第八章 應(yīng)力狀態(tài)分析與強(qiáng)度理論

第八章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論主要內(nèi)容：

應(yīng)力狀態(tài)概論

平面應(yīng)力狀態(tài)分析

利用應(yīng)力圓確定主應(yīng)力大小和主平面方位

用應(yīng)力圓確定極值切應(yīng)力及其所在平面的位置

廣義胡克定律

強(qiáng)度理論§8－1應(yīng)力狀態(tài)概念不都是沿著橫截面破壞的，因此需要研究各不同斜截面的應(yīng)力。即危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：就是受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的分布情況。（單元體）單元體尺寸極細(xì)微小，可認(rèn)為單元體各面上的應(yīng)力均勻分布，且兩個(gè)平行面上的應(yīng)力相同。單元體上切應(yīng)力為零的平面稱(chēng)為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。一般，在受力構(gòu)件的任意點(diǎn)皆可找到三個(gè)相互垂直的主平面，因而每一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力。σ1≥σ2≥σ3

單向拉伸或壓縮，三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于零---單向應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于零---二向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)）三個(gè)主應(yīng)力都不等于零---三向應(yīng)力狀態(tài)（空間應(yīng)力狀態(tài)）單向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱(chēng)為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。σ1≥σ2≥σ3

§8－2平面應(yīng)力狀態(tài)分析

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析的解析法任意斜截面上的應(yīng)力

在圖示單元體上取任意斜截面a,其外法線n與x軸正向的夾角為α

。規(guī)定：α角自x軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n為正。截面ef把單元體分成兩部分,現(xiàn)研究aef部分的平衡。斜截面ef上的應(yīng)力以正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα表示。若ef的面積為dA，則af面和ae面的面積分別是dAsinα和dAcosα

。由靜力平衡方程

式中τxy=τyx，代入上式，化簡(jiǎn)后得

平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式

將式對(duì)α求導(dǎo)數(shù)，并令dσ/dα=0，得

主平面和主應(yīng)力

分析構(gòu)件強(qiáng)度時(shí)，考慮的是應(yīng)力的極值及斜截面的位置α=α0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為零。帶入上式：主應(yīng)力即為最大（最?。┱龖?yīng)力若σx≥σy,確定的兩個(gè)角度α0中,絕對(duì)值較小的一個(gè)確定σmax所在的主平面?？傻脙蓚€(gè)α0,相差90度，即確定兩個(gè)相互垂直的平面大小方位

極值切應(yīng)力

令dτx/dα=0，由式這說(shuō)明最大或最小切應(yīng)力所在平面與主平面成45o角。此處所指的極值切應(yīng)力是指平面應(yīng)力狀態(tài)下與零應(yīng)力面垂直的各斜截面中的切應(yīng)力的極值,并不是指三向應(yīng)力狀態(tài)下單元體的最大切應(yīng)力。得切應(yīng)力的極值和他們所在的平面

例1一鑄鐵材料的圓軸,試分析扭轉(zhuǎn)時(shí)邊緣上點(diǎn)A的應(yīng)力情況。

解：圓軸受扭時(shí)，橫截面邊緣處切應(yīng)力最大，其值為：取邊緣上的點(diǎn)A分析主應(yīng)力方向：例8-1§8－6廣義胡克定律

廣義胡克定律

對(duì)應(yīng)于主應(yīng)力σ1、σ2、σ3方向的線應(yīng)變分別為ε1、ε2、ε3，稱(chēng)為主應(yīng)變。各向同性材料，小變形條件下，應(yīng)變滿(mǎn)足疊加原理，主應(yīng)變?chǔ)?可看成各主應(yīng)力單獨(dú)作用時(shí)，在σ1方向上產(chǎn)生的應(yīng)變疊加的結(jié)果。在σ1的單獨(dú)作用下，沿σ1方向的線應(yīng)變?yōu)樵讦?和σ3的單獨(dú)作用下，在σ1方向引起的線應(yīng)變分別為根據(jù)疊加原理，在σ1、σ2、σ3三個(gè)主應(yīng)力的共同作用下，沿σ1方向的主應(yīng)變?yōu)橥?，可求出沿?和σ3方向的主應(yīng)變?chǔ)?和ε3，結(jié)果有廣義胡克定律（主應(yīng)力表示主應(yīng)變）廣義胡克定律（正應(yīng)力表示正應(yīng)變）

