？

第二章點的投影SABa1.點的單面投影(b)newnew點的兩面投影一、兩面投影體系ⅠⅡⅢⅣnew第一角投影的二面投影板ＯＺ軸ＯＹ軸ＯＸ軸正面投影Ｖ坐標(biāo)圓點Ｏ水平投影Hnew二面投影板的展開new二、點的兩面投影Aa′aaxnew點的正面投影a′點的水平投影aa′aA空間點Ａnewa′aXO點的兩面投影圖axa′a投影連線垂直于ＯＸ軸new點在兩投影面體系中的投影

正立投影面（V）和水平投影面（H）的引入四分角象限的劃定為確立點在空間的位置，引入H面和V面，將空間劃分成四個區(qū)域，每個區(qū)域稱為一個分角，逆時針順序稱為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。求第一分角內(nèi)一點A在H面和V面的投影a和a/。a稱為水平投影，a/稱為正面投影。點在兩投影面體系中的投影規(guī)律

點的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸。點的正面投影到OX軸的距離，反映該點到H面的距離；點的水平投影到OX軸的距離，反映該點到V面的距離。點的水平投影在OX軸下方（上方），表示空間該點在V面的前方（或后方）。點的正面投影在OX軸的上方（或下方），表示空間該點在H面的上方或（下方）。

點在三投影面體系中的投影規(guī)律

點的三面投影體系是在兩投影面體系的基礎(chǔ)上，再增加一個側(cè)立投影面W構(gòu)成的。過空間任一點A向三個投影面做垂線，求得點A三個投影面上的投影。利用三個投影面上投影，可以唯一確定點A在空間的位置。

點在三投影面體系中的投影規(guī)律點在三投影面體系中的投影規(guī)律

點的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸：點的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸：點的水平投影到OX軸的距離等于點的側(cè)面投影到OZ的距離。

點的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

討論：三投影面體系中投影和點的坐標(biāo)的關(guān)系點的X坐標(biāo)等于點的正面投影到OZ的距離也等于點的水平投影到OYH軸的的距離；點的Y坐標(biāo)等于點的水平投影到OX軸的距離及點的側(cè)面投影到OZV的距離；點的Z坐標(biāo)等于點的正平投影到OX軸的距離及點的側(cè)面投影到OYW軸的距離。例一：已知點的坐標(biāo)求三面投影例一：題解利用點的兩個投影求第三個投影如果知道點的兩個投影，則該點在空間的位置就確定了，因此它的第三投影也唯一確定。

點在投影面和投影軸上的投影規(guī)律

點在投影面上；點在投影軸上點的兩個投影落在投影軸上；點的三個投影和其本身重合兩點的相對位置兩點的相對位置兩點的正面投影反映兩點的上下、左右位置關(guān)系：兩點的水平投影反映兩點的左右、前后位置關(guān)系。

兩點的側(cè)面投影反映兩點的上下、前后位置關(guān)系。空間兩點的相對位置，由它們的坐標(biāo)差所確定。例二：兩點的相對位置例二：題解無軸投影圖沒有標(biāo)識投影軸的投影圖無軸投影圖利用45度輔助線作圖利用相對坐標(biāo)作圖重影點及投影可見性A，B兩點位于垂直某投影面的同一條投射線上時，兩點在該投影面上的投影重合，則該兩點叫做重影點。不可見的點的投影用投影點外加括號方式表達。根據(jù)重影點針對不同投影面，分別叫對H面重影點，對V面重影點，對W面重影點。重影點及投影可見性如何判斷重影點的可見性？正面投影----前遮后水平投影----上遮下側(cè)面投影----左遮右例：重影點及投影可見性例：題解例：兩交叉直線的重影點問題Ⅰ點的Ｙ坐標(biāo)大于Ⅱ點，故Ⅰ點在Ⅱ點的正前方。正面投影重影點水平投影重影點Ⅲ點的Ｚ坐標(biāo)大于Ⅳ點，故Ⅲ點在Ⅳ點的正上方。直線對平面相對位置

投影面平行線平行于一個投影面，傾斜于另兩個投影面

投影面垂直線垂直于一個投影，平行于另二個投影面一般位置直線

傾斜于三個投影面的直線。

投影面平行線的投影特性

投影面平行線種類正平線：∥V，對H、W面傾斜。水平線：∥H，對V、W傾斜。側(cè)平線：∥W．對H、V傾斜。投影面平行線投影特性在直線所平行的投影面上，投影反映實長；且其投影與投影軸的夾角反映直線與相應(yīng)投影面的傾角；在另外兩個投影面上的投影小于實長，且平行于相應(yīng)的投影軸。

