第十六章 第1講 隨機抽樣與樣本估計總體

抽樣方法及用樣本估計總體考綱要求考綱研讀1.隨機抽樣．(1)理解隨機抽樣的必要性和重要性．(2)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．2．總體估計．(1)了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點．(2)理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差．(3)能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋．(4)會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想．(5)會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.用樣本估計總體是統(tǒng)計學(xué)的重要思想．從總體中如何抽取樣本，以及如何研究樣本數(shù)據(jù)是本節(jié)需要掌握的主要內(nèi)容．根據(jù)總體的特點可采取合適的抽樣方式，然后從列表，畫圖途徑來體現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)特征，而樣本的數(shù)字特征則是其客觀體現(xiàn)，從而進一步去估計總體特征.

1．總體、個體、樣本 把所考察對象的某一個數(shù)值指標的全體構(gòu)成的集合看成總體，構(gòu)成總體的每一個元素為個體，從總體中隨機抽取若干個個體構(gòu)成的集合叫做總體的一個樣本．2．隨機抽樣均等的

抽樣時保證每一個個體都可能被抽到，每一個個體被抽到的機會是________，滿足這樣的條件的抽樣是隨機抽樣．3．簡單隨機抽樣相等抽簽法

設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都_____，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種——_______和_____________．隨機數(shù)表法

4．系統(tǒng)抽樣 (1)當總體元素個數(shù)很大時，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方式叫做系統(tǒng)抽樣．(2)步驟：①編號．采用隨機的方式將總體中的個體編號，編號的方式可酌情處理；分段③確定起始個體編號．在第1段用________________確定起始的個體編號S；簡單隨機抽樣

④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將S加上間隔k，得到第2個個體編號S＋k，再將(S＋k)加上k，得到第3個個體編號S＋2k，這樣繼續(xù)下去，獲得容量為n的樣本．其樣本編號依次是：S，S＋k，S＋2k，…，S＋(n－1)k.5．分層抽樣明顯差異