對(duì)于各向同性材料，當(dāng)變形很小且應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無(wú)關(guān)；切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無(wú)關(guān)：9個(gè)應(yīng)力分量表示該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)§8－7

強(qiáng)度理論

強(qiáng)度理論的概念由于材料破壞主要有兩種形式,相應(yīng)地存在兩類(lèi)強(qiáng)度理論。一類(lèi)是斷裂破壞理論,主要有最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論等；另一類(lèi)是屈服破壞理論,主要是最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。根據(jù)不同的強(qiáng)度理論可以建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件,從而為解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算提供了依據(jù)。

常用的四種強(qiáng)度理論

最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)

引起材料斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)力。因此，材料發(fā)生破壞的條件為相應(yīng)的強(qiáng)度條件是

σ1—構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力；[σ]—單向拉伸時(shí)材料的許用力。

試驗(yàn)表明，這個(gè)理論對(duì)于脆性材料，在單向、二向或三向拉斷裂時(shí)，最大拉應(yīng)力理論與試驗(yàn)結(jié)果基本一致。在存在有壓應(yīng)力的情況下，則只有當(dāng)最大壓應(yīng)力值不超過(guò)最大拉應(yīng)力值時(shí)，拉應(yīng)力理論才正確。這個(gè)理論沒(méi)有考慮其他兩個(gè)主應(yīng)力對(duì)斷裂破壞的影響。同時(shí)對(duì)于壓縮應(yīng)力狀態(tài)，由于根本不存在拉應(yīng)力，這個(gè)理論無(wú)法應(yīng)用。最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長(zhǎng)應(yīng)變?chǔ)?達(dá)到材料單向拉伸斷裂時(shí)的最大伸長(zhǎng)應(yīng)變值ε01，材料即發(fā)生斷裂破壞。因此，材料發(fā)生斷裂破壞的條件為對(duì)于鑄鐵等脆性材料，從受力到斷裂，其應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系基本符合胡克定律，強(qiáng)度條件為試驗(yàn)表明，脆性材料在二向拉伸——壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，且壓應(yīng)力絕對(duì)值較大時(shí)，試驗(yàn)與理論結(jié)果比較接近；二向壓縮與單向壓縮強(qiáng)度有所不同，但混凝土、花崗石和砂巖在兩種情況下的強(qiáng)度并無(wú)明顯差別；鑄鐵在二向拉伸時(shí)應(yīng)比單向拉伸時(shí)更安全，而試驗(yàn)并不能證明這一點(diǎn)。

最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力τmax

達(dá)到材料單向拉伸屈服時(shí)的最大切應(yīng)力τ0max

，材料即發(fā)生屈服破壞，屈服條件為相應(yīng)的強(qiáng)度條件為

試驗(yàn)表明,對(duì)塑性材料，如常用的Q235A、45鋼、銅、鋁等，此理論與試驗(yàn)結(jié)果比較接近。

形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)

積蓄在單位體積內(nèi)的變形能，包括因體積改變和因形狀改變而產(chǎn)生的比能兩個(gè)部分。相應(yīng)的強(qiáng)度條件為

四種強(qiáng)度理論的適用范圍

大量的工程實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,上述四種強(qiáng)度理論的有效性取決于材料的類(lèi)別以及應(yīng)力狀態(tài)的類(lèi)型。1)在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下,不論是脆性材料還是塑性材料，都會(huì)發(fā)生斷裂破壞，應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論。2)在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下,不論是塑性材料還是脆性材料，都會(huì)發(fā)生屈服破壞，適于采