第五章(電容元件及電感元件)

第二篇動態(tài)電路的時域分析電路分析基礎(chǔ)-李瀚蓀第二篇動態(tài)電路的時域分析在第一篇（第一章~第四章）中，以電阻電路為例介紹了電路分析的基本定律、定理和分析方法。電阻電路各元件（電阻、獨立源和受控源）的伏安關(guān)系（VCR）均為代數(shù)關(guān)系，通常將這類元件稱為靜態(tài)元件。而把由靜態(tài)元件組成的電路稱為靜態(tài)電路，描述靜態(tài)電路的是一組代數(shù)方程。電阻電路的特點：當(dāng)激勵作用到電路的瞬間，電路中會產(chǎn)生即時響應(yīng)，并且如果激勵是常量響應(yīng)也是常量，t時刻的響應(yīng)僅與t時刻的激勵有關(guān)，無記憶性！第二篇動態(tài)電路的時域分析實際電路中，不可避免的存在另一類元件:

如電感、電容，這些元件的的電流或電壓關(guān)系涉及到對時間的微分或積分，其VCR為以電流或電壓為變量的微分方程，故稱其為動態(tài)元件。（動態(tài)僅指其過渡過程）把至少含有一個動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路。在線性非時變的條件下，其描述方程是線性常微分方程。若電路中只包含一個動態(tài)元件，可以用一階微分方程描述，此時電路常稱為一階電路。一般而言，若電路中包含有n個獨立的動態(tài)元件，可以用n階微分方程描述,此電路稱為n階電路。第二篇動態(tài)電路的時域分析第五章動態(tài)元件第二篇包含第五章~第七章共三章，討論動態(tài)電路的時域分析方法，即研究如何求解動態(tài)電路中各支路的電路變量。任何一個集總電路都必須服從兩類約束。對動態(tài)電路來說，還需包含動態(tài)元件的VCR。第六章一階電路

第七章二階電路

第五章

動態(tài)元件

（1）掌握電容元件和電感元件的定義及其VCR（2）掌握線性時不變電容和電感的主要電學(xué)特性基本要求：（3）理解電容和電感的對偶特性

§5-1電容元件

一、電容元件電容元件是實際電容器的理想化模型。它只具有存儲電荷、從而存儲電場能量的作用，是一種儲能元件。其參數(shù)為電容C：注：任何兩個彼此絕緣又相互靠近的導(dǎo)體就可構(gòu)成一個電容器。1、電容元件定義一個二端元件，如果在任一時刻t，它的電荷q(t)同它的端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用q-u平面上（或u-q平面）的一條曲線（庫-伏特性曲線）來確定，則此二端元件稱為電容元件。+-u(t)i(t)C(t)q(t)u(V)q(C)0關(guān)聯(lián)參考方向庫-伏特性曲線0u/Vq/C斜率為C2、電容器的分類按時間：非時變與時變按u-q關(guān)系：線性與非線性如果u-q平面上的特性曲線是一條通過原點的直線，且不隨時間而變，則此電容元件稱之為線性時不變電容元件。

亦即：q(t)=Cu(t)其中C為一個與q、u及t無關(guān)的正值常量，是表征電容元件儲存電荷能力的物理量，稱為電容，單位為法拉。+-u(t)i(t)Cq(t)CRC3、電容器的實際模型

實際電容器與電容元件存有不同，除了具有電容元件的儲能性質(zhì)外，還有一些漏電現(xiàn)象，因此，電容器的模型，還應(yīng)包括漏電阻元件。CESR二、電容元件的VCR（1）故得：關(guān)聯(lián)參考方向下，對線性非時變電容，得：電容元件VCR的微分形式

q(t)=Cu(t)1、上式從電荷變化的角度描述了電容的VCR。由上式可知：在某一時刻電容的電流取決于該時刻電容電壓的變化率，所以電容元件稱為動態(tài)元件。

說明2、如電容電壓不變（直流電壓），則電流為零，相當(dāng)于開路，此為電容的隔直流效應(yīng)（隔直通交特性）。3、如電容電壓變化，則電流不為零，電壓變化越快，電流就越大。4、由于i(t)為有限值，也為有限值，所以電容兩端的電壓不能躍變——連續(xù)性。

說明也可以把電容的電壓u(t)表示為電流i的函數(shù)。

得：電容元件VCR的積分形式1、上式從電荷積累的角度描述了電容的VCR。表明：在某一時刻t電容電壓的數(shù)值u(t)取決于從-∞到t所有時刻的電流值，也就是說與電流全部過去歷史有關(guān)—記憶性。

說明二、電容元件的VCR（2）2、考察電路往往只需了解在某一任意選定的初始時刻t0以后電容電壓的情況，則上式可改寫為：u（t0）累計了t=t0以前所有時刻電流i的作用，稱為電容的初始電壓。注意：1、當(dāng)u(t0)和C確定后，u(t)才可以被唯一確定。

2、只有當(dāng)u(t0)=0時，u(t)與i(t)才是線性函數(shù)關(guān)系。

說明3、電容的等效電路設(shè)u(t0)=U0，則t≥t0時電容電壓可寫為：一個初始電壓為U0的電容，可等效為一個初始電壓為0的電容與電壓源U0相串聯(lián)的電路。+-abi(t)cu(t)i(t)abuc(t)+++++++-------+-+-線性化