當總體由_________的幾部分組成時，按某種特征在抽樣時將總體中的各個個體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層中獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫做分層抽樣．隨機抽樣中的有關(guān)概念【例1】某次考試有70000名學(xué)生參加，為了解這70000名考生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取1000名考生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，有以下四種說法：①1000名考生是總體的一個樣本；②可用1000名考生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)去估計總體平均數(shù)；③70000名考生的數(shù)學(xué)成績是總體；④樣本容量是1000.其中正確的說法有()A．1種B．2種C．3種D．4種解析：根據(jù)有關(guān)概念知，說法②③④是正確的．故選C.答案：C點評：(1)掌握常用的抽樣方法，理解他們之間的區(qū)別與聯(lián)系，根據(jù)不同的具體情況確定不同的抽樣方法；(2)簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣，比較容易理解，步驟性強，操作方便．關(guān)鍵是掌握操作步驟：隨機數(shù)表法的操作要點：編號、選起始數(shù)、讀數(shù)、獲取樣本；抽簽法的操作要點：編號、制簽、攪勻、抽?。兪教骄?．(2013·湖南卷)某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名．為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是()A．抽簽法B．隨機數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法D．分層抽樣法解析：因為抽樣的目的與男女性別有關(guān)，所以采用分層抽樣法能夠反映男女人數(shù)的比例．故選D.答案：D系統(tǒng)抽樣【例2】一個總體中有100個個體，隨機編號為0,1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1,2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同．若m＝6，則在第7組中抽取的號碼是____________．思路點撥：此問題總體中個體的個數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣．按題目中要求的規(guī)則抽取即可．解析：∵m＝6，k＝7，m＋k＝13，∴在第7小組中抽取的號碼是63.答案：63點評：系統(tǒng)抽樣，是在總體容量大，且總體差異不明顯的情況下采用；基本步驟為：(1)要先計算，得出組數(shù)，即間距；(2)確定是否需要剔除，并定出樣本分段間隔；(3)采用簡單隨機抽樣在第一組中定出第一個樣本編號；(4)得出樣本編號．變式探究2．(2013·云港上學(xué)期期末)某單位有職工52人，現(xiàn)將所有職工按1、2、3、…、52隨機編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知6號、32號、45號職工在樣本中，則樣本中還有一個職工的編號是________．解析：設(shè)樣本中還有一個職工的編號是x號，則用系統(tǒng)抽樣抽出的四個職工的號碼從小到大排列：6號、x號、32號、45號，它們構(gòu)成等差數(shù)列，所以6＋45＝x＋32，所以x＝6＋45－32＝19，因此，另一學(xué)生編號為19.答案：19分層抽樣【例3】(1)某班有男生36人，女生24人，從全班抽取一個容量為10的樣本，分析某種身體素質(zhì)指標，已知這種身體素質(zhì)指標與性別有關(guān)．問應(yīng)采取什么樣的抽樣方法？并寫出抽樣過程．(2)某校共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表.一年級二年級三年級女生/名373xy男生/名377370z已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為()A．24名B．18名C．16名D．12名解析：(1)因為這種身體素質(zhì)指標與性別有關(guān)，所以男生，女生身體素質(zhì)指標差異明顯，因而采用分層抽樣的方法．具體過程如下：①將60人分為2層，其中男生、女生各為一層．②按照樣本容量的比例隨機抽取各層應(yīng)抽取的樣本，即變式探究3．(1)(2013·無錫上學(xué)期期末)某中學(xué)高中一年級有400人，高中二年級有320人，高中三年級有280人，現(xiàn)從中抽取一個容量為200人的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為________．(2)(2013·廣州二模)某商場銷售甲、乙、丙三種不同型號的鋼筆，甲、乙、丙三種型號鋼筆數(shù)量之比依次為2∶3∶4.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為n的樣本，其中甲型鋼筆有12支，則此樣本容量n＝________.抽樣方法的恰當選擇【例4】某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為②，則完成①②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法變式探究4．要完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某項指標；②從某中學(xué)高一年級的12名體育特長生中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負擔(dān)的情況，應(yīng)采用的抽樣方法是()A．①用簡單隨機抽樣法②用系統(tǒng)抽樣法B．①用分層抽樣法②用簡單隨機抽樣法C．①用系統(tǒng)抽樣法②用分層抽樣法D．①②都用分層抽樣法解析：①中各部分差異明顯，用分層抽樣法；②中總體的個體數(shù)較少，用簡單隨機抽樣法．故選B.答案：B思路點撥：此題為抽樣方法的選取問題．當總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較少時，宜采用隨機抽樣．解析：依據(jù)題意，第①項調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法，第②項調(diào)查應(yīng)采用簡單隨機抽樣法．故選B.答案：B點評：三種抽樣方法的聯(lián)系：簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，是其他兩種方法的基礎(chǔ)，對于多種方法交叉使用的問題，要將問題細化，在不同的層面上，使用合理的抽樣方法．三種抽樣方法的共同點及聯(lián)系：提示：類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成各種抽樣方法中各個體被抽到的概率問題【例5】某批零件共320個，其中一級品96個，二級品128個，三級品64個，等外品32個．從中抽取一個容量為40的樣本．請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被抽到的概率是否相同？思路點撥：要說明每個個體被抽到的概率是否相同，只需計算出用三種抽樣方法抽取個體時，每個個體被抽到的概率是否相同即可．C．都相等，且為D．都相等，且為

從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000)C人再按系統(tǒng)抽樣的方法進行．則每人入選的概率( A．不全相等 B．均不相等 25 1002

140課堂練習(xí)：變式探究5．李老師為了分析一次數(shù)學(xué)考試情況，全年級抽了50人，將分數(shù)分為5組．第一組到第三組的頻數(shù)分別是10,23,11，第四組的頻率是0.08，那么落在第五組89.5～99.5的頻數(shù)是________，頻率是__________，全年級300人中分數(shù)在89.5～99.5中的約有________人．復(fù)習(xí)檢測：一.統(tǒng)計1、統(tǒng)計圖表包括條形圖、折線圖、餅圖、莖葉圖。2、刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)?？坍嬕唤M數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量有極差、方差、標準差。2．用樣本估計總體1．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)．(2)決定組距與組數(shù)．(3)將數(shù)據(jù)分組．(4)列頻率分布表．(5)畫頻率分布直方圖．6.頻率分布直方圖(1)求極差：極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差．(2)決定組距和組數(shù)：當樣本容量不超過100時，常分成5～12組．組距＝______.

