第二章晶體結(jié)構(gòu)及常見晶體結(jié)構(gòu)類型

第二章

晶體的結(jié)構(gòu)與常見結(jié)構(gòu)類型Chapter2Structuresandtypesofcrystal晶態(tài)結(jié)構(gòu)示意圖非晶態(tài)結(jié)構(gòu)示意圖

晶體的定義

由原子、分子或離子等微粒在空間按一定規(guī)律、周期性重復(fù)排列所構(gòu)成的固體物質(zhì)。

§2.1晶體的周期結(jié)構(gòu)與點陣3以NaCl晶體為例ClNa0.563nm（1）結(jié)構(gòu)周期：晶體內(nèi)部質(zhì)點在三維空間周期性重復(fù)排列構(gòu)成周期結(jié)構(gòu)。2.1.1周期結(jié)構(gòu)與點陣

為了研究晶體的周期結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)上的幾何點來代表基元的位置，得到空間點陣。幾何點稱為空間點陣的格點（結(jié)點）。

基元：晶體的基本結(jié)構(gòu)單元

(1)一個基元對應(yīng)一個節(jié)點

(2)基元（結(jié)點）周圍的環(huán)境相同（等效性）

(3)基元內(nèi)部有結(jié)構(gòu)，可以由一種或數(shù)種原子構(gòu)成點陣+基元=晶體結(jié)構(gòu)晶體的對稱性點陣的對稱性（2）點陣：晶體結(jié)構(gòu)基元點陣用表示所有的點陣點。

初基矢量點陣參數(shù)（1）點陣參數(shù)：空間點陣必然可選擇3個不相平行的單位矢量a，b，c。點陣參數(shù)指三個矢量a，b，c的長度及兩兩之間的夾角。（2）元胞：不在同一直線上的矢量a、b去連接與原點相鄰的點陣點形成的平行四邊形，當(dāng)該平行四邊形中只含有一個點陣點時，它就是該平面點陣的最小周期，稱為元胞。（3）晶胞：晶體結(jié)構(gòu)的基本重復(fù)單元稱為晶胞.

NaCl

三維周期排列的結(jié)構(gòu)及其點陣(0,0,0)

(1/2,1/2,0)

(1/2,0,1/2)

(0,1/2,1/2)

原子在晶胞中的位置坐標(biāo)Cl-

NaCl

三維周期排列的結(jié)構(gòu)及其點陣原子在晶胞中的位置(1/2,1/20,1/2)

(0,

1/2，0)

(1/2,0,0)

(0,0,1/2)

Na+

若晶體有完全相同的一種原子組成，則結(jié)構(gòu)基元就只有一個原子，點陣點的位置即是這種原子的位置，由這種原子構(gòu)成的點陣即是布拉菲點陣。

布拉菲點陣的特點：①每個結(jié)點周圍的情況都是一樣的。②如果晶體是由完全相同的一種原子組成，則這種原子所圍成的網(wǎng)格也就是布拉菲點陣或布拉菲格子，和結(jié)點組成的網(wǎng)格完全相同。（3）布拉菲點陣復(fù)式格子的特點復(fù)式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套構(gòu)而成。

（4）復(fù)式點陣（格子）若晶體的基元中包括兩種或兩種以上的原子，則基元中每種原子可分別構(gòu)成彼此完全相同的點陣，但它們之間存在相對位移，形成復(fù)式點陣。復(fù)式格子的特點點陣類型：（1）直線點陣以直線連接各個陣點形成的點陣稱為直線點陣.結(jié)構(gòu)基元點陣點陣參數(shù)：相鄰點陣點的距離實例

最簡單的情況是等徑圓球密置層.每個球抽取為一個點.這些點即構(gòu)成平面點陣.(2)二維－平面點陣（a）NaCl實例（b）Cu結(jié)構(gòu)點陣晶格ab（c）石墨實例結(jié)構(gòu)點陣晶格(3)三維－空間點陣簡單立方晶格(a)簡單立方晶格在三維空間延伸(b)（a）Po實例結(jié)構(gòu)點陣晶格結(jié)構(gòu)點陣晶格（

b）CsCl

實例結(jié)構(gòu)點陣晶格（

c）Na實例結(jié)構(gòu)點陣晶格（d）Cu實例點陣與晶體關(guān)系圖晶體（點陣結(jié)構(gòu)）點陣晶胞正當(dāng)單位并置切分并置切分把結(jié)構(gòu)單元抽象為幾何點把結(jié)構(gòu)單元放回到幾何點把結(jié)構(gòu)單元抽象為幾何點把結(jié)構(gòu)單元放回到幾何點空間點陣幾何要素(點線面）1結(jié)點（node)：點陣中的點。

