第五章 數(shù)控裝置軌跡控制原理

第五章插補(bǔ)計(jì)算原理

概述逐點(diǎn)比較法數(shù)字積分法

數(shù)字脈沖乘法器數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法

其它插補(bǔ)方法刀具半徑補(bǔ)償插補(bǔ)技術(shù)是數(shù)控系統(tǒng)的核心技術(shù)§5-1

概述1.插補(bǔ)的定義

加工直線的程序

N3G01X-45000Y-75000F150§5-1

概述1.插補(bǔ)的定義

數(shù)據(jù)密集化的過(guò)程。數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)輸入的基本數(shù)據(jù)（直線起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)，圓弧圓心、起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)、進(jìn)給速度等）運(yùn)用一定的算法，自動(dòng)的在有限坐標(biāo)點(diǎn)之間形成一系列的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，從而自動(dòng)的對(duì)各坐標(biāo)軸進(jìn)行脈沖分配，完成整個(gè)線段的軌跡分析，以滿足加工精度的要求。

數(shù)學(xué)模型：直線、圓弧、二次曲線、螺旋線、自由曲線等要求：實(shí)時(shí)性好，算法誤差小、精度高、速度均勻性好§5-1

概述2.分類插補(bǔ)是數(shù)控系統(tǒng)必備功能，NC中由硬件完成，CNC中由軟件實(shí)現(xiàn)，兩者原理相同?；鶞?zhǔn)脈沖插補(bǔ)（脈沖增量插補(bǔ)）逐點(diǎn)比較法數(shù)字脈沖乘法器數(shù)字積分法矢量判別法比較積分法數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)（單位時(shí)間）§5-2逐點(diǎn)比較法

應(yīng)用廣泛，能實(shí)現(xiàn)平面直線、圓弧、二次曲線插補(bǔ)，精度高。一、逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)

yoxA(xe,ye)脈沖當(dāng)量δ

相對(duì)于每個(gè)脈沖信號(hào)，機(jī)床移動(dòng)部件的位移，常見(jiàn)的有：0.01mm0.005mm0.001mm1.基本原理

在刀具按要求軌跡運(yùn)動(dòng)加工零件輪廓的過(guò)程中，不斷比較刀具與被加工零件輪廓之間的相對(duì)位置，并根據(jù)比較結(jié)果決定下一步的進(jìn)給方向，使刀具向減小誤差的方向進(jìn)給。其算法最大偏差不會(huì)超過(guò)一個(gè)脈沖當(dāng)量δ。每進(jìn)給一步需要四個(gè)節(jié)拍：

坐標(biāo)進(jìn)給偏差判別新偏差計(jì)算終點(diǎn)比較

一、逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)2.算法分析（第Ⅰ象限）偏差判別P(xi,yj)F>0F<0A(xe,ye)yox直線上直線上方直線下方偏差判別函數(shù)坐標(biāo)進(jìn)給F>0F<0yox直線上直線上方直線下方+△x或+△y方向+△x方向+△y方向A(xe,ye)

新偏差計(jì)算

+△x進(jìn)給：

+△y進(jìn)給：終點(diǎn)比較用Xe+Ye作為計(jì)數(shù)器，每走一步對(duì)計(jì)數(shù)器進(jìn)行減1計(jì)算，直到計(jì)數(shù)器為零為止。

第一拍判別第二拍進(jìn)給第三拍運(yùn)算第四拍比較總結(jié)

3.運(yùn)算舉例（第Ⅰ

象限）加工直線OA，終點(diǎn)坐標(biāo)xe=6,ye=4,

解：插補(bǔ)從直線起點(diǎn)開始，故F0=0；終點(diǎn)判別：E存入X、Y坐標(biāo)方向總步數(shù)，即E＝6＋4=10，E=0時(shí)停止插補(bǔ)。

插補(bǔ)過(guò)程演示

步數(shù)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算終點(diǎn)判斷起點(diǎn)