投影面平行線的投影特性投影面垂直線的投影特性

投影面垂直線種類正垂線：⊥V面，∥H，∥W鉛垂線：⊥H面，∥V，∥W側(cè)垂線：⊥W面，∥H，∥V。投影面垂直線投影特性當(dāng)直線AB垂直于投影面時，它在該投影面上的投影ab變成一個點a≡b。直線上任一點M的投影m也重合在這個點上，這種性質(zhì)叫積聚性；在另外兩個投影面的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實長。

投影面平行線的投影特性反映ＡＢ實長AA正平線NEW反映ＡＢ實長正平線投影圖NEW投影面平行線的投影特性水平線ＦefＥ反映ＥＦ實長abcNEWEF實長水平線投影圖NEW投影面平行線的投影特性側(cè)平線反映ＣＤ實長NEWＣＤ實長側(cè)平線投影圖NEW總結(jié):投影面平行線的投影特性

在所平行的投影面上的投影反映實長；其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實長。

NEW投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性鉛垂線水平投影積聚為一點；其它兩個投影平行于ＯＺ軸，并反映直線ＡＢ實長；直線ＡＢ與H面的夾角實長NEWNEW投影面垂直線的投影特性鉛垂線NEW鉛垂線的投影NEW投影面垂直線的投影特性正垂線dcCDNEW正垂線的投影NEW投影面垂直線的投影特性側(cè)垂線ＥＦefNEWNEW側(cè)垂線的投影ef總結(jié)：投影面垂直線的投影特性

在所垂直的投影面上積聚為一點；其它兩投影垂直于相應(yīng)的投影軸。NEW一般位置直線的投影特性直線的各投影均對投影軸傾斜；直線的各投影與投影軸的夾角并不反映空間直線與相應(yīng)投影面的傾角。當(dāng)直線AB傾斜于投影面時，它在該投影面上的投影ab長度小于實長，縮短多少，根據(jù)對投影面夾角大小確定。

討論：如何判斷直線于投影面關(guān)系投影面平行線：有一個平行于投影軸的投影投影面垂直線：有兩個垂直于投影軸的投影有一個投影積聚成一點一般位置直線：有兩個不平行于投影軸的投影直角三角形法求直線實長及傾角

以直線段在某一投影面上的投影長度為一直角邊，直線段兩端與這個投影面的坐標(biāo)差為另一直角邊，所形成的直角三角形的斜邊就是該直線段的實長。斜邊與投影長度直角邊的夾角就是該直線對這個投影面的傾角。直角三角形法中有四個參數(shù)，即線段的實長、投影長度、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角。只要知道其中任兩個參數(shù)即可作出直角三角形而求出其它兩個參數(shù)。也就是說，用直角形法不僅可由直線段兩投影求實長及傾角，還可以已知一投影實長(或傾角)求線段的另一投影及傾角(或?qū)嶉L)。

