第3章隨機(jī)過程

通信原理PrinciplesofCommunications課件整理：王懷興QQ：76944908Email：

76944908@TEL3章隨機(jī)過程通信過程中的信號(hào)與噪聲都有一定的隨機(jī)性，需要用隨機(jī)過程(rondomprocess)來描述。本章主要學(xué)習(xí)隨機(jī)過程的分布及數(shù)字特征，隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)。本章內(nèi)容隨機(jī)過程的分布與數(shù)字特征平穩(wěn)、高斯、窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性高斯白噪聲和帶限白噪聲3.1隨機(jī)過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機(jī)過程1隨機(jī)過程的定義(Definition)例：n臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄噪聲源的輸出噪聲波形，每一臺(tái)輸出記為i(t)。(t)={1(t),2(t),…,n(t)}稱為隨機(jī)過程。1

(t)

2

(t)

3

(t)

4

(t)

5

(t)

6

(t)

隨機(jī)過程是所有樣本函數(shù)i(t)的集合；i(t)是隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù);隨機(jī)過程任意時(shí)刻的值是一個(gè)是隨機(jī)變量；是時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。3.1隨機(jī)過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機(jī)過程2隨機(jī)過程的分布函數(shù)(Distributionfunction)一維分布函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：二維分布函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：n維分布函數(shù)：n維概率密度函數(shù)：3.1隨機(jī)過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機(jī)過程3隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※均值(Average)或者數(shù)學(xué)期望(Mathematicexpectation)

(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。上式中，由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x。a(t)3.1隨機(jī)過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機(jī)過程3隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※方差(Variance)常記為2(t)，此處把任意時(shí)刻t1直接寫成了t。

所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方3.1隨機(jī)過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機(jī)過程3隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※相關(guān)函數(shù)(correlationfunction)

(t1)和

(t2)分別是t1和t2時(shí)刻觀測(cè)到的隨機(jī)變量?？梢姡琑(t1,t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)?！鶇f(xié)方差函數(shù)(covariancefunction)a(t1)和a(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)為

(t)的二維概率密度函數(shù)。3.1隨機(jī)過程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章隨機(jī)過程3隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeralcharacteristic)※相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的關(guān)系※互相關(guān)函數(shù)(t)和(t)為兩個(gè)隨機(jī)過程，R(t1,t2)也稱自相關(guān)函數(shù)。3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義若隨機(jī)過程(t)的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則稱該隨機(jī)過程是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。若(t)平穩(wěn)則有：一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔=t2–t1有關(guān)(1)其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a(2)自相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)滿足(1)和(2)為廣義平穩(wěn)在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程2各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)隨機(jī)過程(t)的數(shù)字特征(均值與相關(guān)函數(shù))是對(duì)(t)所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但實(shí)際很難獲得。各態(tài)歷經(jīng)含義：各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過程任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程所有可能狀態(tài)，其數(shù)字特征完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定。平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)平均等于它任一次實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均，則為隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程2各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)【例3-1】隨機(jī)相位正弦波，A和c為常數(shù)，在(0,2π)均勻分布，(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性？解：(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：※數(shù)學(xué)期望※自相關(guān)函數(shù)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程2各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)【例3-1】隨機(jī)相位正弦波，A和c為常數(shù)，在(0,2π)均勻分布，(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性？可見，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，所以為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。(2)求(t)的時(shí)間平均值因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)(self-correlationfunction)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)—(t)的平均功率—的偶函數(shù)—R()的上界是R(0)—(t)的直流功率2是方差，表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。--當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)=2

3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程3平穩(wěn)過程的功率譜密度(

power

spectral

density)對(duì)任意確定功率信號(hào)f(t)的功率譜密度定義為FT(f)是f(t)的截短函數(shù)fT

(t)的頻譜函數(shù)，如圖：把f(t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本，過程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即：3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程3平穩(wěn)過程的功率譜密度(

power

spectral

density)※功率譜密度的計(jì)算平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，稱為維納-辛欽關(guān)系(Wiener-Khinchine)。(1)過程平均功率(2)各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。(3)功率譜密度P(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)第3章隨機(jī)過程3平穩(wěn)過程的功率譜密度(

power

spectral

density)※功率譜密度的計(jì)算[例3-2]

求隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：[例3-1]已求出(t)為平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有3.3高斯隨機(jī)過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機(jī)過程1定義如果隨機(jī)過程(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：|B|jk

：行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子

bjk：為歸一化協(xié)方差函數(shù)3.3高斯隨機(jī)過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機(jī)過程2重要性質(zhì)(

crucialproperties)高斯過程n維分布只依賴各隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差，只需研究它的數(shù)字特征；廣義平穩(wěn)高斯過程的均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差只與時(shí)間間隔有關(guān)，其n維分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。3.3高斯隨機(jī)過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機(jī)過程3高斯隨機(jī)變量(Gaussianrandomvariable)高斯過程在任一時(shí)刻的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量(高斯隨機(jī)變量)，其一維概率密度函數(shù)為a－均值，2－方差f(x+a)=f(x-a)關(guān)于直線x=a對(duì)稱a:分布中心，:標(biāo)準(zhǔn)偏差，隨減小而變高和變窄。當(dāng)a=0和

