第3 章 力系的平衡1

第三章力系的平衡靜力學(xué)力系的平衡主要內(nèi)容重要內(nèi)容物體受力分析力系的簡(jiǎn)化力系的平衡平面力系空間力系重要內(nèi)容平面力系重要內(nèi)容物系平衡單個(gè)物體平衡物系平衡事實(shí)上，力系的簡(jiǎn)化結(jié)果力系平衡的充要條件：平衡方程下面首先討論平面力系的平衡，再討論空間力系的平衡。1§3-1平面力系的平衡條件與平衡方程平衡條件投影方程矩方程O為簡(jiǎn)化中心x、y為投影軸O為簡(jiǎn)化中心x、y為投影軸O為矩心(不再提簡(jiǎn)化中心)基本形式問題：①一般可求解幾個(gè)代數(shù)未知量？②可求解的獨(dú)立代數(shù)未知量為何種量？由何種方程求？xyO③二投影軸是否一定垂直？是否一定水平和鉛直？④矩心是否一定選在原點(diǎn)O？是否一定選在物體內(nèi)部？2⑤可否寫成下述形式？(AB

x)二矩式無效形式只有兩個(gè)獨(dú)立ABxyAByx3⑤可否寫成下述形式？(AB

x)二矩式(A、B、C不共線)三矩式無效形式只有兩個(gè)獨(dú)立討論：根據(jù)力系簡(jiǎn)化結(jié)果力系平衡條件力系平衡方程給出幾種平面特殊力系的平衡方程：①平面匯交力系：或其他形式（一矩或二矩式）②平面力偶系：③平面平行力系：或其他形式（二矩式）4以上為解析法。對(duì)平面匯交力系，有時(shí)用幾何法更方便：解題步驟：(一)選研究對(duì)象，取分離體；(二)畫受力圖；(三)列解平衡方程。解題步驟：(一)(二)同解析法；(三)按比例畫自行封閉力多邊形，求未知量。平衡條件：力多邊形自行封閉，如圖。注：幾何法在摩擦問題中用得較多——當(dāng)受三不平行力時(shí)，有三力平衡匯交5例1（老書P50例4-1）壓路機(jī)碾子，重G=20kN，半徑r=40cm，剛好越過石坎，石坎高h(yuǎn)=8cm。①若拉力P水平，求P；②使P最小的α，此時(shí)Pmin多大？分析：題目?jī)蓡枌賰煞N情形，分別分析。①P力水平時(shí)，碾子受P、G和石坎反力N，地面處反力為0，為平面匯交力系，有2個(gè)（代數(shù)）未知量P、N，可求；②P不再水平，此時(shí)未知量有3個(gè)：P（即Pmin）、N、α，由平衡方程只能求2個(gè)，第3個(gè)如何求？——“使P最小”是1個(gè)補(bǔ)充條件（方程）解：①碾子為研究對(duì)象，取分離體；畫受力圖如圖（b）；列解方程：(1)考慮不求N，取投影軸y與N垂直平面匯交力系，解析法與幾何法6由幾何關(guān)系易知：代入（1）式，得：P=15kN②受力圖如圖（c），列解方程：使P最小，則7另解：（幾何法）①再畫自行封閉的力三角形，如圖（d），則②欲使P最小，應(yīng)有圖（e）示所示的力三角形，即Pmin⊥N，則可見，此時(shí)幾何法更簡(jiǎn)單。點(diǎn)到直線的距離最短8例2（新書P55例3-1）外伸梁ABC，受載荷：q=10kN/m，P=20kN，m=10kN·m，求支座A、B的反力。分析：外伸梁ABC有3個(gè)未知力：A處2個(gè)，B處1個(gè)，受平面任意力系，靜力可求。(1)(3)(2)又由方程(1):由方程(2):由方程(3):單個(gè)梁受各種載荷，平面任意力系解：取分離體，畫受力圖如圖（b）所示。9本題約束變?yōu)槿鐖D（c）形式，如何方便求出A、B、D處反力？討論分析：仍列上述3個(gè)方程，求解沒問題，但每個(gè)方程包含2個(gè)以上未知量，求解較繁，故可選列矩方程：或10例3（老書P53例4-4）大型物體的重心通常由稱重法確定。如對(duì)汽車，用磅秤分別稱得N1、N3、N5，已知車重W、軸距L、輪距S、后橋抬高高度H，可計(jì)算出重心C的位置（l、s、h）。求重心實(shí)驗(yàn)法分析：汽車受平面平行力系，易列解方程。下面只給出方程：由圖（a）：由圖（b）：由圖（c）：11例4（老書P53例4-5）行動(dòng)式起重機(jī)的穩(wěn)定性極其重要，要求具有很好的穩(wěn)定裕度，滿載時(shí)不向右翻倒，空載時(shí)不向左翻倒。已知自重G=500kN，最大載荷Pmax

=210kN，各種尺寸為：軌距b=3m，e=1.5m，l=10m，a=6m，試設(shè)計(jì)平衡重Q，使起重機(jī)能正常工作，且軌道反力不小于50kN。12分析：有兩個(gè)問題需要注意：①這類問題需考慮兩種情形：滿載時(shí)不向右翻倒和空載時(shí)不向左翻倒；②每種情形又分兩種平衡狀態(tài)：臨界平衡和一般平衡。若取臨界平衡狀態(tài)，滿載不向右翻時(shí)NA＝50kN，空載不向左翻時(shí)NB＝50kN（等式條件，解等式方程）；若取一般平衡狀態(tài)，滿載不向右翻時(shí)NA≥50kN，空載不向左翻時(shí)NB≥50kN（不等式條件，解不等式方程）。所求Q何時(shí)為最大、何時(shí)為最小？13

NA≥50kN解：取起重機(jī)，考慮一般平衡狀態(tài)，畫受力圖如圖（b）所示。(1)滿載時(shí)不右翻，P=Pmax

=210kN(2)空載時(shí)不左翻，P=0

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