F0=0E=101F0=0＋XF1=F0－ye=0－4=－4E=10－1=92F1＜0＋YF2=F1＋xe=－4＋6=2E=9－1=83F2＞0＋XF3=F2－ye=2－4=－2E=8－1=74F3＜0＋YF4=F3＋xe=－2＋6=4E=7－1=65F4＞0＋XF5=F4－ye=4－4=0E=6－1=56F5=0＋XF6=F5－ye=0－4=－4E=5－1=47F6＜0＋YF7=F6＋xe=－4＋6=2E=4－1=38F7＞0＋XF8=F7－ye=2－4=－2E=3－1=29F8＜0＋YF9=F7＋xe=－2＋6=4E=2－1=110F9＞0＋XF10=F9－ye=4－4=0E=1－1=0二、逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)

（第Ⅰ

象限逆圓?。┢钆袆e圓弧上圓弧外圓弧內(nèi)偏差判別函數(shù)yoxP(x0,y0)F<0F>0坐標(biāo)進(jìn)給圓弧上圓弧外圓弧內(nèi)

新偏差計(jì)算yoxF<0F>0-△x或+△y方向-△x方向+△y方向P(x0,y0)終點(diǎn)比較

用(X0-Xe)+(Ye-Y0)作為計(jì)數(shù)器，每走一步對(duì)計(jì)數(shù)器進(jìn)行減1計(jì)算，直到計(jì)數(shù)器為零為止。總結(jié)

第一拍判別第二拍進(jìn)給第三拍運(yùn)算第四拍比較

3.運(yùn)算舉例（第Ⅰ

象限逆圓?。├?/p>

起點(diǎn)A（6,0）,終點(diǎn)B（0,6）。逐點(diǎn)比較法進(jìn)行插補(bǔ)，畫出插補(bǔ)軌跡。解：插補(bǔ)從圓弧起點(diǎn)開始，故F0=0；

E存X、Y方向總步數(shù)，E＝6＋6=12，每進(jìn)給一步減1，E=0時(shí)停止插補(bǔ)。

插補(bǔ)過(guò)程演示

步數(shù)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算終點(diǎn)判斷起點(diǎn)

F0=0x0=6y0=0E=121F0=0－XF1=F0－2x0＋1=0－12＋1=－11x1=6－1=5y1=0E=112F1＜0＋YF2=F1＋2y1＋1=－11＋0＋1=－10x2=5y2=0＋1=1E=103F2＜0＋YF3=F2＋2y2＋1=－10＋2＋1=－7x3=5y3=1＋1=2E=94F3＜0＋YF4=F3＋2y3＋1=－7＋4＋1=－2x4=5y4=2＋1=3E=85F4＜0＋YF5=F4＋2y4＋1=－2＋6＋1=5x5=5y5=3＋1=4E=76F5＞0－XF6=F5－2x5＋1=5－10＋1=－4x6=5－1=4y6=4E=67F6＜0＋YF7=F6＋2y6＋1=－4＋8＋1=5x7=4y7=4＋1=5E=58F7＞0－XF8=F7－2x7＋1=5－8＋1=－2x8=4－1=3y8=5E=49F8＜0＋YF9=F8＋2y8＋1=－2＋10＋1=9x9=3y9=5＋1=6E=310F9＞0－XF10=F9－2x9＋1=9－6＋1=4x10=3－1=2y10=6E=211F10＞0－XF11=F10－2x10＋1=4－4＋1=1x11=2－1=1y11=6E=112F11＞0－XF12=F11－2x11＋1=1－2＋1=0x12=1－1=0y12=6E=0逐點(diǎn)比較法總結(jié)判別：判別刀具當(dāng)前位置相對(duì)于給定輪廓的偏差狀況。進(jìn)給：根據(jù)判斷結(jié)果，控制相應(yīng)坐標(biāo)軸的進(jìn)給方向。運(yùn)算：按偏差計(jì)算公式重新計(jì)算新位置的偏差值。比較：若已經(jīng)插補(bǔ)到終點(diǎn)，結(jié)束插補(bǔ)計(jì)算，否則重復(fù)上述過(guò)程。類型坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算公式Ⅰ直線Ⅰ逆圓弧逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)的象限處理