(3)將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間．最后一組取閉區(qū)間．也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組． (4)列頻率分布表：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表． 將樣本數(shù)據(jù)分成若干個小組，每個小組內(nèi)的樣本個數(shù)稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的______．頻率反映這組數(shù)據(jù)在樣本所占比例的大?。l率極差組數(shù)(5)繪制頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組距，然后以線段為底作一矩形，它的高等于該組的頻率組距，這樣得到一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組上的頻率．這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖． 7．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的_____，就得到頻率分布折線圖．中點

(2)總體密度曲線：隨著__________的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，_______減小，相應(yīng)的頻率折線圖會接近于一條光滑的曲線，即總體密度曲線．樣本容量組距2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．3．樣本的數(shù)字特征思考探究：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)如何確定？提示：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標．(5)標準差：s＝_______________________________________.

8．莖葉圖 在樣本數(shù)據(jù)較少、較為集中，且位數(shù)不多時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它較好的保留了原始數(shù)據(jù)信息，方便記錄與表示．莖是中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．

練習(xí)：

為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，其中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，共有900名學(xué)生參加了這次競賽．為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計．請你根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖，解答下列問題.分組頻數(shù)頻率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)0.16[70.5,80.5)10[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]合計50(1)填充頻率分布表中的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；(2)補全頻率分布直方圖；（3）估計900名學(xué)生參加競賽成績的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)(4)若成績在[75.5,85.5)分的學(xué)生可以獲得二等獎，問獲得二等獎的學(xué)生約有多少人？解：(1)分組頻數(shù)頻率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)80.16[70.5,80.5)100.20[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]120.24合計501.00(2)頻率分布直方圖如圖所示

因為成績在[80.5,90.5)分的學(xué)生的頻率為0.32，所以成績在[80.5,85.5)分的學(xué)生的頻率為0.16.所以成績在[75.5,85.5)分的學(xué)生的頻率為0.26，由于有900名學(xué)生參加了這次競賽，所以該校獲得二等獎的學(xué)生約有0．26×900＝234(人)．莖葉圖的應(yīng)用【例2】甲、乙兩籃球隊各10名隊員的身高如下(單位：cm)：甲隊182185183176190184186180187186乙隊182183185189179180191189178173用莖葉圖表示兩隊隊員的身高，并判斷哪個隊的身高更整齊一些．解析：用莖葉圖表示兩隊隊員的身高如下圖：由上圖可知甲隊身高較集中，即甲隊身高更整齊一些．思路點撥：學(xué)會用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的方法，并會進行統(tǒng)計推斷．點評：(1)莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點：①所有數(shù)據(jù)信息都可由莖葉圖看到；②莖葉圖便于記錄和表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況；(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進一步估計總體情況．變式探究2．(2013·重慶卷)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8解析：由于甲組中有5個數(shù)，比中位數(shù)小的有兩個數(shù)為9,12，比中位數(shù)大的也有兩個數(shù)24,27，所以10＋x＝15，x＝5.又因 =16.8，所以y＝8，故選C.答案：C【互動探究】

5．(2010年廣東廣州越秀區(qū)高三摸底)甲、乙兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中，成績統(tǒng)計用莖葉圖表示如圖15－1－5，若甲、乙兩)B人的平均成績分別用x甲，x乙表示，則下列結(jié)論正確的是( A.x甲<x乙，且甲比乙成績穩(wěn)定 B.x甲<x乙，且乙比甲成績穩(wěn)定 C.x甲>x乙，且甲比乙成績穩(wěn)定 D.x甲>x乙，且乙比甲成績穩(wěn)定 圖15－1－5

(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大?。?2)平均數(shù)、方差的公式推廣1.2.3．(2013·汕尾二模改編)甲乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間他們參加5次預(yù)賽成績記錄如下：甲：7876749082乙：9070758580(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競