結(jié)點間距：相鄰結(jié)點間的距離。2行列(row)

：結(jié)點在直線上的排列。特點：平行的行列間距相等?？臻g點陣幾何要素(點線面）

面網(wǎng)：由結(jié)點在平面上分布構(gòu)成的平面。

特點：任意兩個相交行列便可以構(gòu)成一個面網(wǎng)。面網(wǎng)密度：面網(wǎng)上單位面積內(nèi)的結(jié)點數(shù)目。面網(wǎng)間距：兩個相鄰面網(wǎng)間的垂直距離，平行面網(wǎng)間距相等。3面網(wǎng)（net）平行六面體：結(jié)點在三維空間的分布構(gòu)成空間格子。特點：任意三個相交且不在同一個平面的行列構(gòu)成一個空間點陣。根據(jù)基矢的不同選擇可以得到不同的平行六面體。4平行六面體（parallelepiped）計算由基矢構(gòu)成的平行六面體點陣點數(shù)量時必須考慮：（1）在平行六面體頂角上的點陣點時由8個相鄰平行六面體所共有的；（2）位于平行六面體棱上的點陣點是由4個相鄰平行六面體所共有的；（3）位于平行六面體面上的點陣點時2個相鄰平行六面體所共有的；（4）位于平行六面體內(nèi)部的點陣點完全屬于該平行六面體。坐標(biāo)系體的構(gòu)成；原點和三個不共面的基矢a、b、和c。2.1.2三維空間點陣中直線點陣與平面點陣的表達

定義：表示晶面、晶列（棱）等在晶體上方位的簡單的數(shù)字符號。

結(jié)晶符號

定義：用簡單數(shù)字符號來表達晶棱或者其他直線（如坐標(biāo)軸）在晶體上的方向的結(jié)晶學(xué)符號。也稱Miller指數(shù)。三軸定向通式為[uvw]，四軸定向通式為[uvtw]，晶向符號的確定步驟：①選定坐標(biāo)系，以晶軸x、y、z為坐標(biāo)軸，軸單位分別是a、b和c；②通過原點作一直線，使其平行于待標(biāo)定晶向AB；

③在直線上任取一點P，求出P點在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)xa、yb、zc；④xa/a:yb/b:zc/c=u:v:w應(yīng)為整數(shù)比，去掉比號，以方括號括之，寫成[uvw]即晶向AB的晶向符號。（1）直線點陣或晶列的表達晶向符號(晶棱符號)在立方晶系中，晶向指數(shù)與晶面指數(shù)相同時，則晶面與晶向垂直。不同晶面與晶向具有不同的原子密度，因而晶體在不同方向上表現(xiàn)出不同的性質(zhì)。ABCO[111]晶向垂直于（111）面OA晶向:[120]OB晶向:[103]OC晶向:[123]xyz

③取截距系數(shù)的倒數(shù)比，并化簡。即：1/p:1/q:1/r=h:k:l（h:k:l應(yīng)為簡單整數(shù)比）④去掉比例符號，以小括號括之，寫成（hkl）,即為待標(biāo)定晶面的晶面指數(shù)。晶面符號

表示晶面在空間中方位的符號，又稱米勒符號。三軸定向通式為(hkl)，四軸定向通式為(hkil)。確定晶面符號的步驟：

①選定坐標(biāo)系；②求出待標(biāo)晶面在x、y、z軸上的截距pa、qb、rc,則截距系數(shù)分別為p、q和r；（2）平面點陣或晶面的表達yxz晶面符號(332)晶面在晶軸上的截距系數(shù)愈大其晶面符號中與該軸相應(yīng)的米氏指數(shù)愈小。當(dāng)晶面平行于某坐標(biāo)軸時，其晶面符號中的米氏指數(shù)為0。(010)（001）（001）(010)(100)(100)立方體各晶面的晶面符號xyz34（0001）六方柱后面三個晶面的晶面符號:xyzu晶面符號：(1100)(0110)（1010）2.2.1對稱性的基本概念

對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。對稱不僅針對幾何形態(tài)，還有更深和更廣的含義，它包含了自然科學(xué)、社會科學(xué)、文學(xué)藝術(shù)等各領(lǐng)域的對稱性，如戰(zhàn)爭中的非對稱戰(zhàn)略?！?.2點陣宏觀對稱性與類型晶體對稱的特點

1）由于晶體內(nèi)部都具有格子構(gòu)造，通過平移，可使相同質(zhì)點重復(fù)，因此所有的晶體結(jié)構(gòu)都是對稱的。2）晶體的對稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制，它遵循“晶體對稱定律”。3）晶體的對稱不僅體現(xiàn)在外形上，同時也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上。

