第十四章應(yīng)變分析

第十四章

應(yīng)變分析主要內(nèi)容第一節(jié)位移與應(yīng)變第二節(jié)質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量第三節(jié)小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程第四節(jié)有限變形第五節(jié)塑性變形體積不變條件第六節(jié)速度分量、位移增量、應(yīng)變速率張量第七節(jié)對(duì)數(shù)應(yīng)變第八節(jié)平面問題和軸對(duì)稱問題小變形：物體在外力作用下產(chǎn)生變形，與本身幾何尺寸相比是非常小的量（～），這種變形稱作小變形。

在小變形分析中，變形量的二次微量可以忽略。

塑性加工中產(chǎn)生的塑性變形是大變形，分析大變形需要采用增量理論和有限變形，但小變形分析比較簡(jiǎn)單直觀，而且大變形分析可以直接借用小變形分析的結(jié)果，

因此本章只討論小變形分析第一節(jié)位移與應(yīng)變圖14-1受力物體內(nèi)一點(diǎn)的位移及分量一、點(diǎn)的位移根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有一階偏導(dǎo)數(shù)，即（14-1）（14-2）

或例如，M與相鄰質(zhì)點(diǎn)M’(x+dx,y+dy,z+dz)在變形中產(chǎn)生位移矢量，即，和M相比，產(chǎn)生了位移增量，或M與M’之間相對(duì)位置變化量。如果，兩質(zhì)點(diǎn)間沒有相對(duì)位移，MM’沒有產(chǎn)生變形，僅僅產(chǎn)生了剛體移動(dòng)。圖14-2單元體在xy坐標(biāo)平面內(nèi)的變形二、應(yīng)變

1、線應(yīng)變

質(zhì)點(diǎn)間產(chǎn)生的相對(duì)位移

設(shè)單元體平面PABC僅僅在xy坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生了很小的拉變形，對(duì)于平行于坐標(biāo)軸的線元分別有:

2、切應(yīng)變

設(shè)：該單元體在xy平面內(nèi)發(fā)生了角度的變化(切變形)，圖14-2b，線元PC和PA所夾的直角縮小了，相當(dāng)于C點(diǎn)在垂直于PC方向偏移了

，表明變形后兩棱邊PC和PA的夾角減小了

，稱為工程切應(yīng)變。圖14-2b所示的

可以看成是由線元PA和PC同時(shí)向內(nèi)偏移相同的角度

和

而成，如圖14-2c所示，且（14-4）

把

和

定義為切應(yīng)變。

表示x方向的線元向y方向偏轉(zhuǎn)的角度。

圖14-3單元體的變形第二節(jié)質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量一、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

（1）在x,y,z方向上線元的長(zhǎng)度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為（2）單元體分別在x面,y面和z面發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，產(chǎn)生應(yīng)變?yōu)槎?、?yīng)變張量

與一點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的微分面上9個(gè)應(yīng)力分量決定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一樣，質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)互相垂直方向上的9個(gè)應(yīng)變分量確定了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。已知這九個(gè)應(yīng)變分量，可以求出給定任意方向上的應(yīng)變，這表明對(duì)應(yīng)不同坐標(biāo)系應(yīng)變分量之間有確定的變換關(guān)系。

應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱張量，可用表示為:或（1）存在三個(gè)互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無切應(yīng)變。用、、表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為（14-8）主應(yīng)變可由應(yīng)變狀態(tài)特征方程求得。（14-9）三、應(yīng)變張量的性質(zhì)

對(duì)于塑性變形，由體積不變條件（14-10）

（2）存在三個(gè)應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3，且

（3）在與主應(yīng)變方向成45°方向上存在主切應(yīng)變，其大小為（14-11）

若≥≥，則最大切應(yīng)變?yōu)椋?）應(yīng)變張量可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量式中，（14-12）為應(yīng)變偏張量，表示變形單元體形狀變化為應(yīng)變球張量，表示變形單元體體積變化。為平均應(yīng)變（5）存在應(yīng)變張量的等效應(yīng)變

=（14-13）等效應(yīng)變的特點(diǎn):是一個(gè)不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變?chǔ)拧５刃?yīng)變又稱廣義應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到它。

（6）與應(yīng)力莫爾圓一樣，可以用應(yīng)變莫爾圓表示一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。設(shè)已知主應(yīng)變、、和的值、且>>，其摩爾圓為ε1

圖14-4應(yīng)變莫爾圓第三節(jié)小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程一、小應(yīng)變幾何方程

圖14-5位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系

設(shè)單元體棱邊長(zhǎng)度為dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影為abdc，變形后的投影移至a1b1d1c1,a點(diǎn)變形后移到a1點(diǎn)后，所產(chǎn)生的位移分量為u、v，則b點(diǎn)和c點(diǎn)的位移增量為以及棱邊ab（dy）在y方向的線應(yīng)變

