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第十四章

應變分析主要內容第一節(jié)位移與應變第二節(jié)質點的應變狀態(tài)和應變張量第三節(jié)小應變幾何方程、應變連續(xù)方程第四節(jié)有限變形第五節(jié)塑性變形體積不變條件第六節(jié)速度分量、位移增量、應變速率張量第七節(jié)對數(shù)應變第八節(jié)平面問題和軸對稱問題小變形:物體在外力作用下產生變形,與本身幾何尺寸相比是非常小的量(~),這種變形稱作小變形。

在小變形分析中,變形量的二次微量可以忽略。

塑性加工中產生的塑性變形是大變形,分析大變形需要采用增量理論和有限變形,但小變形分析比較簡單直觀,而且大變形分析可以直接借用小變形分析的結果,

因此本章只討論小變形分析第一節(jié)位移與應變圖14-1受力物體內一點的位移及分量一、點的位移根據(jù)連續(xù)性假設,位移是坐標的連續(xù)函數(shù),而且一般都有一階偏導數(shù),即(14-1)(14-2)

或例如,M與相鄰質點M’(x+dx,y+dy,z+dz)在變形中產生位移矢量,即,和M相比,產生了位移增量,或M與M’之間相對位置變化量。如果,兩質點間沒有相對位移,MM’沒有產生變形,僅僅產生了剛體移動。圖14-2單元體在xy坐標平面內的變形二、應變

1、線應變

質點間產生的相對位移

設單元體平面PABC僅僅在xy坐標平面內發(fā)生了很小的拉變形,對于平行于坐標軸的線元分別有:

2、切應變

設:該單元體在xy平面內發(fā)生了角度的變化(切變形),圖14-2b,線元PC和PA所夾的直角縮小了,相當于C點在垂直于PC方向偏移了

,表明變形后兩棱邊PC和PA的夾角減小了

,稱為工程切應變。圖14-2b所示的

可以看成是由線元PA和PC同時向內偏移相同的角度

而成,如圖14-2c所示,且(14-4)

定義為切應變。

表示x方向的線元向y方向偏轉的角度。

圖14-3單元體的變形第二節(jié)質點的應變狀態(tài)和應變張量一、點的應變狀態(tài)

(1)在x,y,z方向上線元的長度發(fā)生改變,其線應變分別為(2)單元體分別在x面,y面和z面發(fā)生角度偏轉,產生應變?yōu)槎?、應變張?/p>

與一點的三個互相垂直的微分面上9個應力分量決定該點的應力狀態(tài)一樣,質點的三個互相垂直方向上的9個應變分量確定了該點的應變狀態(tài)。已知這九個應變分量,可以求出給定任意方向上的應變,這表明對應不同坐標系應變分量之間有確定的變換關系。

應變張量也是二階對稱張量,可用表示為:或(1)存在三個互相垂直的主方向,在該方向上線元只有主應變而無切應變。用、、表示主應變,則主應變張量為(14-8)主應變可由應變狀態(tài)特征方程求得。(14-9)三、應變張量的性質

對于塑性變形,由體積不變條件(14-10)

(2)存在三個應變張量不變量I1、I2、I3,且

(3)在與主應變方向成45°方向上存在主切應變,其大小為(14-11)

若≥≥,則最大切應變?yōu)椋?)應變張量可以分解為應變球張量和應變偏張量式中,(14-12)為應變偏張量,表示變形單元體形狀變化為應變球張量,表示變形單元體體積變化。為平均應變(5)存在應變張量的等效應變

=(14-13)等效應變的特點:是一個不變量,在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應變ε。等效應變又稱廣義應變,在屈服準則和強度分析中經常用到它。

(6)與應力莫爾圓一樣,可以用應變莫爾圓表示一點的應變狀態(tài)。設已知主應變、、和的值、且>>,其摩爾圓為ε1

圖14-4應變莫爾圓第三節(jié)小應變幾何方程、應變連續(xù)方程一、小應變幾何方程

圖14-5位移分量與應變分量的關系

設單元體棱邊長度為dx、dy、dz,它在xoy平面上的投影為abdc,變形后的投影移至a1b1d1c1,a點變形后移到a1點后,所產生的位移分量為u、v,則b點和c點的位移增量為以及棱邊ab(dy)在y方向的線應變

