第3章2綜合指標(biāo)-2平均指標(biāo)和變異指標(biāo)(6)2

（一）算術(shù)平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)（三）幾何平均數(shù)（四）眾數(shù)（五）中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)三、平均指標(biāo)的計算1、眾數(shù)的特點將數(shù)據(jù)排序后,出現(xiàn)次數(shù)最多或有明顯集中趨勢的變量值是眾數(shù)用來說明總體中大多數(shù)單位所達到的一般水平用Mo

表示不受極端數(shù)值的影響可用于數(shù)量型或品質(zhì)型數(shù)據(jù)眾數(shù)可能不存在可能有多個眾數(shù)

比如在服裝行業(yè)中，生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商在做有關(guān)生產(chǎn)或存貨的決策時，更感興趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。

眾數(shù)的應(yīng)用單項式變量數(shù)列的眾數(shù)組距式變量數(shù)列的眾數(shù)眾數(shù)的不唯一性2、眾數(shù)的確定01234567891011121314

Mode=90123456當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200413名學(xué)生出生時間分布直方圖沒有突出地集中在某個年份192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學(xué)生的身高分布直方圖出現(xiàn)了兩個明顯的分布中心日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計800【例】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:計算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。A.單項式變量數(shù)列的眾數(shù)B.組距式變量數(shù)列的眾數(shù)1.確定眾數(shù)所在的組

2.計算公式【例2】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）200以下

200～400400～600600以上37328合計50計算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。組距=200表某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）105～110110～115115～120120～125125～130130～135135～140358141064合計50【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)（三）幾何平均數(shù)（四）眾數(shù)（五）中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)三、平均指標(biāo)的計算

將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值在總體標(biāo)志值差異很大時，具有較強的代表性重要的中心位置度量，用Me表示不易受極端值的影響,中位數(shù)將所有數(shù)據(jù)分為兩半，一半比中位數(shù)小，另一半比中位數(shù)大

1、中位數(shù)的概念Me50%50%0123456789100123456789101214

平均數(shù)=5平均數(shù)=60123456789100123456789101214

中位數(shù)=5中位數(shù)=5未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)單項式變量數(shù)列的中位數(shù)組距式變量數(shù)列的中位數(shù)2、中位數(shù)的確定最小值中位數(shù)=7最大值最小值中位數(shù)=（7+8）/2=7.5最大值A(chǔ).未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)中位數(shù)的位次為：即第3個單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例1】某售貨小組5個人，某天的銷售額為440元、600元、480元、750元、520元，則中位數(shù)=?排序：440元、480元、520元、600元、750元中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即【例2】若上述售貨小組為6個人，某天的銷售額為480元、440元、750元、520元、600元、760元，則中位數(shù)=?排序：440元、480元、520元、600元、750元，760元【例3】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下，要求計算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計800—中位數(shù)的位次：B.單項式變量數(shù)列中位數(shù)的確定）

銷售額（百萬元）商店數(shù)頻率（﹪）累計次數(shù)累計頻率（﹪）向上累計向下累計向上累計向下累計5以下

5～1010～1515～2020～2525以上410161343820322686414304347505046362073828608694100100927240146合計50100————

(1)確定中位數(shù)所在的組

(2)中位數(shù)的近似計算公式為：說明：公式以數(shù)據(jù)在各組中均勻分布為假定條件，違背該假定，則誤差較大。C.組距式變量數(shù)列中位數(shù)的確定【例】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250

合計50—計算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。組距=200表3-5某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）向下累計105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410645047423420104合計50—【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)六、各種平均數(shù)的比較（一）各種平均數(shù)的特點及應(yīng)用場合

算術(shù)平均數(shù)是就全部數(shù)據(jù)計算的，具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，實際中應(yīng)用最為廣泛。其主要缺點是易受極端值的影響，對偏態(tài)分布其代表性較差。

調(diào)和平均數(shù)主要用于不能直接計算的數(shù)據(jù),易受極端值的影響。

幾何平均數(shù)主要用于計算比率數(shù)據(jù)的平均數(shù),易受極端值的影響。

眾數(shù)不受極端值的影響,對偏態(tài)分布其代表性較好，但不是根據(jù)所有的變量值計算的。

中位數(shù)不受極端值大小的影響，對偏態(tài)分布其代表性較好，但不是根據(jù)所有的變量值計算的。（二）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系對稱分布

算術(shù)平均數(shù)=中位數(shù)=

眾數(shù)左偏分布算術(shù)平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

算術(shù)平均數(shù)運用平均數(shù)應(yīng)該注意的問題同質(zhì)總體用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)用分配數(shù)列說明總平均數(shù)例：如果你是一家制造業(yè)公司的供應(yīng)部門經(jīng)理，與兩家原材料供應(yīng)商聯(lián)系供貨，兩家供應(yīng)商均表示能在大約10個工作日內(nèi)供齊所需原材料。幾個月的運轉(zhuǎn)之后，你發(fā)現(xiàn)盡管兩家供貨商供貨的平均時間都是大約10天，但他們供貨所需天數(shù)的分布情況卻是不同的（如下圖）。問:兩家供貨商按時供貨的可信度相同嗎？考慮它們直方圖的差異，你更愿意選擇哪家供貨商供貨呢？