象限結(jié)論

F≥0:

應(yīng)往X軸絕對(duì)值增大方向走步;F<0:

應(yīng)往Y軸絕對(duì)值增大方向走步。逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)的象限處理

總結(jié):

逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)的象限處理應(yīng)遵循以下原則：

一、是靠近待加工軌跡。二、是跟蹤待加工軌跡走向。5.3數(shù)字積分法

數(shù)字積分法：數(shù)字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer，簡(jiǎn)稱DDA）。優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)算速度快、脈沖分配均勻、易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)或多坐標(biāo)空間曲線的插補(bǔ)。求函數(shù)y=f（x）對(duì)x的積分運(yùn)算，是求函數(shù)曲線與X軸在積分區(qū)間所包圍的面積F。

求面積F可轉(zhuǎn)化成

數(shù)字運(yùn)算時(shí)，一般取Δx為單位“1”，即一個(gè)脈沖當(dāng)量，則函數(shù)的積分運(yùn)算變成了對(duì)變量的求和運(yùn)算起點(diǎn)O（0,0），終點(diǎn)A（xe

,ye），設(shè)進(jìn)給速度V是均勻的，直線長(zhǎng)度L，則有5.3.1DDA法直線插補(bǔ)△t時(shí)間內(nèi)，X和Y方向移動(dòng)的微小增量△x、△y

：動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)走向終點(diǎn)，可看作是各坐標(biāo)每經(jīng)過(guò)一個(gè)△t分別以增量kxe、kye累加的結(jié)果。設(shè)經(jīng)過(guò)m次累加X(jué)和Y方向到達(dá)A（xe

,ye），則：

取△t＝1，

則

mk=1m是整數(shù)，所以k為小數(shù)。選取k時(shí)考慮：xe

、ye最大值（寄存器位數(shù)n）為2n－1，所以一般取

說(shuō)明：DDA直線插補(bǔ)整個(gè)過(guò)程需要2n次累加能到達(dá)終點(diǎn)。

k（2n－1）<1，則：m＝2n思考：當(dāng)k=1/2n時(shí)，對(duì)二進(jìn)制數(shù)來(lái)說(shuō)，kxe與xe有何不一樣?只在于小數(shù)點(diǎn)的位置不同，將xe的小數(shù)點(diǎn)左移n位即為kxe。

n位內(nèi)存中存放xe

和kxe的數(shù)字是相同的，認(rèn)為后者小數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)在最高位數(shù)n的前面。對(duì)kxe、kye的累加轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)xe

與ye的累加。

X—Y平面的DDA直線插補(bǔ)器的示意圖：00tY軸溢出脈沖X軸溢出脈沖+被積函數(shù)寄存器JVY（ye）Y積分累加器JRYX積分累加器J

RX被積函數(shù)寄存器JVX（xe）+插補(bǔ)迭代控制脈沖ΔxΔyyx直線插補(bǔ)終點(diǎn)判別：m=2n為終點(diǎn)判別依據(jù)插補(bǔ)第一象限直線流程圖m＝24＝16。插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表，軌跡如圖示。例5-4直線起點(diǎn)O（0，0），終點(diǎn)A（8，6），用四位寄存器，寫出直線DDA插補(bǔ)過(guò)程并畫出插補(bǔ)軌跡。累加次數(shù)

mX積分器

JVX（存xe

）

X積分器JRX（∑xe）

X積分器

△x

Y積分器

JVY（存ye）

Y積分器JRY（∑ye）

Y積分器△y

01000000110001

10000

011002

00001

110003

10000

001014

00001

100005

10000

111006

00001

010017

10000

101008

00001

000019

10000

0110010

00001

1100011

10000

0010112

00001

1000013

10000

1110014

00001

0100115

10000

1000016

00001

00001插補(bǔ)其他象限直線：把坐標(biāo)與脈沖進(jìn)給方向分開；取終點(diǎn)坐標(biāo)的絕對(duì)值存入被積函數(shù)寄存器，插補(bǔ)計(jì)算公式與插補(bǔ)第一象限直線時(shí)一樣；脈沖進(jìn)給方向是直線終點(diǎn)坐標(biāo)絕對(duì)值增加的方向。?5.3.2DDA法圓弧插補(bǔ)

