第八章 平面應(yīng)力問題有限單元法

船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)第八章平面應(yīng)力問題的有限元法§8-1彈性體的應(yīng)力、位移與應(yīng)變2023/2/3基本概念：外力、應(yīng)力、形變、位移。1.外力：體力、面力(1)體力——分布在物體體積內(nèi)的力——體力分布集度（矢量）xyzO單位：N/m3kN/m3說明：f是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念p2023/2/3(2)面力——分布在物體表面的力——面力分布集度（矢量）xyzO單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說明：彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；p2023/2/32.應(yīng)力(1)一點(diǎn)應(yīng)力的概念ΔAΔF內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考慮)P截面上P點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)力矢量.的極限方向應(yīng)力分量n(法線)應(yīng)力的法向分量——正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量——切應(yīng)力單位:MPa(兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2023/2/3(2)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過一點(diǎn)P的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2023/2/3用矩陣表示：其中，只有6個(gè)量獨(dú)立。切應(yīng)力互等定理應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)。切應(yīng)力——坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。xyzO彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2023/2/33.形變形變——物體的形狀改變xyzO（1）線段長(zhǎng)度的改變（2）兩線段間夾角的改變。PBCA——用線（正）應(yīng)變?chǔ)哦攘俊袘?yīng)變?chǔ)枚攘浚ㄇ袘?yīng)變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個(gè)方向的線應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)變：(1)一點(diǎn)形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變：伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；切應(yīng)變：以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2023/2/3(2)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)其中應(yīng)變無(wú)量綱；4.位移注：一點(diǎn)的位移——矢量S應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量綱：m或mm彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念1.平面應(yīng)力問題t/2t/2Oxyzy圖6-1§8-2平面應(yīng)力問題及其基本方程式

因?yàn)榘迕嫔?z=±t/2

)不受力，所以有應(yīng)力分量

由于板很薄，故可以認(rèn)為在整個(gè)薄板上所有各點(diǎn)上都有：

根據(jù)剪應(yīng)力互等定律：

這樣，板中任一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量就只剩下三個(gè)應(yīng)力分量，即

因而這種問題稱為平面應(yīng)力問題。同時(shí)，由于板很薄，所以這三個(gè)應(yīng)力分量，以及分析問題時(shí)須考慮的三個(gè)應(yīng)變分量x

、y

、xy及和兩個(gè)位移分量u，v，都可以認(rèn)為沿厚度不變化。這就是說，它們只是坐標(biāo)x和y的函數(shù)，不隨坐標(biāo)z的變化而變化。

在平面應(yīng)力問題中，可用如下三個(gè)向量分別表板中任一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移；§8-2平面應(yīng)力問題及其基本方程式

在船體結(jié)構(gòu)中，很多問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題處理。例如甲板開口、舷側(cè)、橫梁開孔和肘板的強(qiáng)度問題等等。

2.基本方程式基本方程式包括平衡微分方程式、幾何方程式和物理方程式，此外還有邊界條件方程式。下面依次到處平面應(yīng)力問題的這些方程式xyxyCXYxy(1)平衡微分方程式根據(jù)平衡條件導(dǎo)出的各應(yīng)力分量之間的微分關(guān)系就是平衡微分方程式圖8-6

首先以通過中心C，并平行于z軸的直線為矩軸，列力矩平衡方程Mc=0。

其次，以x軸為投影軸，列出力投影的平衡方程Fx=0：§8-2平面應(yīng)力問題及其基本方程式

其次，以y軸為投影軸，列出力投影的平衡方程Fy=0：

由此，得到平面應(yīng)力問題的平衡方程：(8-9)xy(2)幾何方程式下面從平面應(yīng)力問題的幾何學(xué)方面，導(dǎo)出應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程式。O以上兩個(gè)微分方程中包含三個(gè)未知數(shù)x、y、xy

=yx：因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定，還必須考慮變形情況才能解決問題。

線段PA的正應(yīng)變：

線段PB的正應(yīng)變：(a)(b)

剪應(yīng)變xy：

線段PA的轉(zhuǎn)角為：

線段PB的轉(zhuǎn)角為：

剪應(yīng)變xy：

式(a)、(b)、(c)是應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，現(xiàn)歸納為：稱為平面應(yīng)力問題的幾何方程式，又稱柯西方程式(c)(8-11)