第三章綜合指標(biāo)★第一節(jié)總量指標(biāo)第二節(jié)相對指標(biāo)第三節(jié)平均指標(biāo)第四節(jié)標(biāo)志變動度一、離中趨勢的涵義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計算三、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差及方差

課程學(xué)生語文數(shù)學(xué)英語總成績平均成績甲乙丙65609965659565701195195195656565單位：分某班三名同學(xué)三門課程的成績?nèi)缦拢埍容^三名同學(xué)學(xué)習(xí)成績的差異。集中趨勢弱、離中趨勢強集中趨勢強、離中趨勢弱例：如果你是一家制造業(yè)公司的供應(yīng)部門經(jīng)理，與兩家原材料供應(yīng)商聯(lián)系供貨，兩家供應(yīng)商均表示能在大約10個工作日內(nèi)供齊所需原材料。幾個月的運轉(zhuǎn)之后，你發(fā)現(xiàn)盡管兩家供貨商供貨的平均時間都是大約10天，但他們供貨所需天數(shù)的分布情況卻是不同的（如下圖）。問:兩家供貨商按時供貨的可信度相同嗎？考慮它們直方圖的差異，你更愿意選擇哪家供貨商供貨呢？指總體中各單位標(biāo)志值背離分布中心的規(guī)模或程度，用標(biāo)志變異指標(biāo)來反映。一、離中趨勢的涵義變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動度：綜合反映總體各個單位標(biāo)志值的差異程度或離散程度以平均指標(biāo)為基礎(chǔ)，結(jié)合運用變異指標(biāo)是統(tǒng)計分析的一個重要方法說明平均指標(biāo)的代表性程度測定社會生產(chǎn)經(jīng)濟活動過程的均勻性或協(xié)調(diào)性以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性程度變異指標(biāo)的概念一、離中趨勢的涵義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計算三、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差及方差測定標(biāo)志變異度的絕對量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計算方差（一）全距【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則全距的特點優(yōu)點:計算方法簡單、易懂；缺點:易受極端數(shù)值的影響不能全面反映所有標(biāo)志值差異大小及分布狀況準(zhǔn)確程度差平均差A(yù).D.是各單位標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)反映各標(biāo)志值對其平均數(shù)的平均差異程度簡單式加權(quán)式（二）平均差1、平均差

——簡單式,未分組資料總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第個單位的變量值【例】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個人銷售額的平均差為93.6元。2、平均差

——加權(quán)式,分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值3、平均差的特點優(yōu)點不易受極端數(shù)值的影響能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實際差異程度缺點用絕對值的形式不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計分析運算如果把絕對值符號換成括號會發(fā)生什么?為什么?一般情況下都是通過計算另一種標(biāo)志變異指標(biāo)——標(biāo)準(zhǔn)差，來反映總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值的差異狀況⑴方差——簡單式，未分組資料1.定義：是各個數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)，用來表示。2.計算公式：總體單位總數(shù)第個單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)（三）方差⑵方差——加權(quán)，分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值⑴簡單標(biāo)準(zhǔn)差——未分組資料1.定義：是各個數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；回顧：標(biāo)準(zhǔn)差的平方是方差，用來表示。2.計算公式：總體單位總數(shù)第個單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)（四）標(biāo)準(zhǔn)差⑵加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值【例】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：（比較：其銷售額的平均差為93.6元）即該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元。按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(fi)xf105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5

358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合計—

506160.0—

3100.50【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差計算欄計算欄3.標(biāo)準(zhǔn)差的特點不易受極端數(shù)值的影響能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實際差異程度用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計分析運算4.標(biāo)準(zhǔn)差的簡捷計算避免離差平方和在計算過程中出現(xiàn)目的:X平方的均值X均值的平方5.標(biāo)準(zhǔn)差的比較Mean=15.5

s=3.338

11121314151617181920211112131415161718192021DataBDataAMean=15.5s=0.92581112131415161718192021Mean=15.5s=4.57DataCMean=15.5測定標(biāo)志變異度的絕對量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類方差可比變異系數(shù)指標(biāo)變異系數(shù)是以相對數(shù)形式表示的變異指標(biāo)變異系數(shù)是通過變異指標(biāo)中的全距、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)對比得到的常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，計算方法如下：

（五）變異系數(shù)對比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大?。簶?biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。【例】某年級一、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小解：一班成績的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：二班成績的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：因為，所以一班平均成績的代表性比二班好。1.甲、乙兩單位職工人數(shù)及工資資料如下：甲單位的職工平均工資為1700元，標(biāo)準(zhǔn)差為110元；乙單位資料如下表所