（第一象限逆圓?。┑毒哐貓A弧切線方向勻速進(jìn)給，可認(rèn)為比例常數(shù)k為常數(shù)。在一個(gè)單位時(shí)間間隔△t內(nèi)，△x、△y為：用兩個(gè)積分器實(shí)現(xiàn)圓弧插補(bǔ)，k的省略原因和直線時(shí)類同。

-1+1JVY插補(bǔ)迭代控制脈沖ΔtY軸溢出脈沖X軸溢出脈沖+Y積分累加器JRYX積分累加器JRXJVX+ΔxΔy(yi)(xi)DDA第一象限逆圓弧插補(bǔ)與直線插補(bǔ)的區(qū)別：1．xi，yj存入JVX、JVY的對(duì)應(yīng)關(guān)系與直線不同，恰好位置互調(diào)，即yj存入JVX，而xi存入JVY中；2．直線插補(bǔ)時(shí)JVX、JVY寄存的是常數(shù)（xe或

ye）；圓弧插補(bǔ)時(shí)寄存的是變量（動(dòng)點(diǎn)xi或yj）。起點(diǎn)時(shí)JVX、JVY寄存y0、x0；插補(bǔ)時(shí)JRY每溢出一個(gè)△y脈沖，JVX加“1”；反之，JRX溢出一個(gè)△x脈沖時(shí)，JVY減“1”。減“1”的原因：刀具作逆圓運(yùn)動(dòng)時(shí)x坐標(biāo)作負(fù)方向進(jìn)給，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)不斷減少

3．圓弧插補(bǔ)終點(diǎn)判別用2個(gè)計(jì)數(shù)器；直線迭代2n次DDA法圓弧插補(bǔ)的終點(diǎn)判別：各軸各設(shè)一個(gè)終點(diǎn)判別計(jì)數(shù)器，當(dāng)各軸終點(diǎn)判別計(jì)數(shù)器都減為0時(shí)，停止插補(bǔ)。根據(jù)JVX、JVY的存數(shù)判斷是否到達(dá)終點(diǎn)，如果JVX中存數(shù)是ye、JVY中存數(shù)是xe，則到終點(diǎn)。例5-5第一象限逆圓弧，起點(diǎn)A（5，0），終點(diǎn)B（0，5），用三位寄存器，寫出DDA插補(bǔ)過(guò)程，畫出軌跡圖。EX＝5，EY＝5，X和Y積分器有溢出時(shí)，EX、EY減“1”，均為0時(shí)結(jié)束。插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表，軌跡如圖。累加次數(shù)m

X積分器

JVX（存yj）

X積分器

JRXX積分器

JVXEX

Y積分器

JVY（存xi）Y積分器

JRYY積分器

JRYEY

000000001011010000101

1000000010110110101012000000010110101011002001

3001001010110111101004001010010110110010114010

5010100010110100110105011

6011111010110111000107011010110010101110017100

100

8100110010010011100019100010101110001110009101

011

101011110011011

111010011001011

11

010

121010011001010

10112

001

101131011100001001

100141010011000001

A（0，5）B（5，0）n=3EX＝5，EY＝5練習(xí)：累加次數(shù)m

X積分器

JVX（存yj）

X積分器

JRXX積分器

JVXEX

Y積分器

JVY（存xi）Y積分器

JRYY積分器

JRYEY

010100001010000000101

11011011012

010

+1100

31110010014100+10110105001+101001010061100111117011

+1

001

010-1

10081001111001109011+1000010-101110011101

111

11100

-1

01012010

001-1

00113001

110

14

011

-100015000

B5123412345XOAY其它象限順、逆圓插補(bǔ)過(guò)程基本與第一象限逆圓弧一致，區(qū)別是控制△x、△y進(jìn)給方向不同；修改Jvx、Jvy內(nèi)容是加“1”還是減“1”，由xi和yj坐標(biāo)值的增減而定。