一般位置直線ＡＢ對Ｈ面的傾角NEWNEW例：（在Ｖ／Ｈ投影中）在直線ＡＢ上求距Ａ點為２０mm的Ｃ點NEW

一般位置直線ＡＢ對Ｖ面的傾角NEW例：求一般位置直線ＡＢ對Ｖ面的傾角ＡＢ實長NEW

一般位置直線ＡＢ對Ｗ面的傾角NEW例：求一般位置直線ＡＢ對Ｗ面的傾角ＡＢ實長NEW例：直角三角形法例：直角三角形法

例：找出AB、CD、DE直線的第三投影，判斷空間位置。鉛垂線正垂線正平線NEWNEW直線與點的相對位置一、點在直線上二、點不在直線上三、直線的跡點一、

C點在直線ＡＢ上NEW點Ｃ在直線上ＡＢ上。NEW點Ｃ的投影在直線的同面投影上，并符合點的投影規(guī)律。

C點在直線ＡＢ上NEW二、Ｄ點不在直線ＡＢ上。NEW例：判斷點Ｍ是否在直線ＣＤ上解法１：

點Ｍ的投影不符合點在直線上的投影規(guī)律，故Ｍ點不在直線ＣＤ上。NEWd0M0解法２例：判斷點Ｍ是否在直線ＣＤ上O

點Ｍ的投影不符合直線上點定比性，故Ｍ點不在直線ＣＤ上。NEW三、直線的跡點。

ＡＢ直線的正面跡點Ｎ。

ＡＢ直線的水平跡點Ｍ。ANEW直線的跡點

ＡＢ直線的正面跡點Ｎ。

ＡＢ直線的水平跡點Ｍ。直線上點投影的特性

①從屬性：點在直線上，點的投影在直線的同面投影上。②定比性：點分線段之比等于點的投影分線段的投影之比。例：直線上點投影的特性

例：直線上點投影的特性

空間兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置同面直線異面直線平行相交交叉平行兩直線投影特性兩直線的同面投影相互平行，且其長度之比等于投影長度之比。如何利用投影特性根據(jù)投影判斷兩直線是否平行？如果兩直線都不平行于投影軸，則有兩個投影面投影平行則可以認為直線平行。如果兩直線都平行于某投影軸，則必須根據(jù)第三投影或比例關(guān)系判斷。

例：已知直線AB平行直線CD，試完成直線AB和CD的三面投影。

題解：acbb″〝da″〝c″〝d″〝d′〝a′〝c′〝b′〝NEW例：平行兩直線投影特性a’c’b’d’c’d’ab相交兩直線投影特性相交兩直線同面投影都相交，且交點符合點的投影規(guī)律如何利用投影特性根據(jù)投影判斷兩直線是否相交？投影上交點連線垂直于投影軸。相交直線可能成為某一投影面的重影線

例：相交兩直線投影特性a’c’b’d’c’d’ab交叉兩直線投影特性既不符合平行兩直線的投影特性，又不符合相交兩直線的投影特性交叉直線的同面投影若相交，其交點并非一個點的投影，而是兩條直線上的兩個點的重影。其重影點的可見性應(yīng)根據(jù)兩個點的相對位置來判別。兩交叉直線正面投影重影點水平投影重影點交叉兩直線的投影

兩側(cè)平線的投影反映ＣＤ和ＨＤ的線段實長g′h′g′′h′′hg直角投影定理

如果兩直線在空間上垂直(垂直相交或垂直交叉)，當(dāng)其中一條直線平行于某一投影面時，則兩直線在該投影面上的投影垂直。

利用直角投影定理，可完成過點作投影面平行線的垂線，或與其相關(guān)的求點到直線距離，求直角三角形、等腰三角形等平面圖形投影的作圖問題。

相交成直角的兩直線，只要其中有一條直線平行于某投影面，則它們在該投影面上的投影仍反映直角。ＡＢＣabc水平線NEWabb′a′例：過Ｂ點作直線ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ為任意長度。XONEWabb′a′題意分析：XO水平線（實長）有無窮多解，可任意做一解。NEWabcb′c′a′解：

例：過Ｂ點作直線ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ為任意長度XONEWNEW

例:判定下列圖中兩直線的相對位置（平行、相交、垂直相交、交叉）

1.交叉2.垂直相交3.相交NEW例：直角投影定理

例：直角投影定理

小結(jié)1．熟練掌握點在第一分角中的投影特性及作圖方法。2．熟練掌握點的投影與該點直角坐標(biāo)的關(guān)系。3．掌握兩點的相對位置及重影點的可見性判別。4．熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法。5．掌握直線上點的投影特性。6．熟練掌握用直角三角形法求一般位置直線段實長及其對投影面傾角的方法，并能靈活運用直角三角形法。7．掌握兩直線各種相對位置的投影特性及作圖方法和判別方法。8．掌握直角投影定理及其應(yīng)用。

平面的表示方法

幾何元素表示平面：不在同一直線上的三點；一直線和直線外一點；相交兩直線；平行兩直線；平面圖形。跡線表示平面：平面與投影面的交線，稱為平面的跡線。平面的跡線有水平跡線、正面跡線、側(cè)面跡線。平面可以用相應(yīng)的跡線表示其位置。