由式（8-11）可見，當(dāng)板內(nèi)各點(diǎn)的位移分量u、v為已知函數(shù)時(shí)，就可確定各點(diǎn)的應(yīng)變分量x、y、xy；反之，假定三個(gè)應(yīng)變分量函數(shù)，那么按式（8-11）的前兩個(gè)式子就可以求出位移函數(shù)u、v，若用此兩個(gè)位移分量函數(shù)代入第三個(gè)方程式求xy，就會(huì)與假定的xy不同。這樣就出現(xiàn)了矛盾。這一矛盾是因?yàn)榘鍍?nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變分量之間有相互聯(lián)系所造成的，如果在假定各應(yīng)變分量函數(shù)時(shí)不反映出這種聯(lián)系，那就將使變形不連續(xù)，即板變形將發(fā)生空隙或裂縫。從數(shù)學(xué)上講，式（8-11）的應(yīng)變分量是三個(gè)，而位移分量只有兩個(gè)，因此三個(gè)應(yīng)變分量不能相互獨(dú)立，而必然有一定的聯(lián)系，這個(gè)關(guān)系叫應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或應(yīng)變相容條件?，F(xiàn)推導(dǎo)如下：

應(yīng)變相容方程或叫應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：

稱為變形連續(xù)方程或圣維南方程(8-12)

（3）物理方程式

上面建立了二個(gè)平衡微分方程式和三個(gè)幾何方程式，五個(gè)方程式中共有八個(gè)未知函數(shù)x、y

、xy、u、v、x、y、xy，尚需補(bǔ)充三個(gè)方程式才可能求解。這三個(gè)方程式就是應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，即物理方程式。物理方程式就是材料力學(xué)中廣義虎克定律，平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律為：

或?qū)懗桑?8-13)(8-14)

用矩陣形式表示為：

簡(jiǎn)記為：稱為平面應(yīng)力問題的彈性矩陣(8-16)(8-17)

（4）邊界條件

上述式（8-9）、（8-11）、（8-13）或（8-14）一共有八個(gè)基本方程式。這八個(gè)基本方程式中包含八個(gè)未知函數(shù)（坐標(biāo)x,y的函數(shù)）；三個(gè)應(yīng)力分量；三個(gè)應(yīng)變分量；兩個(gè)位移分量。方程的數(shù)目恰好等于未知函數(shù)的數(shù)目。因此，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，由上述方程式求解未知函數(shù)是可能的。

根據(jù)邊界條件的不同，平面應(yīng)力問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。

（4）邊界條件

在位移邊界問題中，物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是在全部邊界上有：式中，us和vs在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。這就是平面應(yīng)力問題的位移邊界條件。(6-11)

（4）邊界條件

在應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，也就是說，面力分量X和Y在全部邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。根據(jù)面力分量與邊界上應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可以把面力已知條件轉(zhuǎn)換為應(yīng)力已知的條件，這就是所謂應(yīng)力邊界條件，推導(dǎo)如下：xNXYYX

在物體邊界上取直角三角形的微塊PAB，它的斜面AB與物體邊界面重合，如圖6-4所示。用N表示邊界面的外法線法向，其方向余弦為：xNXYYX

設(shè)該邊界面AB

的長(zhǎng)度為ds，則截面PA和PB的長(zhǎng)度分別為lds和mds，另設(shè)微塊的厚度為1。由微塊的平衡條件Fx=0，得

同理由微塊的平衡條件FY=0，得另外一方程式。這兩個(gè)方程式為：

式（8-10）就是平面應(yīng)力問題的應(yīng)力邊界條件。如果考慮第三個(gè)平衡條件FM=0，則可以再寫出一個(gè)方程式，但是在ds趨近于零時(shí)，設(shè)一方程式將成為剪應(yīng)力互等方程式。(8-10)1.解題方法簡(jiǎn)介

傳統(tǒng)的彈性力學(xué)解題方法有三種：位移法，應(yīng)力法和混合法。

當(dāng)平面應(yīng)力問題按位移法求解時(shí)，以位移分量u、v為基本未知函數(shù)。將幾何方程式（8-11）代入物理方程式（8-14），得應(yīng)力分量與位移分量之間的關(guān)系式，再將所得關(guān)系式代入平衡微分方程式（8-9）和應(yīng)力邊界條件（8-11），簡(jiǎn)化后得到：§8.2解題方法及有限單元法概念