SR1

SR2SR3

SR4

NR1

NR2

NR3

NR4

Jvx（yj）Jvy（xi）△x△y

－1＋1＋－

＋1－1＋＋

－1＋1－＋

＋1－1－－

＋1－1－＋

－1＋1－－

＋1－1＋－

－1＋1＋＋

A(0,-5)B(5,0)JvxJRyJRxJvyExEy505500555500545005745112+1543512525245625371+1+1514324714463+1+1……….練習(xí)：進(jìn)給速度受被加工直線長(zhǎng)度和圓弧半徑影響。（為什么？）DDA法直線插補(bǔ)，不論JVX中存數(shù)大小(不論行程長(zhǎng)短)，完成m＝2n次累加到達(dá)終點(diǎn)；直線短，進(jìn)給慢，速度低；直線長(zhǎng)，進(jìn)給快，速度高。加工短直線生產(chǎn)效率低；加工長(zhǎng)直線零件表面質(zhì)量差。1．進(jìn)給速度均勻化措施——左移規(guī)格化5.3.3提高DDA法插補(bǔ)質(zhì)量的措施DDA法是脈沖源每產(chǎn)生一個(gè)脈沖，作一次累加計(jì)算，如果脈沖源頻率（插補(bǔ)脈沖頻率）為f，插補(bǔ)直線的終點(diǎn)坐標(biāo)為E（Xe，Ye），則X，Y方向平均進(jìn)給頻率fx，fy為累加次數(shù)V與L或R成正比插補(bǔ)脈沖頻率脈沖當(dāng)量進(jìn)給速度為使溢出脈沖均勻，并提高溢出速度，常采用設(shè)置進(jìn)給速率數(shù)FRN（FeedRateNumber）或左移規(guī)格化（常用）等措施。（1）設(shè)置進(jìn)給速率數(shù)FRN

G93通過(guò)FRN調(diào)整f，使其與V相協(xié)調(diào)，消除L與R對(duì)V的影響。（2）左移規(guī)格化一般規(guī)定：寄存器中的數(shù)，若最高位為“1”，稱為規(guī)格化數(shù)；最高位為“0”，稱為非規(guī)格化數(shù)。對(duì)規(guī)格化數(shù)，累加運(yùn)算兩次必有一次溢出；對(duì)非規(guī)格化數(shù)，作兩次甚至多次累加運(yùn)算才有溢出。1）直線插補(bǔ)的左移規(guī)格化直線插補(bǔ)時(shí)，將JVX、JVY中非規(guī)格化數(shù)xe

、ye同時(shí)左移，直到JVX、JVY中至少有一個(gè)數(shù)是規(guī)格化數(shù)為止，稱為左移規(guī)格化。每左移一位，數(shù)值增大一倍，即乘2，kxe或kye的k改為k=1/2n－1，所以m＝2n－1次，減小一半。若左移s位，則m=?左移規(guī)格化的同時(shí)，終點(diǎn)判別計(jì)數(shù)器中的數(shù)相應(yīng)從最高位輸入“1”右移，例：