由以上可見:格子構(gòu)造使得所有晶體都是對稱的，格子構(gòu)造也使得并不是所有對稱都能在晶體中出現(xiàn)的。為什么？晶體的宏觀對稱要素和對稱操作

對稱操作：使對稱圖形中相同部分重復(fù)的操作。對稱要素：在進行對稱操作時所應(yīng)用的輔助幾何要素（點、線、面）。

操作類型對稱操作假想的輔助幾何要素對稱要素簡單反伸（倒反）點對稱中心反映面對稱面旋轉(zhuǎn)線對稱軸復(fù)雜旋轉(zhuǎn)+反伸線和線上的定點旋轉(zhuǎn)反伸軸旋轉(zhuǎn)+反映線和垂直于線的平面旋轉(zhuǎn)反映軸晶體的宏觀對稱操作與對稱要素1、對稱中心i（inversion）：一個假想的幾何點，在通過該點的任意直線的兩端可以找到與其等距離的點。對應(yīng)的對稱操作：對此點的反伸（倒反）。C一個晶體中可以有對稱中心，也可以沒有對稱中心；如果有對稱中心，那么只能有一個，且位于晶體的幾何中心。該切面不是矩形體的對稱面該切面是對稱面2、對稱面m（mirrorplane）：一個假想的平面，它能將晶體分成互成鏡像反映的兩個相同部分。對應(yīng)的對稱操作：對此面的反映。B2B1B4B3B2B1B4B3A2A1A4A3A2′A1′A4′A3′A2A1A4A3A2′A1′A4′A3′3、旋轉(zhuǎn)對稱（n）：通過晶體中心的一條假想的直線，繞這條直線旋轉(zhuǎn)一定的角度后，能使圖形相同的部分重復(fù)出現(xiàn)。

對應(yīng)的對稱操作：繞對稱軸的旋轉(zhuǎn)。

軸次（n）：旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)基轉(zhuǎn)角（）：重復(fù)時所旋轉(zhuǎn)的最小角度

n與之間的關(guān)系：23464、旋轉(zhuǎn)反伸對稱（

）：通過晶體中心的一條假想的直線，繞這條直線旋轉(zhuǎn)一定的角度后再反伸，能使圖形相同的部分重復(fù)出現(xiàn)。

對應(yīng)的對稱操作：繞對稱軸的旋轉(zhuǎn)加反伸。

1=i

2=m324（3個）立方體六方柱（4個）（6個）6

3=

3i

4

6=3m值得指出的是，除4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關(guān)系如下：

2.2.2點陣結(jié)構(gòu)的點對稱性與點群（1）點對稱特點：由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點格子狀的分布特點決定了晶體的對稱軸只有n=1，2，3，4，6這五種，不可能出現(xiàn)n=5，n>6的情況。為什么？1、直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對稱軸的平面結(jié)構(gòu)不能構(gòu)成面網(wǎng)，且不能毫無間隙地鋪滿整個空間,即不能成為晶體結(jié)構(gòu)。補充2、數(shù)學(xué)的證明方法為：t’=mtt’=2tsin(-90)+t=-2tcos+t所以，mt=-2tcos+t2cos=1-m

cos

=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相應(yīng)的＝0或2，

/3,/2，2/3,，相應(yīng)的軸次為1，6，4，3，2。（但是，在準晶體中可以有5、8、10、12次軸）tt’tt晶系第一位第二位第三位點群（共32個）可能對稱元素方向可能對稱元素方向可能對稱元素方向三斜1,`1任意無無1，`1單斜2,m,2/mY無無2,m,2/m正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方4,`4，4/mZ無，2，mX無，2，m底對角線4,`4，4/m，422，4mm,`42m,4/mmm三方3,`3Z無，2，mX無3,`3,32,3m,`3m六方6,`6,6/mZ無，2，mX無，2，m底對角線6,`6,6/m,622,6mm,`62m,6/mmm立方2,m,4,`4X3,`3體對角線無，2，m面對角線23,m3,432,`43m,m`3m晶體學(xué)點群的對稱元素方向及國際符號（2）點群：晶體可能存在的對稱類型。