和：

當(dāng)平面應(yīng)力問題按應(yīng)力法求解時(shí)，以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。用物理方程式（8-14）將應(yīng)變連續(xù)方程式（8-12）的應(yīng)變化為應(yīng)力，再加上兩個(gè)靜力平衡式（8-9）得應(yīng)力分量，進(jìn)而可用物理方程式求應(yīng)變分量，幾何方程式求位移分量，簡(jiǎn)化后得到：2023/2/3有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化

將結(jié)構(gòu)分成有限個(gè)小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點(diǎn)連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析的第一步，關(guān)系到計(jì)算精度和效率，包括以下三個(gè)方面：?jiǎn)卧愋偷倪x擇。選定單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)等。單元?jiǎng)澐?。網(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點(diǎn)越多，計(jì)算結(jié)果越精確，但計(jì)算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計(jì)算精度提高就不明顯，對(duì)應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)編碼。

注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。平面問題有限單元法基本概念2023/2/3有限單元法簡(jiǎn)介41有限單元法的常用術(shù)語(yǔ)：真實(shí)系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義2023/2/3有限單元法簡(jiǎn)介42節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn):

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。單元:

一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。載荷載荷2023/2/3有限單元法簡(jiǎn)介432、選擇位移插值函數(shù)

為了能用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析連續(xù)體問題時(shí)，必須對(duì)單元中位移的分布做出一定的假設(shè)，一般假定位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)。選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法中的關(guān)鍵。

{f}—單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列矩陣

[N]—

單元形函數(shù)矩陣

—

單元節(jié)點(diǎn)位移的列矩陣3、計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，即用等效力來(lái)替代所有作用在單元上的力?！?-4三角形單元的位移函數(shù)與剛度矩陣1.節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力(平面應(yīng)力問題)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出單元的位移和節(jié)點(diǎn)力向量mjFxiFyiiuv(x,y)oyx三角形三節(jié)點(diǎn)單元u1v12.位移函數(shù)可以假定一個(gè)位移模式，來(lái)表示單元中的位移函數(shù)（即在單元中做出位移插值函數(shù)）。三角形單元中，可以假定位移分量只是坐標(biāo)的線性函數(shù)，即假定：

首先，我們要確定三角形單元內(nèi)各點(diǎn)的位移變化規(guī)律。即當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移確定時(shí)，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移應(yīng)如何插值？

設(shè)單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移是該點(diǎn)坐標(biāo)（x,y)的線性函數(shù)。對(duì)于采用三角形單元的平面問題來(lái)說，當(dāng)單元取得足夠小時(shí)，取線性位移插值函數(shù)是合理的。（a)式中a1,a2...a6,是待定常數(shù)，它們可以由單元的邊界條件，即節(jié)點(diǎn)的位移值來(lái)確定。為此，只要將節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值代入式（a)，就得到節(jié)點(diǎn)的位移值：

簡(jiǎn)寫為：其中，節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值是已知的，令為三角形單元的面積。并將1、2、…6代入位移模式，經(jīng)整理后得到：

解出若令這樣，位移模式就可以寫為（i,j,m輪換）簡(jiǎn)寫為：其中是單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。是形態(tài)函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣。

上式就是單元位移的插值表達(dá)式，它表明只有知道了節(jié)點(diǎn)位移，就可通過形函數(shù)插值求出單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移。2023/2/3簡(jiǎn)寫為：其中應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣B可寫成分塊形式：

其子矩陣為：

3.單元應(yīng)變和應(yīng)力利用幾何方程和物理方程，求出單元中的應(yīng)變和應(yīng)力，用節(jié)點(diǎn)位移表示：將位移函數(shù)(8-32)代入幾何方程(8-11)，得出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變。

求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變矩陣表達(dá)式式代入物理方程，便可推導(dǎo)出以結(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力。即令則返回其中[S]叫做應(yīng)力矩陣，若寫成分塊形式，有對(duì)于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣[D]為(i)所以，[S]的子矩陣可記為4.

