第十章-動量定理

第十章動量定理1.動量質(zhì)點(diǎn)的動量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積，動量的量綱：動量的單位：§10-1動量與沖量質(zhì)點(diǎn)系的動量：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和。flash第十章動量定理質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心C的矢徑和速度：結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系的動量等于質(zhì)心速度與其全部質(zhì)量的乘積用來分析剛體很方便質(zhì)心坐標(biāo)：例：橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，OA=l，AB=AD=l，AO、BD、B、D質(zhì)量均為m，曲柄OA角速度為。求系統(tǒng)的動量。解：B、D和BD桿組合體質(zhì)心在A處，有：VA和VE方向相同，有：例：A、B、滑輪O質(zhì)量均為m。求系統(tǒng)的動量。解：滑輪質(zhì)心速度為零：A、B的動量大小相等，方向相反，有：所以：例：已知履帶質(zhì)量為m1，每個均質(zhì)車輪質(zhì)量為m2，半徑為R，前進(jìn)速度為V，求系統(tǒng)的動量。解：2.沖量沖量：作用力與作用時間的乘積微分形式：沖量的量綱：沖量的單位：dI稱為元沖量質(zhì)點(diǎn)動量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量?；颍?.質(zhì)點(diǎn)的動量定理質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式：牛頓第二定律ma=F

可寫成：質(zhì)點(diǎn)動量定理的積分形式：在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在同一時間內(nèi)的沖量。§10-2動量定理2.質(zhì)點(diǎn)系的動量定理n個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)i上作用有:外力內(nèi)力n個方程，兩端分別相加：=質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和積分：P0為t=0時質(zhì)點(diǎn)系的動量。質(zhì)點(diǎn)系動量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動量定理的積分形式:在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動量的改變量等于在這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。和質(zhì)點(diǎn)系動量定理在直角坐標(biāo)的投影式：例：物體沿斜面下滑，摩擦系數(shù)為f，斜面傾角為，初速為V1。求其增速一倍時經(jīng)歷的時間。解：質(zhì)點(diǎn)動量變化=力在

t內(nèi)的沖量，有：例10-1：電動機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2，如圖所示。設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e，已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，角速度。求基礎(chǔ)的支座反力。分析：運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系動量定理。取電動機(jī)外殼與轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點(diǎn)系，這樣可不考慮使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的內(nèi)力。外力有重力、基礎(chǔ)反力和反力偶。由動量定理的投影式，得：質(zhì)點(diǎn)系的動量就是轉(zhuǎn)子的動量。設(shè)t=0時，O1O2鉛垂。φ=ωt得基礎(chǔ)反力：電機(jī)不轉(zhuǎn)時，基礎(chǔ)只有靜反力：動反力是系統(tǒng)運(yùn)動附加產(chǎn)生的X方向附加動反力：Y方向附加動反力：是轉(zhuǎn)子偏心引起的諧變力，會引起電機(jī)和基礎(chǔ)振動例：水流過彎管，流速V=2m/s，管徑d=0.3m，忽略重力。求彎頭處受力。解：t時間內(nèi)流過質(zhì)量為m的水拐彎前，有：拐彎后，有：q—體積流量—密度由動量定理，可知：V,較大時需加支座3.質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動量保持不變。如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動量在該坐標(biāo)軸上的投影不變。=恒量例10-3：物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質(zhì)量為mA；小球B的質(zhì)量為mB，以細(xì)桿與物塊鉸接。設(shè)桿長為L，質(zhì)量不計(jì)，初始時系統(tǒng)靜止，并有初始擺角0；釋放后，桿近似以0coskt

規(guī)律擺動（k為已知常數(shù)）。求：物塊A的最大速度。解：以物塊和小球整體為研究對象，垂直方向受力為重力和約束反力；水平方向不受外力作用，水平方向動量守恒。桿的角速度為：即0時最大桿鉛垂時，球相對于物塊有最大的水平速度，則有：小球速度向左時，物塊應(yīng)有向右的速度v動系固結(jié)在物塊小球向左的絕對速度值為：水平方向動量守恒，有：解得物塊的最大速度為：例：A、B質(zhì)量各為m1、m2，初始靜止，不計(jì)摩擦。求B的加速度。解：總動量在X軸守恒動系固定B上再由物塊A：可解得：也可得FN，此時，F(xiàn)Nm1g+m2g=(m1+m2)g例：小車重G1=2kN，車上箱子重G2=1kN，v0=3.5km/h。重G3=0.5kN的物體鉛垂落入箱內(nèi)。(1)求此后小車速度；(2)若物體落入后，箱子沿小車滑動了0.2s才相對停止，求箱子與小車間的摩擦力的平均值。解：(1)可用動量守恒求末動量系統(tǒng)在水平方向動量守恒初動量：末動量：動量定理：得：(2)已知初、末動量和時間求內(nèi)力，可取分離體用動量定理求解。