=1時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布

3.3高斯隨機(jī)過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機(jī)過程3高斯隨機(jī)變量(Gaussianrandomvariable)正態(tài)分布函數(shù)此積分無法用閉合形式計(jì)算，通常用查表法求式中稱為誤差函數(shù)，可查表求3.3高斯隨機(jī)過程(Gaussianrandomprocess)第3章隨機(jī)過程3高斯隨機(jī)變量(Gaussianrandomvariable)用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機(jī)過程設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為h(t)，輸入為vi(t)，輸出為vo(t)，則設(shè)輸入i(t)是平穩(wěn)的隨機(jī)過程，a為均值，Ri()為自相關(guān)函數(shù)，Pi()為功率譜密度。1輸出o(t)的均值H(0)是線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應(yīng)。3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機(jī)過程2輸出o(t)的自相關(guān)函數(shù)輸出的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔的函數(shù)。若線性系統(tǒng)的輸入平穩(wěn)，則輸出也平穩(wěn)。3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機(jī)過程3輸出o(t)的功率譜密度令

=+-，代入上式，得到※結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章隨機(jī)過程4輸出o(t)的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。設(shè)i(t)是高斯型，上式右端每一項(xiàng)都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，則輸出o(t)在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量是無限個(gè)高斯變量之和，則輸出為高斯過程。與輸入過程相比，輸出的數(shù)字特征已經(jīng)改變。3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f內(nèi)，即滿足f<<fc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。窄帶隨機(jī)過程的譜密度窄帶隨機(jī)過程的樣本函數(shù)可以看作是包絡(luò)線緩慢變化的正弦波3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程的表示式a(t)－隨機(jī)包絡(luò)，

(t)－隨機(jī)相位，c－中心頻率a(t)和

(t)相對(duì)于載波cosct的變化要緩慢得多。(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a(t)和

(t)或c(t)和s(t)確定。若(t)統(tǒng)計(jì)特性已知，則a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性通常設(shè)(t)平穩(wěn)且均值為零，故E[(t)]=0

，所以※(t)的數(shù)學(xué)期望※(t)的自相關(guān)函數(shù)3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有Rξ(t,t+τ)=Rξ(τ)，這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。因此，若令t=0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)橐蚺c時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性即令t=0時(shí)同理再令t=π/2c時(shí)※

E[c(t)]=E[s(t)]=0，Rc(τ)與Rs(τ)只和τ有關(guān)。即若窄帶過程(t)平穩(wěn)，則c(t)和s(t)也必然平穩(wěn)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有與上式相比較有即(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式因?yàn)?t)是高斯過程，則c(t1)，s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t)

、s(t)也是高斯過程。即一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其c(t)、s(t)也是高斯過程，且均值為零，方差相同；同一個(gè)時(shí)刻上得到的c(t)和s(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性※聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,)3.5窄帶隨機(jī)過程(narrowbandrandomprocess)第3章隨機(jī)過程2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性※聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,)式中：a0,=(0~2π)※a的一維概率密度函數(shù)可見，a服從瑞利(Rayleigh)分布?？梢姡木鶆蚍植?。a

與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機(jī)過程1正弦波加窄帶高斯噪聲的表示n(t)－窄帶高斯噪聲；－正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0～2間；A和c－確知振幅和角頻率3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機(jī)過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有※zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)(相位一定)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機(jī)過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性※包絡(luò)的概率密度函數(shù)f(z)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機(jī)過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性可見，f(,z)與無關(guān)稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯(Rice)分布。式中I0(x)－第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。x≥0時(shí)，I0(x)是單調(diào)上升函數(shù)，且I0(0)=03.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機(jī)過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性當(dāng)信號(hào)很小(A0)時(shí)，Az/n2→0，I0(Az/n2)1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。當(dāng)(Az/n2)很大時(shí)，有上式近似為高斯分布包絡(luò)的概率密度函數(shù)曲線f(z)3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機(jī)過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性3.6正弦波加窄帶高斯噪聲(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章隨機(jī)過程2正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性相位的概率密度函數(shù)曲線f()3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章隨機(jī)過程1白噪聲n(t)(whitenoise)噪聲功率譜密度在所有頻率上均為一常數(shù)，即雙邊功率譜密度單邊功率譜密度※白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對(duì)雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)：τ=0時(shí)才相關(guān)3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章隨機(jī)過程由于白噪聲帶寬無限，其平均功率為無窮大，即因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。實(shí)際中，只要噪聲功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，就可視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間，