PV

PW

PH水平跡線PH正面跡線PV側(cè)面跡線PW

用跡線表示的一般位置的平面：new各種位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面投影面垂直面投影特性垂直于一個投影面，傾斜于另兩個投影面。正垂面：垂直于V面，對H，W面傾斜鉛垂面：垂直于H面，對V，W面傾斜側(cè)垂面：垂直于W面，對H，V面傾斜投影面垂直面的投影特性：平面所垂直的投影面上的投影積聚為直線，與投影軸的夾角，分別反映平面對另兩個投影面的真實傾角。（積聚性）在另外兩個投影面上的投影均為縮小的平面圖形。（類似性）

鉛垂面Ｐ的投影Ｐnew投影面垂直面的投影特性鉛垂面Ｐnew鉛垂面Ｐnewpp″p′正垂面Ｑ的投影Ｑq′q″q投影面垂直面的投影特性new正垂面Ｑqq″q′new側(cè)垂面R的投影Ｒr′r″r投影面垂直面的投影特性r″側(cè)垂面Ｒ的投影rr′new投影面平行面投影特性平行于一個投影面，垂直于另兩個投影面。正平面：平行于V面，對H，W面垂直水平面：平行于H面，對V，W面垂直側(cè)平面：平行于W面，對H，V面垂直

投影面平行面投影特性：平面所平行的投影面上的投影反映實形；（實形性）平面在另外兩個投影面上的投影均積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。（積聚性）水平面Ｑ的投影Ｑq′q″q投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性水平面ＱqＱq″q′q′qq″水平面Ｑ的三面投影投影面平行面的投影特性正平面Ｐ正平面Ｐ的三面投影側(cè)平面Ｒ的投影Rr′r″r投影面平行面的投影特性r′r″r

例如：在該平面立體中Q為水平面，Ｐ為側(cè)垂面，ＡＢ為側(cè)平線，ＣＤ為側(cè)垂線。new一般位置平面投影特性對V，H，W面都傾斜，不在同一直線上的三點構(gòu)成的平面。投影特性一般位置平面的投影特性：三面投影仍為平面圖形，且面積縮小。其投影為和原來形狀類似的圖形。（類似性）

cbaa′b′c′b″a″c″ACB一般位置平面的投影投影為空間平面的類似形newＯYW

c′

aＸYＨＺ

PW一般位置平面的投影

c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞投影為小于三角形實形的類似形new平面和直線投影特點實形性：投影反映實形。直線或平面平行于投影面時。積聚性：投影積聚成一點或一條線。直線或平面垂直于投影面時。類似性：投影成為縮小的類似形。直線或平面傾斜于投影面時。例：已知平面的兩投影，求第三投影。new例：找出圖中所標(biāo)各面的第三投影，并判斷它們的空間位置。new1"3"22"ⅡⅢ水平面?zhèn)绕矫驺U垂平面實形例：找出投影圖中所標(biāo)的Ｐ平面、Ｑ平面及ＣＢ、ＦＥ直線的三投影，并判斷它們的空間位置。Ｐ平面為一般位置平面；Ｑ平面為正平面。ＣＢ直線為正平線；ＦＥ直線為水平線。實形實長new總結(jié)在平面作圖中要注意利用實形性、積聚性和類似性的性質(zhì)。平面的三個投影中，必然有一個是封閉線框。一般情況下投影圖上的一個封閉線框表示空間一個面的投影。

平面上的點和直線

點和直線在于面上的幾何條件是：(1)點在于面上，則該點必定在于面上的一條直線上。(2)直線在于面上，則該直線必定通過這個平面上的兩個點；或者通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。上述幾何條件，是解決有關(guān)平面上點和直線的作圖和判別等習(xí)題的依據(jù)?？梢越鉀Q三類問題：判別已知點、線是否屬于平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。

cbaa′b′c′b″a″c″ACB平面內(nèi)的點和直線Ma′b′c′m′m″m若一直線通過平面上的兩點，則此直線在該平面上。此直線上的任意點都在該平面在上。new例：判別已知點、線是否屬于平面例：判別已知點、線是否屬于平面例：完成多邊形的投影例：完成多邊形的投影ＯYW

c′

aＸYＨＺ

c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞

m

m〞

m′

例：已知點Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ點的三面投影。

例：求作平面梯形ABCD上的梯形EFGH的水平投影。題解：a′d′e′g′f′h′1′c′2′b′defc1ag2hb例：已知平面四邊形ABCD的水平投影abcd和正面投影abd，試完成四邊形的正面投影。new平面內(nèi)的特殊位置直線一、平面內(nèi)的投影面平行線１.平面內(nèi)的水平線２.平面內(nèi)的正平線３.平面內(nèi)的側(cè)平線new