單元?jiǎng)偠染仃?/p>

為了推導(dǎo)單元的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，可應(yīng)用虛功原理對(duì)圖中的單元e進(jìn)行分析。單元e是在等效結(jié)點(diǎn)力的作用下處于平衡的，而這種結(jié)點(diǎn)力可采用列陣表示為：(a)假設(shè)在單元e中發(fā)生有虛位移，則相應(yīng)的三個(gè)結(jié)點(diǎn)i、j、m

的虛位移為{}[][]TmmjjiiTTmTjTieYXYXYXFFFF==單元內(nèi)的虛應(yīng)變{

*}為于是，作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功可寫為(d)(f)而單元內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為(g)根據(jù)虛功原理，彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，外力在虛位移上做的功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功。這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d）式及上式代入上式，并將提到積分號(hào)的前面，則有根據(jù)虛功原理，由（f）和（h）式可得到單元的虛功方程，即注意到虛位移是任意的，所以等式兩邊與相乘的項(xiàng)應(yīng)該相等，即得記則有

上式就是表征單元的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系的剛度方程，[k]e就是單元?jiǎng)偠染仃?。如果單元的材料是均質(zhì)的，那么矩陣[D]中的元素就是常量，并且對(duì)于三角形常應(yīng)變單元，[B]矩陣中的元素也是常量。當(dāng)然單元的厚度也是常量時(shí)，所以上式可以簡(jiǎn)化為[k]e=[B]T[D][B]t

返回

將上式寫成分塊形式，即可得到平面應(yīng)力問題中三角形單元的剛度矩陣其中(r=i、j、m；s=i、j、m)

結(jié)構(gòu)的平衡條件可用所有結(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。假定i結(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)中的任一公共結(jié)點(diǎn)，則該結(jié)點(diǎn)平衡條件為：——i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力列向量——圍繞i結(jié)點(diǎn)所有單元的結(jié)點(diǎn)力的向量和——i結(jié)點(diǎn)的載荷列向量?！?-5整體剛度矩陣

每個(gè)結(jié)點(diǎn)由兩個(gè)平衡方程組成，若結(jié)構(gòu)共有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，則有2n個(gè)平衡方程。整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件上面的公式求和得到，即：i＝1，2，……n

其中，[K]為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣；為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量。

進(jìn)而可得到整體剛度矩陣也可按結(jié)點(diǎn)寫成分塊矩陣的形式：

同桿系結(jié)構(gòu)一樣，整體剛度方程經(jīng)過約束處理后，即可求出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而求出所希望的應(yīng)力場(chǎng)。

作用在彈性體上的載荷不外乎是：

*體力（自重、慣性力）

*面力

*集中力

三種。

用有限元法解題時(shí)，既然全部問題都?xì)w結(jié)到節(jié)點(diǎn)來(lái)處理，那么，當(dāng)單元上作用有外載荷時(shí)，也應(yīng)把它們移置到節(jié)點(diǎn)上來(lái)，成為節(jié)點(diǎn)載荷。

這種移置必須按照靜力等效原則進(jìn)行§8-6外荷載處理

所謂“靜力等效”，系指原載荷與移置后的節(jié)點(diǎn)載荷，在彈性體的任何虛位移過程中的虛功相等。

當(dāng)插值函數(shù)已經(jīng)確定時(shí)，這種移置的結(jié)果是唯一的。

在取線性位移插值時(shí)，符合剛體靜力等效原則，即：

載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任一軸上投影之和相等，對(duì)任一軸的力矩之和也相等，也就是說，原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷將具有相同的主矢和主矩。

通常，我們總將集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，不需要移置。因此，下面只討論：

體力和面力的移置(1)體力的移置以重力為例來(lái)說明這個(gè)問題。設(shè)有勻質(zhì)、等厚度、編號(hào)為e的三角形單元，三個(gè)節(jié)點(diǎn)為i,j,m，重力作用在形心c上，如圖右圖所示。由初等幾何知，

首先，我們求移置到i節(jié)點(diǎn)上的垂直節(jié)點(diǎn)載荷。為了便于計(jì)算虛功，假想該單元在節(jié)點(diǎn)i處沿y方向產(chǎn)生一個(gè)單位虛位移，而其它兩點(diǎn)不動(dòng)；這相當(dāng)于在j點(diǎn)及m點(diǎn)安置了鉸支座，在i點(diǎn)安置了水平連桿支座，如右圖。

