課件參考說明

模

?

·AB,√

,(x

x2+y2+兩個非零向量的夾角為以兩向量所在射線為邊的角。取值范圍為[0,·模為0，方向任意的向量，記作θ或0平行四邊形法則或三角形法則。記作α+如圖1:(x1y1z1x2y2z2)=(x1x2y1y2z1如圖

α?β=α+2:(x1y1z1(x2y2z2x1?x2y1?y2z1?m,m=α,mαm0α相同；m0α相反；m0時，方向任意。在直角坐標(biāo)系中，可以表示為k(x,y,z)=(kx,ky,

{???i,j, ijk ijk{??則稱i,j

,,β=k1α1+k2α2+···+,k1α1+k2α2+...+knαn=k1α1+k2α2+...+knαn=bb(· 2a)b=∥a(· 2

≥00≤φ≤2

和

< π<φ≤

α·β=∥α∥∥β∥cosφ=∥α∥αβ的數(shù)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積α·β<αβ>。特別地,α···αα2.在直角坐標(biāo)系中，可以表示為(x1y1z1)·(x2y2z2)=x1x2+y1y2+z1z2.方向??i,j,

??i,j,

對于向量α,β，α×β是一個向量∥α×β∥=∥α∥∥β∥sinαβαβααββαβαβ構(gòu)成右手系。—(x,y,z)×(x,y,z) — 2 i

y1z1 y2z2對于向量α,β,γ,定義它們的(α,β,γ)=(α×β)·

y1((x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)) y2 y32規(guī)定兩個平面的夾角的范圍為[0,π2柱面,動直線l稱為母線，定曲線c稱為準(zhǔn)線，定方向稱為母線方向?yàn)槎c(diǎn)，動直線l稱為準(zhǔn)線，定曲線c稱為準(zhǔn)線

λ2x2+λ2y2+λ2z2= λ2x2+λ2y2?λ2z2= λ2x2?λ2y2?λ2z2= λ2x2+λ2y2?λ2z2= λ2x2+λ2y2= λ2x2?λ2y2= λ2x2+λ2y2= λ2x2?λ2y2= λx2=α+β=β+(α+β)+γ=α+(β+α+θ=θ+α=α+(?α)=(?α+α)=|∥α∥?∥β∥|≤∥α±β∥≤∥α∥+αβ1α=m(nα)=(m+n)α=mα+mαθ當(dāng)且僅m0α P1(x1y1z1)P2(x2y2z2)P(x,yz)P1P=λPP2λ?=Px=x1+λx2,y=y1+λy2,z=z1+1+

1+

1+

(

(

AB+ ?u?

?? ??α·α∥α∥20αθα·β=β·(mα)·β=m(α·β)=α·(α+β)·γ=α·γ+β·α·β0αθβθα|α·β|≤∥α∥α×α=α×β=?β×(mα)×β=m(α×β)=α×(α+β)×γ=α×γ+β×αβθ(α·β)2+(α×β)2=><(α1+α2,β,γ)=(α1,β,γ)+(α2,β,(mα,β,γ)=m(α,β,γ),m?=(α,β,γ)=(α,β,γ+e=α對于向量α1,α2k1α1+k2α2=α1α2α×β=αa1a2a3)β=b123),a1=a2=a3.

k1α1+k2α2=α1α2α×β?=對于向量α1,α2,α3k1α1+k2α2+k3α3=α1α2α3α1α2α3α1α2(α,β,γ)=α1α2α3

k1α1+k2α2+k3α3=(α,β,γ)?= aOA+bOB+cOC= OC=aOA+ aOA+bOB+cOC+dOD=abcabc1時 OD=aOA+bOB+設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則√ AB=AB (x1?x2)+(y1?y2)+(z1?z2)αx1y1z1)βx2y2z2),αβφ滿足x1x2+y1y2+cosφ= x2+y2+z2(x2+y2+ 設(shè)? i = icosα ∥a∥

x2+y2+·· = cosβ ∥a∥

x2+y2+ = cosγ ∥a∥

x2+y2+以平行四邊形的兩條鄰邊為向量α,β,則平行四邊形的面積為∥α×β∥以平行六面體的三條鄰邊為向量α,β,γ,則平行六面體的體積為|(α,β,γ)|設(shè)空間中不共面的三個向量α,β,γ為基底，則向量ξ可以表示為ξ=xα+yβ+zγ,x=(ξ,β,γ),y=(α,ξ,γ),z=(α,β,ξ)(α,β,

(α,β,

(α,β,AxByCzD0(A,B·n=(A,BC)?=θ為空間中一個非零向量,P0(x0y0z0)P0nπA(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=

Ax+By+Cz+D=)x? y? z?x2? z2?x3? z3?

=a,b,c為三個非零實(shí)數(shù)，則(a00)(0,b0),(0,0,c)的平π的方程為 ?設(shè)??

=sl,mn為空間中一個非零向量,P0(x0y0z0P0·sL?設(shè)??

x=x0+y=y0+mt z=z0+ntsl,mn為空間中一個非零向量,P0(x0y0z0P0·sLx?x0=y?y0=z?z0. l0l=m0,則方程

x= = = x=x0 y=y0A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0A1B1C1A2B2C2P1(x1y1z1P2(x2y2z2)Lx?x1=y?y1=z?z1x2? z2?A1x+B1y+C1z+D1= A2x+B2y+C2z+D2=(A1B1C1(A2B2π1:A1x+B1y+C1z+D1=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0π3:A3x+B3y+C3z+D3=A

A1B1C1A2B2C2A3B3

,(Ab C2 A3B3C3r(Ar(Ab3r(Ar(Ab2r(Ar(Ab)=1r(A)=1r(A,b)=2r(A2r(A,b3等價(jià)于兩平面平行，另一平面與這兩個平面分別相交或三平面設(shè)??cosφ ?設(shè)? cosφ ?1

sinφ

?|

P0P×sd= .s∥設(shè)?s為這兩條直線的方向向量，P1P2分別為這兩條直線上的任意一點(diǎn)，則這兩條直線 P1P2×

d= .s∥sP(x0y0z0π:AxByCzD=0|Ax0+By0+Cz0+d √A2+B2+ 設(shè)???s1s2分別為這兩條直線的方向向量，P1P2?

s1,s1,d= .∥s1×s1,s2, 1 設(shè)兩條異面直線L,L的方向向量分別是s1,s2, 1 過直線L和L的平面π的法向量 ?×?再在L上任取一點(diǎn)，求出平面π1

n1= s Lπ1π2LA1x+B1y+C1z+D1A2x+B2y+C2z+D2

λ1(A1x+B1y+C1z+D1)+λ2(A2x+B2y+C2z+D2)=設(shè)直線為L,投影平面為π,L?π?Lπ的法向量為s

s 線，從而可以L的投影直線的一般方程?！獭?/p>

替換

c

x軸i

±xx即可xk=

31.判斷一般的二次型表示的二次曲面a11x2+a22x2+a33x2+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3+1x1+2x2+3x3+c= A,x,B那么二次型可以寫成f(x1x2x3xTAxBTxcxQyg(y)=yTΛy+B′Ty+c= λy2+λy2+λy2+b′y+b′y+b′ g的正慣性指數(shù)為p,負(fù)慣性指數(shù)為r(g)=p3q0d

λ1z2+λ2z2+λ3z2=