由圖中的幾何關(guān)系，可得根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，可以求出棱邊ac（dx）在x方向的線應(yīng)變?chǔ)舩為因?yàn)椋淼脛t工程切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)椋?4-14）（14-15）其值遠(yuǎn)小于1，所以有用角標(biāo)符號(hào)可簡(jiǎn)記為（14-16）（14-17）同理

式（14-16）六個(gè)方程表示小變形時(shí)位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，是由變形幾何關(guān)系得到的，稱為小應(yīng)變幾何方程，又稱柯西幾何方程。如果物體中的位移場(chǎng)已知，則可由上述小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場(chǎng)。兩式相加，得即（14-18）二、應(yīng)變連續(xù)方程

由小應(yīng)變幾何方程可知，三個(gè)位移分量一經(jīng)確定，六個(gè)應(yīng)變分量也就確定，顯然，它們不應(yīng)是任意的。只有這六個(gè)應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系，才能保證變形體的連續(xù)性。應(yīng)變分量之間的關(guān)系稱為應(yīng)變連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。將式（14-16）中的、分別對(duì)y、x求導(dǎo)數(shù)，得同理可得另外兩式，連同上式綜合在一起可得（14-19）式（14-19）表明，在坐標(biāo)平面內(nèi)，兩個(gè)線應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則切應(yīng)變分量也就確定。對(duì)式（14-16）中的三個(gè)切應(yīng)變等式分別對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)，得（14-20）將上面的前兩式相加后減去第三式，得

再對(duì)上式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得與另外兩式組合得（14-21）式（14-21）表明，在物體的三維空間內(nèi)的三個(gè)切應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則線應(yīng)變分量也就確定。

式（14-19）和式（14-21）統(tǒng)稱變形連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。變形連續(xù)方程的物理意義表示：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的。否則，變形后會(huì)出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，變形體的連續(xù)性遭到破壞。

同時(shí)還應(yīng)指出，如果已知一點(diǎn)的位移分量ui，則由幾何方程求得的應(yīng)變分量εij自然滿足連續(xù)方程。但如果先用其它方法求得應(yīng)變分量，則只有滿足上述應(yīng)變連續(xù)方程，才能由幾何方程求得正確的位移分量。例設(shè)一物體在變形過程中某一極短時(shí)間內(nèi)的位移為試求：點(diǎn)A(1，1，1)與點(diǎn)B(0.5，-1，0)的應(yīng)變值。解由幾何方程式（14-16）求得應(yīng)變分量為將點(diǎn)A的坐標(biāo)值(1，1，1)代入上式，得點(diǎn)A處的應(yīng)變值將點(diǎn)B的坐標(biāo)值(0.5，-1，0)代入上式，得點(diǎn)B處的應(yīng)變值第四節(jié)有限變形前述在推導(dǎo)小應(yīng)變幾何方程時(shí)，假設(shè)位移及其導(dǎo)數(shù)是很小的，略去了二階以上的量，推導(dǎo)出的方程都是非線性的，適用于小變形。但在實(shí)際的塑性加工時(shí)，往往都是變形量較大，屬于有限變形。此時(shí)，應(yīng)變與位移導(dǎo)數(shù)間不再是線性關(guān)系，平衡方程必須考慮變形前后坐標(biāo)的差別。連續(xù)體的有限變形有兩種表述方法：1、拉格朗日法，相對(duì)位移計(jì)算以變形前的坐標(biāo)作為自變量2、歐拉法，相對(duì)位移計(jì)算以變形后的坐標(biāo)作為自變量。一、拉格朗日法分析有限變形的應(yīng)變a和b之間的相對(duì)位移ui沿ox、oy、oz軸的投影記為△u、△v、△w設(shè)變形前線段ab，長(zhǎng)為r，a點(diǎn)的坐標(biāo)為xi，則b點(diǎn)的坐標(biāo)為xi+dxi。變形后線段ab變成a1b1，長(zhǎng)為r+δr，a1點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi+ui），b1點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi+dxi+ui+δui），其中，xi三個(gè)坐標(biāo)分量表示成x、y、z，ui三個(gè)坐標(biāo)分量表示成u、v、w。（14-22）考慮到坐標(biāo)的正交性，式（14-22）可改寫為（14-23）記（14-23）（14-24）或（14-25）—為有限應(yīng)變量有限應(yīng)變量也是對(duì)稱張量，即對(duì)于微小應(yīng)變，在式（14-24）中，位移u、v、w、對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)是微小的，可省略去它們的平方和乘積相，則得用歐拉法表示有限應(yīng)變分量，以變形后的坐標(biāo)（x1，y1，z1）作為自變量，有限應(yīng)變分量可寫成（14-27）