由于我們?cè)谌切螁卧胁捎玫奈灰撇逯岛瘮?shù)是線性的，所以任一條直線上各點(diǎn)位移都呈線性變化。

現(xiàn)在m點(diǎn)及j點(diǎn)的位移都等于0，所以在邊上各點(diǎn)位移都等于0；

線上各點(diǎn)的垂直位移也按線性變化，在b點(diǎn)等于0，在i點(diǎn)為1。因此c點(diǎn)的垂直位移將為1/3。

按靜力等效原則，體力載荷W的虛功應(yīng)等于的虛功，即有：

或Yei=-W/3

負(fù)號(hào)表示Yei的方向與圖上所畫的方向相反。

用同樣的方法可以得到

Yej=-W/3,Yem=-W/3

下面來(lái)求移置到節(jié)點(diǎn)i上的水平節(jié)點(diǎn)載荷Xei。與前面一樣，在形心c處有W作用，假設(shè)節(jié)點(diǎn)i只沿x方向產(chǎn)生一個(gè)單位的虛位移，而其它兩點(diǎn)不動(dòng)。由右圖可知，c點(diǎn)的垂直位移等于0，水平位移等于1/3。按靜力等效原則，有：

故:

用同樣的方法可以得到：

Xej=0,Xem=0寫成分量形式:

由此可以得出如下結(jié)論：

對(duì)于勻質(zhì)、等厚度的三角形單元，當(dāng)考慮自重時(shí)，只需把1/3的重量移置到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，就完成了重力載荷的移置，而不必再去列出虛功相等的條件。這也完全符合對(duì)剛體的靜力等效原則。

但必須指出：上述結(jié)果是由于我們采用線性位移插值函數(shù)造成的。如果位移插值函數(shù)是非線性的，例如是坐標(biāo)的二次函數(shù)，那就不滿足1/3的關(guān)系，也就不能按簡(jiǎn)單的剛體靜力等效原則來(lái)處理，而必須用虛功方程來(lái)建立普遍的表達(dá)式。(2)面力的移置1）設(shè)等厚度的三角形單元e的三個(gè)節(jié)點(diǎn)為i,j,m其邊界ij上受有垂直均勻分布的面力載荷。載荷集度（單位長(zhǎng)度上的力）為q，如右圖所示。仍然采用線性位移插值函數(shù)方法。則根據(jù)靜力等效原則，將此均勻分布的面力載荷移置到兩側(cè)節(jié)點(diǎn)i,j上時(shí)，等效節(jié)點(diǎn)載荷為：

式中l(wèi)為的邊長(zhǎng)，

Rei,Rej仍與原載荷平行，

故此時(shí)單元的節(jié)點(diǎn)載荷列陣為：

或:2)若ij邊上受有三角形分布的面力載荷，

在i點(diǎn)上的載荷集度為,j點(diǎn)上為0，則其單元的節(jié)點(diǎn)載荷列陣是：

或

3）若ij邊上受有垂直的梯形分布的面力載荷，在i,j點(diǎn)上載荷集度分別為和，則其等效節(jié)點(diǎn)載荷為：或?qū)懗煞至啃问剑?/p>

式中分別是在x,y方向上的分量，其方向與x,y軸正向一致為正，反之為負(fù)。計(jì)算實(shí)例彈性模量為E，，不計(jì)自重。求各角點(diǎn)的位移及應(yīng)力。

如圖所示一塊薄板，長(zhǎng)度和寬度分別為2米、1米，厚度為t，一端固定，一端受均布拉力q，1、離散結(jié)構(gòu)物

為了計(jì)算簡(jiǎn)單，劃分為2個(gè)單元，單元號(hào)和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示。對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)時(shí)，應(yīng)使同一單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)間差值最小。

2、選擇單元的位移模式因?yàn)椴捎玫氖侨?jié)點(diǎn)的三角形單元，位移模式已確定。

3、計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃噐=i,j,m

s=i,j,m對(duì)于平面應(yīng)力問題，三角形單元的剛度矩陣其中，—三角形單元的面積，=1/2*2*