第八章組合變形

第八章組合變形§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——第2章；

FF

F

F

軸向拉壓變形強(qiáng)度條件§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——第2章；

剪切擠壓變形剪切強(qiáng)度條件鉚釘FF§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——第2章；

剪切擠壓變形擠壓強(qiáng)度條件鉚釘FF§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：圓軸的扭轉(zhuǎn)變形——第3章；

扭轉(zhuǎn)變形強(qiáng)度條件MM§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：細(xì)長(zhǎng)梁的彎曲變形——

第4、5、6章；

彎曲變形強(qiáng)度條件§8-1組合變形和疊加原理在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：1)軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——2；2)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形

——3；3)細(xì)長(zhǎng)梁的彎曲變形----4、5、6。

在實(shí)際外載作用下，構(gòu)件的變形并不只是上述幾種單純的基本變形，而往往是由二種或二種以上的基本變形組合而成的組合變形。

在現(xiàn)實(shí)工程中，大多數(shù)構(gòu)件在外載荷作用下,往往是組合變形的情形。如下圖所示：一、組合變形舉例扭轉(zhuǎn)與彎曲MeF

工程實(shí)例1混凝土框架邊梁扭轉(zhuǎn)與彎曲框架邊梁工程實(shí)例2斜拉橋橋塔壓縮與彎曲qF1F2工程實(shí)例3廠房牛腿壓縮與彎曲qF1F21.拉伸或壓縮與彎曲的組合本章重點(diǎn):工程中常見的組合變形2.偏心壓縮（壓縮與彎曲的組合）本章重點(diǎn):工程中常見的組合變形xyzFFMzMy3.扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合本章重點(diǎn):工程中常見的組合變形MeF橫向力§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合P桿件受橫向力和軸向力的共同作用時(shí)FN軸向拉力一、表現(xiàn)形式（a）拉伸或壓縮與彎曲組合平面內(nèi)力偶§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合桿件受力偶和軸向力的共同作用時(shí)FN軸向壓力一、表現(xiàn)形式M（b）拉伸或壓縮與彎曲組合xyzFφFN=FcosφFS=Fsinφ軸向力橫向力§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合一、表現(xiàn)形式（c）拉伸或壓縮與彎曲組合桿件在xy平面內(nèi)作用斜向集中力時(shí)§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合二、拉伸或壓縮與彎曲組合的特點(diǎn)

作用在桿件上的外力既有軸向力,還有橫向力或軸線平面內(nèi)力偶。受力特點(diǎn)變形特點(diǎn)

桿件既發(fā)生軸向拉伸或壓縮變形，也發(fā)生彎曲變形。三、解決組合變形問題的基本方法

構(gòu)件在小變形和服從胡克定理的條件下，力的獨(dú)立性原理是成立的。即所有載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等是各個(gè)單獨(dú)載荷作用下的值的疊加?；痉椒ǎB加法

三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的成立要求:小變形使用疊加原理的前提：即:內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等與外力之間成線性關(guān)系。三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的理解：

若要求桿件在的作用下，求某截面B點(diǎn)處的應(yīng)力、應(yīng)變，按照疊加法如何理解？三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的理解：各個(gè)單獨(dú)載荷作用下的值的疊加：三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的理解：

疊加法的本質(zhì)就是將組合變形分解為幾種基本變形：軸向拉壓變形、扭轉(zhuǎn)變形、彎曲變形等等；

分別考慮各個(gè)基本變形時(shí)構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等；最后進(jìn)行疊加。如何運(yùn)用疊加原理