PV

PW

PH平面內(nèi)的水平線平面內(nèi)的正平線平面內(nèi)的側(cè)平線平面內(nèi)的投影面平行線new20例：在平面內(nèi)作一條距H面為20mm的水平線。水平線20例：在水平面內(nèi)作一條距Ｖ面為20mm的正平線。正平線例：過N點作一正平線MN與已知平面ABC平行。題解：例：求作直線AB的水平投影，并在直線AB上求一點C，使C點距H、V面等距離。new空間分析CV/H的中垂面中垂面上所有的點距V面和Ｈ在的距離相等。題解：new例：求作直線MN，使其與直線AB、CD、EF相交，并與直線CD垂直。

題解：例：完成正方形ABCD的兩面投影。題解：▽y▽y二、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線。平面內(nèi)垂直于該投影面內(nèi)任意一條投影面平行線的直線，稱為平面內(nèi)對相應(yīng)投影面的最大斜度線。new平面內(nèi)對投影面的最大斜度線有三種１.垂直于平面內(nèi)水平線的直線，是平面內(nèi)對水平面的最大斜度線。２.垂直于平面內(nèi)正平線的直線，是平面內(nèi)對正平面的最大斜度線。３.垂直于平面內(nèi)側(cè)平線的直線，是平面內(nèi)對側(cè)平面的最大斜度線。new

平面內(nèi)對投影面的最大斜度線用于一般位置平面對投影面傾角的求法newＢ1Ｂ

PHＭＮ平面P對水平面H的最大斜度線A1.作平面內(nèi)的水平線；

2.作對H面的最大斜度線；

3.用直角三角形法求最大斜度線對H面的傾角。求一般位置平面對H面傾角例：求三角形ＡＢＣ對Ｈ面的傾角最大斜度線實長最大斜度線水平投影new例：求三角形ＡＢＣ對Ｖ面的傾角△ｙ△ｙ最大斜度線正面投影最大斜度線實長直線與平面平行

直線與平面平行

平面外的一直線若與平面上的一直線平行，到此直線與平面相互平行。即該直線投影和該平面上某直線投影相平行。若一平面上兩相交直線對應(yīng)地平行于另一平面上兩相交直線，則兩平面互相平行。直線與投影面垂直面平行

直線的投影平行平行于平面有積聚性的同名投影，或者直線亦積聚為一點。

LKLABDC１.若直線平行于平面內(nèi)某一直線，則直線與該平面平行直線與平面平行作圖問題判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

判別判別已知線面是否平行判別判別已知線面是否平行Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d

d′

例：判別直線ＤＥ與平面ＡＢＣ是否平行。

e′

e

直線ＤＥ與平面ＡＢＣ不平行。Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

m

m′

例：過Ｍ點作直線與已知三角形平面平行作直線與已知平面平行作直線與已知平面平行包含已知直線作平面與另一已知直線平行包含已知直線作平面與另一已知直線平行平面與平面平行

若平面上的兩相交直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個平面相互平行。

ＭＮＢ

ＣＡＫ兩平面平行的作圖問題

判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。

Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d′

例：過點Ｄ作已知平面的平行面。

e

e′

df

f′Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d

d′

例：判別平行直線ＣＤ與ＡＢ所確定的平面與平行直線ＥＦ和ＧＫ所決定的平面是否相互平行。

e′

e

f′

k′g′g

k

f兩平面不平行直線與平面相交

直線與平面不平行就會相交，其交點是直線與平面的共有點。直線與平面相交的問題就是求直線和平面的交點，難點是判斷直線的可見性。

線面的交點線面的交點平面與平面相交

平面與平面相交，其交線是平面與平面的共有線。求兩平面交線的基本方法是求出兩個共有點或求出一個共有點及交線的方向。

線、面相交作圖方法

（1）一般位置直線與有積聚性平面相交，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一投影可在直線的投影上找到。（面上定點）線、面相交作圖方法

（2）一般位置平面與有積聚性直線相交，交點的一個投影與直線的積聚性投影重合，另一個投影可利用在平面上求點的方法求出。（一眼可見）線、面相交作圖方法

（3）有積聚性投影的平面與平面相交，交線的一個投影必定與其中一個平面的積聚性投影重合，交線的另一個投影可根據(jù)平面上求點的方法求出。（求積聚點）教材P44