第4章最小二乘法

4.4分段插值法給定

(x∈［-5,5］)。取等距節(jié)點(diǎn)xi=-5+i(i=0,1,…,10),試建立插值多項(xiàng)式L10(x),并作圖形,觀察L10(x)對(duì)f(x)的逼近效果。分段三次埃爾米特插值為了避免Runge現(xiàn)象的發(fā)生,很自然地會(huì)想到把區(qū)間［-5,5］等分為10個(gè)小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由于每個(gè)小區(qū)間只有兩個(gè)端點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）,按照已知的方法,得到的將是一個(gè)分段線性插值函數(shù)。

已知xi,f(xi),f'(xi)(i=0,1,…,n),求分段三次插值函數(shù)H(x)滿足

H(xi)=f(xi),H'(xi)=f'(xi) i=0,1,…,n為了得到插值函數(shù),考慮任意子區(qū)間xi,xi+1］,i∈(0,1,…,n-1),采用Lagrange插值函數(shù)結(jié)構(gòu),在第i個(gè)子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f'(xi)h3(x)+f'(xi+1)h4(x)

這樣，就把H(x)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)插值基函數(shù)hk(x)(k=1,2,3,4)的構(gòu)造問(wèn)題。

4.5三次樣條插值

“樣條”一詞本來(lái)是指在飛機(jī)或輪船設(shè)計(jì)過(guò)程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一種工具，即一個(gè)具有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條。事實(shí)上，在作了某些近似簡(jiǎn)化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，它只是分段的三次多項(xiàng)式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項(xiàng)式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。

定義給定［a,b］的分劃：a=x0<x1<…<xn=b,如果函數(shù)s(x)在區(qū)間［a,b］上滿足以下條件：（1）在每一個(gè)子區(qū)間（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1)上s(x)是三次多項(xiàng)式；（2）s(x)在區(qū)間［a,b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n),s'(x0)=y'0,s′(xn)=y'n。稱s(x)為三次樣條函數(shù)。

曲線擬合法

設(shè)一組觀測(cè)數(shù)據(jù)為xx0x1x2x3…xnyy0y1y2y3…yn

其中xi≠xj(i≠j),我們要根據(jù)這一系列數(shù)據(jù)找出函數(shù)關(guān)系y=f(x)。若用插值函數(shù)φ(x)代替函數(shù)關(guān)系f(x),要求滿足插值原則

φ(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n

由于觀測(cè)點(diǎn)和觀測(cè)數(shù)據(jù)本身就有誤差,就會(huì)使函數(shù)保留這些誤差,而影響逼近函數(shù)的精度。

在實(shí)際問(wèn)題中,往往并不要求近似函數(shù)φ(x)所表示的曲線通過(guò)這些觀測(cè)點(diǎn),而只要求由已知數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之間的依賴關(guān)系,使得近似函數(shù)φ(x)能充分地反映函數(shù)y=f(x)的大致面目,也即與f(x)有最好的擬合(或逼近)。這就是曲線擬合問(wèn)題。例如,已知數(shù)據(jù)x012345y11.62.12.43.23.4我們可以用近似函數(shù)

圖4.4

因?yàn)榍€擬合問(wèn)題并不要求滿足插值原則

φ(xi)=yi,i=0,1,2,…,n

故在節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,…,xn上φ(x)與f(x)有誤差

ri=φ(xi)-yi,i=0,1,2,…,n

稱ri為用φ(x)擬合f(x)的偏差。我們僅對(duì)φ(x)為多項(xiàng)式情形進(jìn)行討論。

當(dāng)由實(shí)驗(yàn)提供了大量數(shù)據(jù)時(shí),不能要求擬合函數(shù)在數(shù)據(jù)點(diǎn)處的偏差,(i=1,2,…,m)嚴(yán)格為零,但為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì),需對(duì)偏差有所要求.通常要求偏差平方和最小,此即稱為最小二乘原理?最小二乘法的求法?最小二乘法的幾種特例例題

例設(shè)有一組數(shù)據(jù)表x1345678910y2781011111098試用二次多項(xiàng)式來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)。解首先算出

的值分別為53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正則方程組9α0+53α1+381α2=7653α0+381α1+3017α2=489381α0+3017α1+25317α2=3547

解得

α0=-1.4597,α1=3.6053,α2=-0.2676

因此所求的二次多項(xiàng)式

P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2

給出的數(shù)據(jù)和二次多項(xiàng)式表示的曲線見(jiàn)圖4.5。

圖4.5

最后必須指出,在實(shí)際問(wèn)題中,近似函數(shù)φ(x)的選取只能憑經(jīng)驗(yàn)得到。例

(1)加速度與時(shí)間的關(guān)系是線性關(guān)系,可選取

φ(x)=α0+α1x(2)炮彈在空中的高度與時(shí)間的關(guān)系近似于拋物線,可選取

φ(x)=α0+α1x+α2x2此外,當(dāng)φ(x)不是多項(xiàng)式時(shí),如(1)冪函數(shù)

φ(x)=axb(2)指數(shù)函數(shù)

φ(x)=aebx(3)對(duì)數(shù)函數(shù)

φ(x)=a+blnx

例求一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)

φ(x)=aebx(a,b為常數(shù))

使它能和下面給出的數(shù)據(jù)相擬合。x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取對(duì)數(shù)得

lnφ(x)=lna+bx

令

A=lna,B=bu=lnφ(x)

則

u=A+Bx

可算得

于是得到正則方程組