計(jì)算拉伸或壓縮與彎曲組合危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度？=四、拉伸或壓縮與彎曲組合計(jì)算舉例思路：求起重機(jī)圓柱任意橫截面的危險(xiǎn)應(yīng)力。內(nèi)力分析應(yīng)力分析應(yīng)力疊加外力分解外力分析+==1.外力分析求起重機(jī)圓柱任意橫截面的危險(xiǎn)應(yīng)力。四、拉伸或壓縮與彎曲組合計(jì)算舉例+==+=2.外力分解求起重機(jī)圓柱任意橫截面的危險(xiǎn)應(yīng)力。四、拉伸或壓縮與彎曲組合計(jì)算舉例=3.內(nèi)力分析（軸力單獨(dú)作用時(shí)）求起重機(jī)圓柱任意橫截面的危險(xiǎn)應(yīng)力。FN=F四、拉伸或壓縮與彎曲組合計(jì)算舉例=3.內(nèi)力分析（力偶單獨(dú)作用時(shí)）求起重機(jī)圓柱任意橫截面的危險(xiǎn)應(yīng)力。=FlM四、拉伸或壓縮與彎曲組合計(jì)算舉例求起重機(jī)圓柱任意橫截面的危險(xiǎn)應(yīng)力。四、拉伸或壓縮與彎曲組合計(jì)算舉例4.應(yīng)力分析（軸力單獨(dú)作用時(shí)）FN=F求起重機(jī)圓柱任意橫截面的危險(xiǎn)應(yīng)力。=FlM四、拉伸或壓縮與彎曲組合計(jì)算舉例5.應(yīng)力分析（力偶單獨(dú)作用時(shí)）+=+=6.應(yīng)力疊加組合外力分析：將外力向桿件形心簡(jiǎn)化；五、應(yīng)用疊加法的步驟總結(jié)§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合外力分解：使每個(gè)外力對(duì)應(yīng)一種基本變形；內(nèi)力分析：求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力；應(yīng)力分析：求每個(gè)內(nèi)力分量對(duì)應(yīng)的應(yīng)力；應(yīng)力疊加：將所有分量應(yīng)力進(jìn)行疊加；強(qiáng)度校核：將危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。下面我們以一個(gè)具體的案例進(jìn)行說明§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合關(guān)于拉（壓）彎組合有沒有更具體的案例？例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[c]=160MPa.試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。150y50150z0z1z50350FFO例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[c]=160MPa.試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。350FF解題思路：外力分析外力分解1外力分解2內(nèi)力分析內(nèi)力分析應(yīng)力分析應(yīng)力分析應(yīng)力疊加后強(qiáng)度條件確定F例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[c]=160MPa.試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。150y50150z0z1z50350FFO解：1.立柱橫截面外力分析FM向立柱形心簡(jiǎn)化例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[c]=160MPa.試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。350FF解：2.立柱橫截面外力分解FM350FF350FM+=例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[c]=160MPa.試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。150y50150z0z1z50O350FF3.立柱橫截面內(nèi)力分析（軸力單獨(dú)作用時(shí)）nnFNnnF例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[c]=160MPa.試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。150y50150z0z1z50O350F4.立柱橫截面內(nèi)力分析（力偶單獨(dú)作用時(shí)）nnMnnMMy

5.立柱橫截面應(yīng)力分析yz0z1zσt軸向拉力FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力FNnnOF

5.立柱橫截面應(yīng)力分析yz0z1z彎矩My對(duì)應(yīng)的應(yīng)力MynnOM

6.立柱橫截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力nnMyFNyz0z1zMyFN+=OFM

nnMyFNyz0z1zMyFN+=OFM7.求許可壓力F例8.2最大吊重為W=8kN的起重機(jī)

如圖所示，若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼,

[σ]=100MPa，試選擇工字鋼型號(hào)。解：

1)畫出AB梁

的受力簡(jiǎn)圖：2)

由ΣMA=0：

2.5Fy-4W=0Fy=4W/2.5=12.8kN

Fx=(2.5/0.8)·Fy=40kNABCWFXAYAFxFyABCD80025001500W4)從內(nèi)力圖上知危險(xiǎn)截面位于C處左側(cè)，

有:Mmax=-12kN·m

FN=Fx=-40kNM3)畫AB梁的內(nèi)力圖

(M圖和FN圖)：ABCWFXAYAFxFy=12.8kN=40kNN

40kN2.5m1.5m1.5W=12kNm5)先初算預(yù)選工字鋼型號(hào)：例8.2

最大吊重為W=8kN的起重機(jī)