質(zhì)點(diǎn)系在力的作用下，其運(yùn)動狀態(tài)與各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量及其相互位置都有關(guān)系。1.質(zhì)量中心與重心類似，質(zhì)心位置：質(zhì)心位置反映質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的一種特征計(jì)算質(zhì)心位置時，常用在直角坐標(biāo)系的投影形式：質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系中特定的一個點(diǎn)，所有質(zhì)量置于質(zhì)心，質(zhì)心的動量就等于質(zhì)點(diǎn)系的動量。§10-3質(zhì)心運(yùn)動定理例10-4：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2。求系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動方程、軌跡及此系統(tǒng)的動量。解：設(shè)t=0時，OA桿水平，有：計(jì)算質(zhì)心C的坐標(biāo)：就是此系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動方程消去時間t，得：即質(zhì)心C的運(yùn)動軌跡為一橢圓求系統(tǒng)的動量：得：得系統(tǒng)動量沿x、y軸的投影：系統(tǒng)動量的大小，為：方向沿質(zhì)心軌跡的切線方向，可用其方向余弦表示計(jì)算剛體系統(tǒng)的動量采用質(zhì)心計(jì)算比逐個剛體求動量再作其矢量和更為方便。2.質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系的動量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變時，有：或質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動，可以看成為一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，設(shè)想此質(zhì)點(diǎn)集中了整個質(zhì)量及其所受的外力。形式上和質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本方程ma=F完全相似注意：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動，只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動。質(zhì)心運(yùn)動定理是矢量式，應(yīng)用時取投影式：

質(zhì)心運(yùn)動定理和質(zhì)點(diǎn)系動量定理是同一定理的兩種表達(dá)形式。

剛體系由于質(zhì)心坐標(biāo)容易確定，用質(zhì)心運(yùn)動定理較方便，對流體往往用動量定理?；蚶?0-5：均質(zhì)曲柄AB長r，質(zhì)量為m1，以勻角速度轉(zhuǎn)動?；邸⑦B桿、活塞總質(zhì)量m2，質(zhì)心在點(diǎn)C1?；钊献饔煤懔。不計(jì)摩擦。求A處最大水平約束力Fx。解：整個機(jī)構(gòu)為質(zhì)點(diǎn)系，X方向外力F、Fx。質(zhì)心運(yùn)動定理在X軸的投影式：質(zhì)心坐標(biāo)：解得：例：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2。不計(jì)摩擦。求O處的水平約束反力。解：整個機(jī)構(gòu)為質(zhì)點(diǎn)系，水平外力Fx。質(zhì)心運(yùn)動定理在X軸的投影式：質(zhì)心C的坐標(biāo)：質(zhì)心運(yùn)動定理在Y軸的投影式：質(zhì)心C的坐標(biāo)：以整個系統(tǒng)為對象，只能求得O、B兩處Y向約束反力之和，不能得出各自的值。3.質(zhì)心運(yùn)動守恒定律(1)如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢等于零，則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動

若開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變(2)如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某軸上投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變?nèi)糸_始時速度投影等于零，則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變例：在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設(shè)人質(zhì)量為m2，船的質(zhì)量為m1，船長l，水的阻力不計(jì)。求船的位移。解：人與船組成質(zhì)點(diǎn)系。不計(jì)水的阻力，外力在水平軸上的投影等于零，質(zhì)心在水平軸上的坐標(biāo)保持不變。取坐標(biāo)軸如右圖所示在人走動前，質(zhì)心的坐標(biāo)為：人走到船尾時，船移動的距離為s，質(zhì)心的坐標(biāo)為：flash由于質(zhì)心在x軸上的坐標(biāo)不變例：浮動式起重機(jī)m2=18噸，O1A=10米，重物m1=2噸。開始時吊桿與鉛垂線成60角并靜止，求O1A轉(zhuǎn)到與鉛垂線成30時浮吊的位移。不計(jì)水阻力。解：開始靜止時有：xc=0，xc=常數(shù)設(shè)開始時重物和起重機(jī)質(zhì)心坐標(biāo)為x1和x2。轉(zhuǎn)動前，系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)為：外力均垂直于X軸，系統(tǒng)質(zhì)心沿X軸守恒。設(shè)O1A轉(zhuǎn)動后浮吊向右移動x,則重物質(zhì)心坐標(biāo):浮吊質(zhì)心坐標(biāo):轉(zhuǎn)動后系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)為：負(fù)號說明浮吊向左移動例：均質(zhì)細(xì)桿AB長為l，靜止直立于光滑水平面上。求桿無初速倒下時A的軌跡。解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力。flash倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落。質(zhì)心沿X軸坐標(biāo)不變，始終在Y軸上。A點(diǎn)運(yùn)動方程：消去參數(shù)，得軌跡方程：解題小結(jié)：(1)分析質(zhì)點(diǎn)系所受的全部外力，包括主動力和約束反力(2)根據(jù)外力情況確定質(zhì)心運(yùn)動是否守恒(3)如果外力主矢等于零，且在初始時質(zhì)點(diǎn)系為靜止，則質(zhì)心坐標(biāo)保持不變(4)如果外力主矢不等于零，計(jì)算質(zhì)心坐標(biāo)，求質(zhì)心的加速度，然后應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理求未知力(5)在外力已知的條件下，欲求質(zhì)心的運(yùn)動規(guī)律，與求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律相同基本要求：(1)深刻理解質(zhì)點(diǎn)系動量、力的沖量和質(zhì)心等概念。(2)正確并熟練地計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動量和質(zhì)心坐標(biāo)。(3)應(yīng)用動量定理、質(zhì)心運(yùn)動定理和守恒定理求解動力學(xué)問題。重點(diǎn)：難點(diǎn)：(1)質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的動量的概念與計(jì)算。(3)質(zhì)心運(yùn)動定理及其守恒定理。(1)質(zhì)點(diǎn)系動量的計(jì)算。(2)動量定理在流體管道動力學(xué)中的應(yīng)用。(2)質(zhì)點(diǎn)系動量定理及其動量守恒定理。小結(jié)(1)動量定理建