由圖中的幾何關系,可得根據(jù)圖中的幾何關系,可以求出棱邊ac(dx)在x方向的線應變εx為因為,同理得則工程切應變?yōu)榍袘優(yōu)椋?4-14)(14-15)其值遠小于1,所以有用角標符號可簡記為(14-16)(14-17)同理

式(14-16)六個方程表示小變形時位移分量和應變分量之間的關系,是由變形幾何關系得到的,稱為小應變幾何方程,又稱柯西幾何方程。如果物體中的位移場已知,則可由上述小應變幾何方程求得應變場。兩式相加,得即(14-18)二、應變連續(xù)方程

由小應變幾何方程可知,三個位移分量一經確定,六個應變分量也就確定,顯然,它們不應是任意的。只有這六個應變分量之間滿足一定的關系,才能保證變形體的連續(xù)性。應變分量之間的關系稱為應變連續(xù)方程或應變協(xié)調方程。將式(14-16)中的、分別對y、x求導數(shù),得同理可得另外兩式,連同上式綜合在一起可得(14-19)式(14-19)表明,在坐標平面內,兩個線應變分量一經確定,則切應變分量也就確定。對式(14-16)中的三個切應變等式分別對x、y、z求偏導,得(14-20)將上面的前兩式相加后減去第三式,得

再對上式兩邊對y求偏導數(shù),得與另外兩式組合得(14-21)式(14-21)表明,在物體的三維空間內的三個切應變分量一經確定,則線應變分量也就確定。

式(14-19)和式(14-21)統(tǒng)稱變形連續(xù)方程或應變協(xié)調方程。變形連續(xù)方程的物理意義表示:只有當應變分量之間滿足一定的關系時,物體變形后才是連續(xù)的。否則,變形后會出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”,變形體的連續(xù)性遭到破壞。

同時還應指出,如果已知一點的位移分量ui,則由幾何方程求得的應變分量εij自然滿足連續(xù)方程。但如果先用其它方法求得應變分量,則只有滿足上述應變連續(xù)方程,才能由幾何方程求得正確的位移分量。例設一物體在變形過程中某一極短時間內的位移為試求:點A(1,1,1)與點B(0.5,-1,0)的應變值。解由幾何方程式(14-16)求得應變分量為將點A的坐標值(1,1,1)代入上式,得點A處的應變值將點B的坐標值(0.5,-1,0)代入上式,得點B處的應變值第四節(jié)有限變形前述在推導小應變幾何方程時,假設位移及其導數(shù)是很小的,略去了二階以上的量,推導出的方程都是非線性的,適用于小變形。但在實際的塑性加工時,往往都是變形量較大,屬于有限變形。此時,應變與位移導數(shù)間不再是線性關系,平衡方程必須考慮變形前后坐標的差別。連續(xù)體的有限變形有兩種表述方法:1、拉格朗日法,相對位移計算以變形前的坐標作為自變量2、歐拉法,相對位移計算以變形后的坐標作為自變量。一、拉格朗日法分析有限變形的應變a和b之間的相對位移ui沿ox、oy、oz軸的投影記為△u、△v、△w設變形前線段ab,長為r,a點的坐標為xi,則b點的坐標為xi+dxi。變形后線段ab變成a1b1,長為r+δr,a1點的坐標為(xi+ui),b1點的坐標為(xi+dxi+ui+δui),其中,xi三個坐標分量表示成x、y、z,ui三個坐標分量表示成u、v、w。(14-22)考慮到坐標的正交性,式(14-22)可改寫為(14-23)記(14-23)(14-24)或(14-25)—為有限應變量有限應變量也是對稱張量,即對于微小應變,在式(14-24)中,位移u、v、w、對坐標的導數(shù)是微小的,可省略去它們的平方和乘積相,則得用歐拉法表示有限應變分量,以變形后的坐標(x1,y1,z1)作為自變量,有限應變分量可寫成(14-27)