如圖所示，若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼,

[σ]=100MPa，試選擇工字鋼型號(hào)。從內(nèi)力圖上知危險(xiǎn)截面位于C處左側(cè)，有:Mmax=-12kN·m

FN=Fx=-40kNzMmaxσmax拉σmax壓=Mmax/Wz=Mmax/WzC截面左邊下緣各點(diǎn)有σmax=σM+σN=Mmax/Wz+FN/A

在初算時(shí)可以首先

只考慮彎曲正應(yīng)力σM

來初選工字鋼型號(hào)，而先不考慮軸壓力的影響:即令

Mmax/Wz

≤[σ]=100MPaWz≥12×103/(100×106)=12×10-5m3=120cm3MN

40kN1.5W=12kNm例8.2

W=8kN，

[σ]=100MPa，

試選擇工字鋼型號(hào)。5)先初算預(yù)選工字鋼型號(hào)：MN

40kN1.5W=12kNm例8.2

W=8kN，

[σ]=100MPa，

試選擇工字鋼型號(hào)。5)先初算預(yù)選工字鋼型號(hào)：Wz

≥120cm3

可查P352附表4得:Wz=141cm3接近120cm3初選16號(hào)工字鋼:A=26.1cm2再校核總的最大正應(yīng)力:σmax=σM+σN=Mmax/Wz+FN/A=12×103/(141×10-6)+40×103/(26.1×10-4)=100.43×106

Pa=100.43MPa拉伸或壓縮與彎曲的組合強(qiáng)度計(jì)算公式：同方向的應(yīng)力代數(shù)值的疊加例題小結(jié)習(xí)題8.3CAB習(xí)題8.3

求AC梁的最大正應(yīng)力30oWxFAAC梁的軸向壓力：CAB習(xí)題8.3

求AC梁的最大正應(yīng)力30oWxFAAC梁的軸向壓力：彎矩方程：壓彎組合:Mmax

為正彎矩

FN

為壓力zMmaxσmax壓σmax拉=Mmax/Wz=Mmax/Wz=FN/AσN壓CAB習(xí)題8.3

求AC梁的最大正應(yīng)力30oWxFAAC梁的軸向壓力：壓彎組合：習(xí)題8.3

求AC梁的最大正應(yīng)力查表得：求正應(yīng)力極值：正應(yīng)力最大：故滿足強(qiáng)度要求

求AC梁的最大正應(yīng)力習(xí)題8.31.定義：外力作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí)，將引起軸向壓縮和平面彎曲兩種基本變形。一、偏心壓縮*§8-3偏心壓縮和截面核心zyxFozyxFo偏心壓縮舉例B點(diǎn)的應(yīng)力：Bzyx軸向壓力產(chǎn)生的應(yīng)力+Mz產(chǎn)生的應(yīng)力+My產(chǎn)生的應(yīng)力：F1.軸向壓力產(chǎn)生的應(yīng)力B軸向壓力產(chǎn)生的應(yīng)力+Mz產(chǎn)生的應(yīng)力+My產(chǎn)生的應(yīng)力：B點(diǎn)的應(yīng)力：BzyxF2.Mz產(chǎn)生的應(yīng)力BzB點(diǎn)的應(yīng)力：Bzyx軸向壓力產(chǎn)生的應(yīng)力+My產(chǎn)生的應(yīng)力+Mz產(chǎn)生的應(yīng)力：F3.My產(chǎn)生的應(yīng)力ByB點(diǎn)的應(yīng)力：BzyBzy

橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力最大，故應(yīng)先確定中性軸的位置，設(shè)中性軸上各點(diǎn)的坐標(biāo)為y0，z0，于是有：Bzy

橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力最大，故應(yīng)先確定中性軸的位置，設(shè)中性軸上各點(diǎn)的坐標(biāo)為y0，z0，于是有：設(shè)中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：Bzy設(shè)中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：

上式表明ay

與yF、az

與zF符號(hào)相反，所以中性軸與偏心壓力F的作用點(diǎn)分別位于坐標(biāo)原點(diǎn)（截面形心）的兩則。中性軸壓拉Bzy設(shè)中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸壓拉討論：1、中性軸與F力作用點(diǎn)總是位于截面形心o