左移前

左移一位

左移三位JVX000011000110011000JVY000101001010101000E000000100000111000m＝2n－s例：第一象限一直線，起點(diǎn)原點(diǎn)，終點(diǎn)A（7，5），寄存器4位。左移規(guī)格化前寄存器的數(shù)0111及0101，累加運(yùn)算16次。左移規(guī)格化后寄存器的數(shù)1110及1010，需累加運(yùn)算8次。2）圓弧插補(bǔ)的左移規(guī)格化JVX、JVY中的數(shù)，隨加工的進(jìn)行寄存數(shù)可能不斷增加（加“1”修正），如取最高位為“1”作規(guī)格化數(shù)，有可能加“1”修正后溢出。圓弧插補(bǔ)的左移規(guī)格化使坐標(biāo)值最大的被積函數(shù)寄存器的次高位為1，將JVX、JVY寄存器中次高位為“1”的數(shù)稱為規(guī)格化數(shù)。規(guī)格化數(shù)提前一位產(chǎn)生，寄存器的容量≥2R左移s位，X、Y方向坐標(biāo)值擴(kuò)大2s倍，即JVX、JVY中的數(shù)分別為2syj及2sxi，當(dāng)JRY有溢出Δy時(shí)，JVX中的數(shù)改為

2syj→2s（yj＋1）＝2syj

＋2sJVX增加2s，不是加1，即JVX第s＋1位加“l(fā)”。同理，若JRX溢出一個(gè)脈沖時(shí)，JVY減小2s，即第s＋1位減“l(fā)”。

直線插補(bǔ)時(shí)，規(guī)格化后最大坐標(biāo)值可能為111…111，每次迭代有溢出；最小值可能為100…000，每?jī)纱蔚幸绯?，可?jiàn)溢出速率相差1倍；圓弧插補(bǔ)時(shí)，規(guī)格化后最大坐標(biāo)值可能為011…111，可能的最小值為010…000，其溢出速率也相差一倍。左移規(guī)格化后，不僅提高溢出速度，且使溢出脈沖較均勻，加工效率和質(zhì)量大為提高。2．提高插補(bǔ)精度的措施—余數(shù)寄存器預(yù)置數(shù)DDA直線插補(bǔ)誤差＜1個(gè)脈沖當(dāng)量，但圓弧插補(bǔ)誤差可能＞1個(gè)脈沖當(dāng)量，原因：一積分器被積函數(shù)寄存器中的值接近零——幾乎沒(méi)有溢出，另一積分器被積函數(shù)寄存器中的值接近最大值（圓弧半徑）——可能連續(xù)溢出兩個(gè)積分器的溢出脈沖速率相差很大，致使插補(bǔ)軌跡偏離理論曲線措施：增加積分器位數(shù)，從而增加迭代次數(shù)。但進(jìn)給速度卻降低了。常用“余數(shù)寄存器預(yù)置數(shù)”的方法，即：插補(bǔ)前，JRX、JRY預(yù)置某一數(shù)值（不是零），可以是2n－1（111…111），稱為全加載，可以是小于最大容量的某個(gè)數(shù)，如2n／2（100…000），稱為半加載。“半加載”可使直線插補(bǔ)的誤差減小到半個(gè)脈沖當(dāng)量?jī)?nèi)。例：對(duì)直線OA（15，1）進(jìn)行插補(bǔ)對(duì)圓弧插補(bǔ)進(jìn)行“半加載”、“全加載”未經(jīng)"半加載""半加載"后理論曲線Y5123412345OX全加載被積函數(shù)值較小、不能很快產(chǎn)生溢出脈沖時(shí)，通過(guò)“全加載”、“半加載”，使脈沖提前溢出，改變溢出脈沖的時(shí)間分布，以減少插補(bǔ)誤差。為方便，可通過(guò)對(duì)方程求導(dǎo)數(shù)（全微分）將增量△x、△y、△t直接寫成微分形式dx、dy、dt：標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

5.3.4其它函數(shù)的DDA插補(bǔ)運(yùn)算

設(shè)X和Y軸位移增量分別為△x、△y。插補(bǔ)時(shí)，取增量大的作長(zhǎng)軸，增量小的為短軸，要求X和Y軸的速度保持一定比例，且同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。

5.4.1直線函數(shù)法（弦線法）直線插補(bǔ)

XYE（xe,ye)Pl5.4.2直線函數(shù)法圓弧插補(bǔ)

以內(nèi)接弦進(jìn)給代替弧線進(jìn)給，提高了圓弧插補(bǔ)的精度。采用sin45°和cos45°來(lái)取代sin