小變形時(shí)，可以認(rèn)為只有線應(yīng)變引起邊長(zhǎng)和體積的變化，而切應(yīng)變所引起的邊長(zhǎng)和體積的變化是高階微量，可以忽略不計(jì)。因此變形后的單元體體積為第五節(jié)塑性變形體積不變條件設(shè)單元體的初始邊長(zhǎng)為，則變形前的體積為單元體體積的變化（單位體積變化率）（14-28）=在塑性成形時(shí)，由于物體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)連續(xù)且致密，可以認(rèn)為體積不發(fā)生變化，因此

式（14-28）稱為體積不變條件。它表明，塑性變形時(shí)三個(gè)正應(yīng)變之和等于零,說明三個(gè)正應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)。（14-29）=第六節(jié)

速度分量和速度場(chǎng)、位移增量與應(yīng)變?cè)隽?、?yīng)變速率張量

反映的是單元體在某一變形過程或變形過程中的某個(gè)階段結(jié)束時(shí)的變形大小，亦稱全量應(yīng)變。

塑性變形一般是大變形，前面討論的應(yīng)變公式在大變形中不能直接應(yīng)用。然而，我們可以把大變形看成是由很多瞬間小變形累積而成的?？疾齑笞冃沃械乃查g小變形的情況，需要引入速度場(chǎng)與應(yīng)變?cè)隽康母拍睢?/p>

一、速度分量和速度場(chǎng)

位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，故

簡(jiǎn)記為(x，y，z，t)

在塑性變形過程中，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以一定的速度運(yùn)動(dòng)，形成一個(gè)速度場(chǎng)。將質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的位移叫做位移速度，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量叫做位移速度分量，簡(jiǎn)稱速度分量，即二、位移增量和應(yīng)變?cè)隽?/p>

在圖14-6中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在dt內(nèi)沿路徑PP’P1從P‘移動(dòng)無限小距離到達(dá)P“，位移矢量PP“與PP’之間的差即為位移增量，記為dui。這里d為增量符號(hào)，而不是微分符號(hào)。此時(shí)它的速度分量記為

物體在變形過程中，在某一極短的瞬時(shí)dt，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移改變量稱為位移增量。圖14-6位移矢量和增量dudtdwdtdvdt簡(jiǎn)記為

產(chǎn)生位移增量以后，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就有了相應(yīng)的無限小應(yīng)變?cè)隽?，用dεij表示。

此時(shí)的位移增量分量為（14-31）在此，瞬時(shí)產(chǎn)生的變形當(dāng)然可視為小變形，可以仿照小變形幾何方程寫出應(yīng)變?cè)隽康膸缀畏匠?，表示?/p>

（14-32）

一點(diǎn)的應(yīng)變?cè)隽恳彩嵌A對(duì)稱張量，稱為應(yīng)變?cè)隽繌埩浚洖楹?jiǎn)記為=（14-33）（14-34）

=

應(yīng)變?cè)隽渴撬苄猿尚卫碚撝凶钪匾母拍钪?。塑性變形是一個(gè)大變形過程，在變形的整個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)在某一瞬時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)一般對(duì)應(yīng)于該瞬時(shí)的應(yīng)變?cè)隽??？梢圆捎脽o限小的應(yīng)變?cè)隽縼砻枋瞿骋凰矔r(shí)的變形情況，而把整個(gè)變形過程看作是一系列瞬時(shí)應(yīng)變?cè)隽康姆e累。

三、應(yīng)變速率張量

單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)變稱為應(yīng)變速率，又稱變形速度，用表示，單位為。設(shè)在時(shí)間間隔dt內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變?cè)隽繛?，則應(yīng)變速率為=

（14-35）

應(yīng)變速率與應(yīng)變?cè)隽肯嗨?，都是描述某瞬時(shí)的變形狀態(tài)。與式（14-33）類似，應(yīng)變速率===

一點(diǎn)的應(yīng)變速率也是二階對(duì)稱張量，稱為應(yīng)變速率張量

應(yīng)該注意，應(yīng)變速率是應(yīng)變?cè)隽繉?duì)時(shí)間的微商，通常并不是全量應(yīng)變的微分。應(yīng)變速率張量與應(yīng)變?cè)隽繌埩肯嗨?，用來描述瞬時(shí)變形狀態(tài)。

第七節(jié)

對(duì)數(shù)應(yīng)變

設(shè)在單向拉伸時(shí)某試樣的瞬時(shí)長(zhǎng)度為l，在下一個(gè)瞬時(shí)試樣長(zhǎng)度又伸長(zhǎng)了dl，則其應(yīng)變?cè)隽繛闉榱苏鎸?shí)地反映瞬時(shí)的塑性變形過程，一般用對(duì)數(shù)應(yīng)變來表示塑性變形的程度。

而試樣從初始長(zhǎng)度l0到終了長(zhǎng)度l1，如果變形過程中主軸不變，可沿拉伸方向?qū)∈進(jìn)行積分，求出總應(yīng)變d∈（14-38）