的兩側(cè)；2、中性軸將截面分成受壓和受拉兩部分；Bzy設(shè)中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸壓拉討論：3、作中性軸的平行線與截面相切D1，D2即為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的點(diǎn)。D1D24、當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時(shí),整個(gè)圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力。Bzy中性軸壓拉D1D2By中性軸zBy中性軸zBzy設(shè)中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸截面核心：當(dāng)外力作用點(diǎn)位于包括截面形心的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，就可以保證中性軸不穿過橫截面（整個(gè)截面上只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力），此區(qū)域稱為截面核心。Bzy設(shè)中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸截面核心的確定：當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。具體步驟如下：2)求得偏心力的作用點(diǎn)

yF，zF，這些點(diǎn)的連線就是截面核心的周界線。截面核心的確定：1)作若干條與截面邊界相切的中性軸，分別求出其截距ay

、az

，然后代入下式O1①

zy1)以任意一根與截面相切的直線①為中性軸則其對(duì)應(yīng)的偏心力作用點(diǎn)1的坐標(biāo)為其截矩為O1①

zy2)同樣的方法將與截面相切的直線②,③,…看成中性軸，求出對(duì)應(yīng)的偏心力作用點(diǎn)2，3，…的坐標(biāo)。3)連接1，2，3，…點(diǎn)所得到的封閉曲線即為截面核心的邊界，該邊界包圍的面積即為截面核心。O12345①②y③④⑤z得力F作用點(diǎn)a的坐標(biāo)：例8.3求圖示矩形截面的截面核心。設(shè)中性軸①AB邊重合，則有yzADCBhb①a例8.3求圖示矩形截面的截面核心。yzADCBhb①a同理當(dāng)中性軸②與BC邊重合，則有力F作用點(diǎn)b的坐標(biāo)為：②b例8.3求圖示矩形截面的截面核心。yzADCBhb①a②b同理當(dāng)中性軸與AD邊重合，則有力F作用點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)中性軸與CD邊重合，則有力F作用點(diǎn)的坐標(biāo)為：截面核心形狀分析：yzADCBhb①a②b注意中性軸①、②都過B點(diǎn)。設(shè)中性軸③也過B點(diǎn)。③力F的作用點(diǎn)與中性軸的關(guān)系：如果要求中性軸始終通過一個(gè)固定點(diǎn)，則外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是直線。故截面核心形狀為菱形例8.4求直徑為d

的圓形截面的截面核心。解：建立坐標(biāo)如圖所示。作一條與圓截面相切于A點(diǎn)的直線①，將直線①看成中性軸，則：zy①Aod于是1點(diǎn)的坐標(biāo)為

由于圓關(guān)于圓心極對(duì)稱，于是截面核心，也應(yīng)為關(guān)于圓心極對(duì)稱的截面，所以截面核心是以O(shè)為圓心，d/8為半徑的圓截面。①Aozyd例8.4求直徑為d

的圓形截面的截面核心。1yzP思考題：求圖示桿在力P作用下的最大拉應(yīng)力，并指明所在位置。設(shè)橫截面的高為h，寬為b。解：最大拉應(yīng)力發(fā)生在后背面上各點(diǎn)處FlaS將力F

向圓桿右端截面的形心簡(jiǎn)化得橫向力F

（引起平面彎曲）力偶矩M=Fa

（引起扭轉(zhuǎn)）圓桿為彎曲與扭轉(zhuǎn)局面組合變形FM=Fa§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合laSFM=Fa§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合研究對(duì)象圓截面桿受力特點(diǎn)桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用變形特點(diǎn)發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形畫內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面laSFM=FaSFM=Fa扭矩圖彎矩圖固定端S截面為危險(xiǎn)截面SF扭矩圖彎矩圖固定端S截面為危險(xiǎn)截面二、應(yīng)力分析1243M=FaT3124M1243固定端S截面為危險(xiǎn)截面確定危險(xiǎn)點(diǎn)：T3124M1243危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為1