小變形時,可以認為只有線應變引起邊長和體積的變化,而切應變所引起的邊長和體積的變化是高階微量,可以忽略不計。因此變形后的單元體體積為第五節(jié)塑性變形體積不變條件設單元體的初始邊長為,則變形前的體積為單元體體積的變化(單位體積變化率)(14-28)=在塑性成形時,由于物體內部質點連續(xù)且致密,可以認為體積不發(fā)生變化,因此

式(14-28)稱為體積不變條件。它表明,塑性變形時三個正應變之和等于零,說明三個正應變分量不可能全部同號。(14-29)=第六節(jié)

速度分量和速度場、位移增量與應變增量、應變速率張量

反映的是單元體在某一變形過程或變形過程中的某個階段結束時的變形大小,亦稱全量應變。

塑性變形一般是大變形,前面討論的應變公式在大變形中不能直接應用。然而,我們可以把大變形看成是由很多瞬間小變形累積而成的??疾齑笞冃沃械乃查g小變形的情況,需要引入速度場與應變增量的概念。

一、速度分量和速度場

位移速度既是坐標的連續(xù)函數(shù),又是時間的函數(shù),故

簡記為(x,y,z,t)

在塑性變形過程中,物體內各質點以一定的速度運動,形成一個速度場。將質點在單位時間內的位移叫做位移速度,它在三個坐標軸方向的分量叫做位移速度分量,簡稱速度分量,即二、位移增量和應變增量

在圖14-6中,設質點P在dt內沿路徑PP’P1從P‘移動無限小距離到達P“,位移矢量PP“與PP’之間的差即為位移增量,記為dui。這里d為增量符號,而不是微分符號。此時它的速度分量記為

物體在變形過程中,在某一極短的瞬時dt,質點產生的位移改變量稱為位移增量。圖14-6位移矢量和增量dudtdwdtdvdt簡記為

產生位移增量以后,變形體內各質點就有了相應的無限小應變增量,用dεij表示。

此時的位移增量分量為(14-31)在此,瞬時產生的變形當然可視為小變形,可以仿照小變形幾何方程寫出應變增量的幾何方程,表示為

(14-32)

一點的應變增量也是二階對稱張量,稱為應變增量張量,記為簡記為=(14-33)(14-34)

=

應變增量是塑性成形理論中最重要的概念之一。塑性變形是一個大變形過程,在變形的整個過程中,質點在某一瞬時的應力狀態(tài)一般對應于該瞬時的應變增量??梢圆捎脽o限小的應變增量來描述某一瞬時的變形情況,而把整個變形過程看作是一系列瞬時應變增量的積累。

三、應變速率張量

單位時間內的應變稱為應變速率,又稱變形速度,用表示,單位為。設在時間間隔dt內產生的應變增量為,則應變速率為=

(14-35)

應變速率與應變增量相似,都是描述某瞬時的變形狀態(tài)。與式(14-33)類似,應變速率===

一點的應變速率也是二階對稱張量,稱為應變速率張量

應該注意,應變速率是應變增量對時間的微商,通常并不是全量應變的微分。應變速率張量與應變增量張量相似,用來描述瞬時變形狀態(tài)。

第七節(jié)

對數(shù)應變

設在單向拉伸時某試樣的瞬時長度為l,在下一個瞬時試樣長度又伸長了dl,則其應變增量為為了真實地反映瞬時的塑性變形過程,一般用對數(shù)應變來表示塑性變形的程度。

而試樣從初始長度l0到終了長度l1,如果變形過程中主軸不變,可沿拉伸方向對d∈進行積分,求出總應變d∈(14-38)

