高中數(shù)學人教A版1第三章空間向量與立體幾何 優(yōu)秀作品

第三章(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，與向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的模相等的向量有()A．7個 B．3個C．5個 D．6個解析：|eq\o(D′C′,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(C′D′,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(B′A′,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.答案：A2．已知向量a，b是兩個非零向量，a0，b0是與a，b同方向的單位向量，那么下列各式中正確的是()A．a(chǎn)0＝b0 B．a(chǎn)0＝b0或a0＝－b0C．a(chǎn)0＝1 D．|a0|＝|b0|解析：兩單位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反．答案：D3．下列命題是真命題的是()A．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))解析：A錯．因為空間任兩向量平移之后可共面，所以空間任兩向量均共面．B錯．因為|a|＝|b|僅表示a與b的模相等，與方向無關．C錯．空間任兩向量不研究大小關系，因此也就沒有eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))這種寫法．D對．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，故eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))正確．答案：D4．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向 \o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向解析：由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，知C點在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))是________向量，eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(B1C1,\s\up6(→))是________向量．解析：CA綊C1A1，CB綊C1B1，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(C1A1,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(B1C1,\s\up6(→)).答案：相等相反6．下列命題中正確的是________．①如果a，b是兩個單位向量，則|a|＝|b|；②兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同；③若a，b，c為非零向量，且a∥b，b∥c，則a∥c；④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)．解析：對于①：由單位向量的定義即得|a|＝|b|＝1，故①正確；對于②：共線不一定同向，故②錯；對于③：正確；對于④：正確，在空間任取一點，過此點引兩個與已知非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直線相交于此點，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內(nèi)．答案：①③④三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，在長、寬、高分別為AB＝4，AD＝2，AA1＝1的長方體ABCD－A1B1C1D1中的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中(1)單位向量共有多少個？(2)寫出模為eq\r(5)的所有向量；(3)試寫出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量．解析：(1)由于長方體的高為1，所以長方體4條高所對應的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))共8個向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共8個．(2)由于長方體的左右兩側的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→)).(3)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).8．如圖所示，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，化簡下列向量表達式(1)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→)).解析：(1)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→)).(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC1,\s\up6(→)).9．(10分)如圖，已知空間四邊形ABCD中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，若M為BC中點，G為△BCD的重心，試用a，b，c表示下列向量：(1)eq\o(DM,\s\up6(→))；(2)eq\o(AG,\s\up6(→)).解析：(1)連接AM，在△ADM中，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))，由線段中點的向量表示知，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)．由相反向量的概念知，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－c.所以eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)－c＝eq\f(1,2)(a＋b－2c)．(2)在△ADG中，注意到三角形重心的性質，得eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DG,\s\up6(→))＝c＋eq\f(2,3)eq\o(DM,\s\up6(→))＝