說明4、電容電壓增量由于i是有限量(i有界)，所以Δt→0時，Δu→0這再次說明了電容電壓是連續(xù)量。即電容兩端電壓不可突變。

說明16三、電容的儲能正值表示電容吸收功率，而負(fù)值表示釋放功率，即將吸收的功率退還給電源或電路的其他部分。這與電阻功率總是正值是不同的，電阻總是消耗功率，而電容元件是不消耗功率的。

1、電容的瞬時功率關(guān)聯(lián)方向時電容吸收的功率為：p=i(t)u(t)，有時為正，有時為負(fù)。++++++------abi(t)u(t0)=U0cu(t)由于：p=dwC/dt，因而電容的能量wC應(yīng)為功率對時間t的積分。ò-t∞p(ξ)dξwC(t)=2、電容的能量從時刻t1到t2電容元件吸收的能量為：()ò-=t2t1p(ξ)t1-t2dξwCò-=t2t1u(ξ)i(ξ)dξò-=t2t1Cu(ξ)dξ=du(ξ)dξò-u(t2)u(t1)CuduCu221=u(t2)u(t1)C21=[u(t2)2-u(t1)2]電容元件在任何時刻t的儲能為：1、電容儲能不能為負(fù),電容是無源器件。3、在t1到t2期間供給電容的能量只與時刻t1和t2的電壓值u(t1)和u(t2)有關(guān)。A、與過程無關(guān)；B不能突變；C、與電流無關(guān)；D、u為電容的狀態(tài)變量。電容儲能公式2、在u一定時，C越大則W越大，所以C代表了電容器儲存電場能的能力。

說明電容元件充電時，|u（t2）|＞|u（t1）|，w（t2）＞w（t1），故在此時間內(nèi)元件吸收能量；電容元件放電時，|u（t2）|＜|u（t1）|，w（t2）＜w（t1），故在此時間內(nèi)元件釋放能量。電容在充電時吸收并儲存的能量一定在放電完畢時全部釋放，它不消耗能量，是不耗能元件。同時，電容元件也無法釋放出多于它吸收并儲存的能量，所以它又是一種無源元件。3、電容的充放電試求：(1)u(0)；

(2)u(t)、t≥0；

(3)u(1)和u(－0.5)；

(4)作出t≥0時該電容的等效電路。已知電容C=4F，對所有t、i(t)波形如圖所示，電容電壓u(t)與i(t)參考方向關(guān)聯(lián)。

（1）根據(jù)已知條件，t≤0時僅在－1≤t≤0時，i(t)=2A。u(0)記憶了t=0以前所有電流的充電作用。

例題解+-u(t)i(t)Cq(t)（2）5-8(續(xù))t≥0時，不能忽略初始電壓u(0)，它反映了t≤0電流對t≥

0時u（t）的影響。t≥

0時（3）

例題（4）5-9(續(xù))t≥

0時的等效電路i1(t)—i(t)在t≥0時的部分；t≤0的部分已不必再考慮。

例題1、定義：一個二端元件，如果在任一時刻t，它的磁通

與流過它的電流i之間的關(guān)系是由-i平面（或i-平面）上的一條曲線所確定，則此二端元件稱為電感元件(inductor)。這條曲線稱韋安特性曲線。線性非時變電感元件特性方程第二節(jié)

電感元件線性電感元件的磁通鏈Ψ與電流i的比值為常量，稱為感應(yīng)系數(shù)，簡稱電感，單位為亨H。電感元件是實際電感器的理想化模型。它只具有產(chǎn)生磁通、從而存儲磁場能量的作用。

儲能元件2.電感元件的VCR（線性時不變電感）動態(tài)特性：t時刻的電感電壓u取決于該時刻電感電流i隨時間t的變化率，稱為動態(tài)元件。電感VCR的微分形式通直流特性：電感元件對直流電流短路。記憶特性：t時刻的電流值取決于從–∞到t時刻的全部電壓值，具有“記憶”電壓的性質(zhì)，是一種記憶元件。電感電流的連續(xù)性：u有界，則當(dāng)?t→0時，就有?i→0。即只要電感電壓是有界函數(shù)，電感電流就是連續(xù)函數(shù)，不會跳變。電感電流增量：電感VCR的積分形式i(t0)

稱為初始電流3、電感元件的等效電路具有初始電流的電感可以等效成無初始電流的電感與電流源的并聯(lián)。

i(t0)

稱為初始電流線性化4、電感元件的能量1）瞬時功率電流和電壓取一致參考方向時：當(dāng)pL>0時，電感吸收功率；當(dāng)pL<0時，電感發(fā)出功率。（3）當(dāng)pL=0時，wL為常數(shù)，電感元件儲能保持不變，與外電路間無能量交換（1）當(dāng)pL>0時，wL增加，外電路供給電感能量；

電感的儲能過程：（2）當(dāng)pL<0時，wL減少，電感中的磁場能返回給外電路；電感的能量wL應(yīng)為功率對時間t的積分。ò-t∞p(ξ)dξwC(t)=從時刻t1到t2電感元件吸收的能量為：()ò-=t2t1p(ξ)t1-t2dξwLò-=t2t1u(ξ)i(ξ)dξò-=t2t1Li(ξ)dξ=di(ξ)dξò-i(t2)i(t1)LidiLi221=i(t2)i(t1)L21=

i(t2)2-