通過宏觀對稱要素在一點上組合運用而得到。只能有32種對稱類型，稱32種點群

晶族和晶系

在晶體的對稱型中，根據(jù)有無高次軸和高次軸多少，把32個對稱型劃分出三個晶族；又根據(jù)對稱特點劃分為7個晶系。

晶體高級晶族（高次軸多于一個）中級晶族（高次軸只有一個）六方晶系

四方晶系三方晶系

低級晶族（無高次軸）斜方晶系

單斜晶系

三斜晶系

立方晶系晶體的分類n﹥2晶體學(xué)點群的對稱元素方向及國際符號晶系第一位第二位第三位點群可能對稱元素方向可能對稱元素方向可能對稱元素方向三斜1,`1任意無無1，`1單斜2,m,2/mY無無2,m,2/m正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方4,`4，4/mZ無，2，mX無，2，m底對角線4,`4，4/m，422，4mm,`42m,4/mmm三方3,`3Z無，2，mX無3,`3,32,3m,`3m六方6,`6,6/mZ無，2，mX無，2，m底對角線6,`6,6/m,622,6mm,`62m,6/mmm立方2,m,4,`4X3,`3體對角線無，2，m面對角線23,m3,432,`43m,m`3m

7大晶系晶格的關(guān)系14種布拉菲點陣簡單三斜(P)簡單單斜(P)底心單斜(C)1）三斜晶系：2）單斜晶系：3）三方晶系：三方(R)4）正交晶系：簡單正交(P)底心正交(C)體心正交(I)面心正交(F)5）四方晶系體心四方(I)簡單四方(P)6.六角晶系：六角(H)7）立方晶系：簡立方(12)體心立方(13)面心立方(14)2.2.3晶體結(jié)構(gòu)對稱性與物性的關(guān)系

晶體的物理性質(zhì)往往與方向有關(guān)，這也就意味著晶體結(jié)構(gòu)的對稱性對于物理性質(zhì)有著很大的影響。實際上，早就有Neumann原理指出：晶體的任何物理性質(zhì)必定具有它所屬的點群的一切對稱性。因此，表征晶體物理性質(zhì)的參量——物質(zhì)常數(shù)也必將與晶體的對稱性有關(guān)。

1）矢量（一階張量）物質(zhì)常數(shù)：

矢量具有三個分量，即為一階張量。例如，鐵電晶體之類的強電介質(zhì)中的自發(fā)極化矢量就是一種矢量物質(zhì)常數(shù)。晶體中的這種矢量物質(zhì)常數(shù)的存在與否就將要受到晶格對稱性的限制。

（2）二階張量物質(zhì)常數(shù)：

由兩個矢量物理量所決定的常數(shù)是二階張量，它含有9個分量。例如，介電常數(shù)、極化率、電導(dǎo)率、磁化率、熱導(dǎo)率、擴散系數(shù)等，都是二階張量常數(shù)。這種物質(zhì)常數(shù)的分量數(shù)目即決定于晶體的對稱性。以介電常數(shù)ε為例：電位移矢量D與電場強度矢量E之間的關(guān)系為：D=εE當(dāng)通過施行晶體的對稱操作之后，這種關(guān)系不會改變，從而可以證明：在具有四面體對稱性和立方對稱性的晶體中，介電常數(shù)等二階張量物質(zhì)常數(shù)必將是一個對角張量，即有：D=εoENewman原理：晶體的任一物理性質(zhì)所擁有的對稱要素必須包含晶體所屬點群的對稱要素。兩層含義：第一層含義包括以下兩點：（1）晶體的物理性質(zhì)可以而且經(jīng)常具有比晶體結(jié)構(gòu)所屬點群更高的對稱性。（2）晶體物理性質(zhì)的對稱性不能低于晶體結(jié)構(gòu)所屬點群的對稱性。第二層含義：晶體某些物理性能在對稱要素取向方面的關(guān)系，即物性張量的對稱性等于或高于晶體點群的對稱性。

2.3.1點陣的微觀對稱要素

●

宏觀對稱的主要特征：

--有限圖形的對稱。

--對稱要素的組合在空間相交于一點（沒有平移操作）。

●

微觀對稱的主要特征：

--無限圖形的對稱。

--對稱要素的組合呈空間分布（有平移操作）。

●晶體內(nèi)部構(gòu)造中除其外形上可能出現(xiàn)的對稱要素外，還

出現(xiàn)特有的、與平移有關(guān)的微觀對稱要素：

平移軸

滑移面(象移面)

螺旋軸

§2.3點陣結(jié)構(gòu)的微觀對稱性-空間群

平移軸：為一直線方向，圖形沿此直線移動一定距離，可

使相同部分重復(fù)。使圖形復(fù)原的最小平移距離，

稱平移軸的移距。

●

說明：

--晶體構(gòu)造中，任一行列方向都是一個平移軸，行列的結(jié)

點間距即為平移軸的移距，因此任何一