∈從上式可以看出對數(shù)應變∈和相對應變ε的關系,即只有當變形程度很小時,相對應變ε才近似等于對數(shù)應變∈。變形程度越大,誤差也越大。這就是為什么相對應變適用于小變形的情況,對數(shù)應變適用于大變形的情況。一般認為,當變形程度超過10%時,就要用對數(shù)應變來表達?!史从沉宋矬w變形的實際情況,稱為對數(shù)應變或真實應變,它能真實地反映變形的累積過程,表示在應變主軸方向不變的情況下應變增量的總和。在大塑性變形中,主要用對數(shù)應變來反映物體的變形程度。(14-39)∧∈1.疊加性設某物體的原長度為l0,歷經變形過程l1、l2到

l3,則總的對數(shù)應變?yōu)楦鞣至繉?shù)應變之和,即:除此之外,對數(shù)應變還有以下兩個性質:=顯然,這表明,對數(shù)應變具有可疊加性,而相對應變不具有可疊加性。

對應的各階段的相對應變?yōu)椤省?+∈2+∈3負號表示應變方向相反。而用相對應變時,以上情況分別為2.可比性對數(shù)應變?yōu)榭杀葢?,相對應變?yōu)椴豢杀葢?。假設將試樣拉長一倍,再壓縮一半,則物體的變形程度相同。拉長一倍時∈+壓縮一半時∈-因而,相對應變?yōu)椴豢杀葢儭?/p>

前面提到的體積不變條件用對數(shù)應變表示更準確。設變形體的原始長、寬、高分別為l0、b0、h0,變形后分別為l1、b1、h1,則體積不變條件表示為:=(14-40)∈1+∈2+∈3一、平面應力問題

圖14-7平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)假設變形體內各質點與某坐標軸垂直的平面上沒有應力,且所有的應力分量與該坐標軸無關,如圖14-7所示。工程中,薄壁容器承受內壓、無壓邊的板料拉深、薄壁管扭轉等,由于厚度方向的應力很小可以忽略,均可簡化為平面應力狀態(tài)。第八節(jié)平面問題和軸對稱問題或由式(13-26)可得平面應力狀態(tài)下的應力平衡微分方程為

(14-42)平面應力狀態(tài)下任意斜微分面上的正應力、切應力和主應力均可從(13-27)、(13-28)、(13-29)各式中求得。由于,所以平面應力狀態(tài)下的主切應力為(14-43)

純切應力狀態(tài)(即純剪狀態(tài))是平面應力狀態(tài)的特殊情況,見圖14-8,純切應力等于最大切應力,主軸與坐標軸成45°,切應力在數(shù)值上等于主應力,。因此,若兩個主應力在數(shù)值上相等,但符號相反,即為純切應力狀態(tài)。

平面應力狀態(tài)中z方向雖然沒有應力,但是有應變存在;只有在純剪切時,沒有應力的方向才沒有應變。圖14-8純切應力狀態(tài)及應力莫爾圓二、平面應變問題

如果物體內所有質點都只在同一坐標平面內發(fā)生變形,而該平面的法線方向沒有變形,就屬于平面變形或平面應變問題。

設沒有變形的方向為z方向,該方向上的位移分量為零,其余兩個方向的位移分量對z的偏導數(shù)必為零,所以,則平面應變狀態(tài)的三個應變分量為、、,且滿足以下幾何方程=(14-44)根據(jù)體積不變條件有平面變形狀態(tài)下的應力狀態(tài)有如下特點:1)沒有變形的z方向為主方向,該方向上的切應力為零,z平面為主平面,為中間主應力,在塑性狀態(tài)下,等于平均應力,即2)由于應力分量、、沿z軸均勻分布,與z軸無關,所以平衡微分方程與平面應力問題相同。3)如果處于變形狀態(tài),發(fā)生變形的z平面即為塑性流動平面,平面塑性應變狀態(tài)下的應力張量可寫成

(14-45)三、軸對稱問題

當旋轉體承受的外力對稱于旋轉軸分布時,則體內質點所處的應力狀態(tài)稱為軸對稱應力狀態(tài)。塑

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