和3

點(diǎn)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處。危險(xiǎn)截面S上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在1

、3

處二、應(yīng)力分析T3124M1243危險(xiǎn)點(diǎn)1、3應(yīng)力狀態(tài)分析1S1243M=FaFT3124M1243危險(xiǎn)點(diǎn)1、3應(yīng)力狀態(tài)分析3S1243M=FaF三、強(qiáng)度分析11.主應(yīng)力計(jì)算1從上往下看三、強(qiáng)度分析1.主應(yīng)力計(jì)算12.相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算1第三強(qiáng)度理論：若為塑性材料2.相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算1第四強(qiáng)度理論：該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力,

是危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力。且橫截面不限于圓形截面。討論

該公式適用于彎扭組合變形；拉（壓）與扭轉(zhuǎn)的組合變形；以及拉（壓）扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。1.12.對(duì)于圓形截面桿1第三強(qiáng)度理論：對(duì)圓形截面：彎扭組合變形時(shí),相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫為2.對(duì)于圓形截面桿1第四強(qiáng)度理論：對(duì)圓形截面：彎扭組合變形時(shí),相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫為以上兩式只適用于彎扭組合變形下的圓截面桿。第三強(qiáng)度理論：第四強(qiáng)度理論：塑性材料的圓截面軸彎扭組合變形

式中W

為抗彎截面系數(shù)，M、T

為軸危險(xiǎn)面的彎矩和扭矩按第四強(qiáng)度理論有：扭彎組合問題的解題步驟：1)外力分析：所有外力向截面形心簡(jiǎn)化并分解。2)內(nèi)力分析：畫每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力圖，確定其危險(xiǎn)截面。3)應(yīng)力分析：按強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件:按第三強(qiáng)度理論得：(8.5)(8.7)例題傳動(dòng)軸如圖所示.在A處作用一個(gè)外力偶矩Me=1kN·m,皮帶輪直徑D=300mm,皮帶輪緊邊拉力為F1,松邊拉力為F2.且F1=2F2,l=200mm,軸的許用應(yīng)力[]=160MPa.試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑。zF1F2xyABl/2l/2解:將力向軸的形心簡(jiǎn)化

軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。CF=3F2MeMeMeC+T=1kN·m中間截面為危險(xiǎn)截面+1kN·mF=3F2Me=1kN·m,l=200mm,[]=160MPa.扭矩圖彎矩圖MeMeC習(xí)題8.120.2P習(xí)題8.12 手搖鉸車如圖所示，軸的直徑d=30mm，材料為Q235鋼,[σ]=80MPa,卷簡(jiǎn)直徑D=360mm,試按第三強(qiáng)度理論求鉸車最大起吊重量P。解：1)畫出AB軸簡(jiǎn)化力學(xué)模型:2)畫AB軸的內(nèi)力圖,

M圖和T圖：ABT=P·D/2P

畫受力圖：MeMT0.18P習(xí)題8.12[σ]=80MPa,d=30mmABT=0.18PPMeMTMmax=0.2PT=0.18P3)為扭彎組合變形,

按第三強(qiáng)度理論有:(8.5)=10.15P×104≤80×106∴P≤788NENDyzMy此時(shí)危險(xiǎn)點(diǎn)是最上和最下的點(diǎn)MzM（合彎矩）D2D1D1點(diǎn)有最大的拉應(yīng)力D2點(diǎn)有最大的壓應(yīng)力α2α1例8.5圖的說明FF’Me是通過拉力F和F’傳遞的例8.5某傳動(dòng)軸AB的直徑為35mm，材料為45鋼，許用應(yīng)力[σ]=85Mpa。軸是由P=2.2kW的電動(dòng)機(jī)通過皮帶輪C帶動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n=966r/min。皮帶輪C的直徑為D=132mm，皮帶拉力約為F+F’=600N。齒輪E的節(jié)圓直徑為d1=50mm，F(xiàn)n為作用與齒輪上的法向力。試校核軸的強(qiáng)度。CEBA