∈從上式可以看出對(duì)數(shù)應(yīng)變∈和相對(duì)應(yīng)變?chǔ)诺年P(guān)系，即只有當(dāng)變形程度很小時(shí)，相對(duì)應(yīng)變?chǔ)挪沤频扔趯?duì)數(shù)應(yīng)變∈。變形程度越大，誤差也越大。這就是為什么相對(duì)應(yīng)變適用于小變形的情況，對(duì)數(shù)應(yīng)變適用于大變形的情況。一般認(rèn)為，當(dāng)變形程度超過10％時(shí)，就要用對(duì)數(shù)應(yīng)變來表達(dá)。∈反映了物體變形的實(shí)際情況，稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變或真實(shí)應(yīng)變，它能真實(shí)地反映變形的累積過程，表示在應(yīng)變主軸方向不變的情況下應(yīng)變?cè)隽康目偤?。在大塑性變形中，主要用?duì)數(shù)應(yīng)變來反映物體的變形程度。（14-39）∧∈1．疊加性設(shè)某物體的原長(zhǎng)度為l0，歷經(jīng)變形過程l1、l2到

l3，則總的對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)楦鞣至繉?duì)數(shù)應(yīng)變之和，即:除此之外，對(duì)數(shù)應(yīng)變還有以下兩個(gè)性質(zhì)：=顯然，這表明，對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可疊加性，而相對(duì)應(yīng)變不具有可疊加性。

對(duì)應(yīng)的各階段的相對(duì)應(yīng)變?yōu)椤省?＋∈2＋∈3負(fù)號(hào)表示應(yīng)變方向相反。而用相對(duì)應(yīng)變時(shí)，以上情況分別為2．可比性對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，相對(duì)應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。假設(shè)將試樣拉長(zhǎng)一倍，再壓縮一半，則物體的變形程度相同。拉長(zhǎng)一倍時(shí)∈+壓縮一半時(shí)∈-因而，相對(duì)應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。

前面提到的體積不變條件用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示更準(zhǔn)確。設(shè)變形體的原始長(zhǎng)、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件表示為：=（14-40）∈1＋∈2＋∈3一、平面應(yīng)力問題

圖14-7平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)假設(shè)變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)與某坐標(biāo)軸垂直的平面上沒有應(yīng)力，且所有的應(yīng)力分量與該坐標(biāo)軸無關(guān)，如圖14-7所示。工程中，薄壁容器承受內(nèi)壓、無壓邊的板料拉深、薄壁管扭轉(zhuǎn)等，由于厚度方向的應(yīng)力很小可以忽略，均可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力狀態(tài)。第八節(jié)平面問題和軸對(duì)稱問題或由式（13-26）可得平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力平衡微分方程為

（14-42）平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜微分面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力和主應(yīng)力均可從(13-27)、（13-28）、（13-29）各式中求得。由于，所以平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力為（14-43）

純切應(yīng)力狀態(tài)（即純剪狀態(tài)）是平面應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，見圖14-8，純切應(yīng)力等于最大切應(yīng)力，主軸與坐標(biāo)軸成45°，切應(yīng)力在數(shù)值上等于主應(yīng)力，。因此，若兩個(gè)主應(yīng)力在數(shù)值上相等，但符號(hào)相反，即為純切應(yīng)力狀態(tài)。

平面應(yīng)力狀態(tài)中z方向雖然沒有應(yīng)力，但是有應(yīng)變存在；只有在純剪切時(shí)，沒有應(yīng)力的方向才沒有應(yīng)變。圖14-8純切應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力莫爾圓二、平面應(yīng)變問題

如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而該平面的法線方向沒有變形，就屬于平面變形或平面應(yīng)變問題。

設(shè)沒有變形的方向?yàn)閦方向，該方向上的位移分量為零，其余兩個(gè)方向的位移分量對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)必為零，所以，則平面應(yīng)變狀態(tài)的三個(gè)應(yīng)變分量為、、，且滿足以下幾何方程=（14-44）根據(jù)體積不變條件有平面變形狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)有如下特點(diǎn)：1）沒有變形的z方向?yàn)橹鞣较?，該方向上的切?yīng)力為零，z平面為主平面，為中間主應(yīng)力，在塑性狀態(tài)下，等于平均應(yīng)力，即2）由于應(yīng)力分量、、沿z軸均勻分布，與z軸無關(guān)，所以平衡微分方程與平面應(yīng)力問題相同。3）如果處于變形狀態(tài)，發(fā)生變形的z平面即為塑性流動(dòng)平面，平面塑性應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量可寫成

或

（14-45）三、軸對(duì)稱問題

當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸分布時(shí)，則體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所處的應(yīng)力狀態(tài)稱為軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)。塑