第5章 電容元件和電感元件

本節(jié)介紹電容元件、電感元件。它們是重要的儲(chǔ)能元件。其端口電壓、電流關(guān)系不是代數(shù)關(guān)系而是微分或積分關(guān)系，因此又稱為動(dòng)態(tài)元件。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)掌握電容元件、電感元件、互感元件的特性方程、能量計(jì)算及各種等效變換。

此外還介紹理想變壓器。1電容元件3耦合電感2電感元件4理想變壓器第5章電容元件和電感元件本章目次基本要求：熟練掌握電容元件端口特性方程、能量計(jì)算及串并聯(lián)等效變換。電容構(gòu)成原理圖5.1電容的基本構(gòu)成電容的電路符號(hào)電解電容器瓷質(zhì)電容器聚丙烯膜電容器圖5.3a固定電容器實(shí)際電容器示例一般電容可變電容電解電容管式空氣可調(diào)電容器片式空氣可調(diào)電容器5.3b可變電容器電容元件是一種動(dòng)態(tài)元件，其端口電壓、電流關(guān)系為微分（或積分）關(guān)系。當(dāng)電容器填充線性介質(zhì)時(shí)，正極板上存儲(chǔ)的電荷量q與極板間電壓u成正比電容[系數(shù)]，單位：F(法拉)表示。常用單位有μF(微法)及pF(皮法)，分別表示為10-6F及10-12F。圖5.4線性電容電路符號(hào)和特性在u、q取關(guān)聯(lián)參考方向且C是正值時(shí)，線性電容的電路符號(hào)和它的電荷、電壓關(guān)系曲線如圖5.4所示。已知電流i，求電荷q，反映電荷量的積儲(chǔ)過(guò)程

極板上電荷量增多或減少，在電容的端線中就有電流產(chǎn)生，如圖5.4(a)（電容元件的VCR方程）

可見(jiàn)線性電容的端口電流并不取決于當(dāng)前時(shí)刻電壓，而與端口電壓的時(shí)間變化率成正比，所以電容是一種動(dòng)態(tài)元件。物理意義：t

時(shí)刻電容上的電荷量是此刻以前由電流充電（或放電）而積累起來(lái)的。所以某一瞬刻的電荷量不能由該瞬間時(shí)刻的電流值來(lái)確定，而須考慮此刻以前的全部電流的“歷史”，所以電容也屬于記憶元件。對(duì)于線性電容有在關(guān)聯(lián)參考方向下，輸入線性電容端口的功率：電容存儲(chǔ)的電場(chǎng)能量當(dāng)u(t)↑

→

儲(chǔ)能↑也即吸收能量→吸收功率當(dāng)u(t)↓

→儲(chǔ)能↓也即釋放能量→發(fā)出功率

同時(shí)電容的輸入功率與能量變化關(guān)系為:

電容儲(chǔ)能隨時(shí)間的增加率從全過(guò)程來(lái)看，電容本身不能提供任何能量，正值的電容是無(wú)源元件。

綜上所述，電容是一種動(dòng)態(tài)、記憶、儲(chǔ)能、無(wú)源元件。假設(shè)

所以電容是儲(chǔ)能元件.式（5.8)、(5.9)說(shuō)明電容吸收的總能量全部?jī)?chǔ)存在電場(chǎng)中，所以電容又是無(wú)損元件。反之截止到t

瞬間，從外部輸入電容的能量為：[解]電阻消耗的電能為電容最終儲(chǔ)存的電荷為由此可知

[補(bǔ)充5.1]圖示RC串聯(lián)電路，設(shè)uC(0)=0，i(t)=Ie-t/RC。求在0<t<∞時(shí)間內(nèi)電阻消耗的電能和電容存儲(chǔ)的電能，并比較二者大小。補(bǔ)充

5.1iR_+Cu電容最終儲(chǔ)能為設(shè)在串聯(lián)前電容上無(wú)電荷，根據(jù)KVL及電容元件的電壓－電流關(guān)系得

串聯(lián)等效電容的倒數(shù)等于各電容的倒數(shù)之和。如圖5.5(b)所示。

圖5.5(a)電容的串聯(lián)在使用電容器時(shí)，除了要關(guān)注其電容值外，還要注意它的額定電壓。使用時(shí)若電壓超過(guò)額定電壓，電容就有可能會(huì)因介質(zhì)被擊穿而損壞。為了提高總電容承受的電壓，可將若干電容串聯(lián)起來(lái)使用，如圖5.5(a)所示。

由于并聯(lián)電容的總電荷等于各電容的電荷之和，即

所以并聯(lián)等效電容等于各電容之和，等效電路如圖5.6(b)所示

注：如果在并聯(lián)或串聯(lián)前電容上存在電荷，則除了須計(jì)算等效電容外還須計(jì)算等效電容的初始電壓。為了得到電容值較大電容，可將若干電容并聯(lián)起來(lái)使用，如圖5.6(a)所示。

在直流電路中電容相當(dāng)于開(kāi)路，據(jù)此求得電容電壓分別為所以兩個(gè)電容儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量分別為

圖示電路，設(shè)，，電路處于直流工作狀態(tài)。計(jì)算兩個(gè)電容各自儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量。設(shè)0.2F電容流過(guò)的電流波形如圖(a)所示，已知。試計(jì)算電容電壓的變化規(guī)律并畫(huà)出波形。(1)：，電容充電電容電壓計(jì)算如下(2)：，電容放電(3)：此時(shí)，電容電壓保持不變，電容電壓的變化規(guī)律波形如右圖幾種實(shí)際的電感線圈如圖5.9所示。

圖5.9幾種實(shí)際電感線圈示例圖5.10電感線圈原理示意圖盡管實(shí)際的電感線圈形狀各異，但其共性都是線圈中通以電流i，在其周圍激發(fā)磁場(chǎng)(magneticfiled)，從而在線圈中形成與電流相交鏈的磁通(flux)Φ

（兩者的方向遵循右螺旋法則），與線圈交鏈成磁鏈ψ

，如圖5.10所示。

基本要求：熟練掌握電感元件端口特性方程、能量計(jì)算及串并聯(lián)等效變換。電感元件的特性用電流與磁鏈關(guān)系來(lái)表征，其電路符號(hào)如圖5.11所示對(duì)應(yīng)的磁鏈－電流關(guān)系是一條通過(guò)平面原點(diǎn)的直線且位于Ⅰ、Ⅲ象限，圖5.11(c)表示其特性

圖5.11線性電感的符號(hào)及其特性電感[系數(shù)](inductance)。單位亨[利](符號(hào)H)如果線圈的磁場(chǎng)存在于線性介質(zhì)，稱為線性電感，磁鏈與電流成正比可調(diào)電感固定電感對(duì)線性電感，其端口特性方程

即線性電感的端口電壓與端口電流的時(shí)間變化率成正比。因?yàn)殡姼猩想妷海娏麝P(guān)系是微分或積分關(guān)系，所以電感也屬動(dòng)態(tài)元件。若已知電壓求磁鏈或電流，則此兩式表明，電感中某一瞬間的磁鏈和電流決定于此瞬間以前的全過(guò)程的電壓，因此電感也屬于記憶元件。

根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞茨定律，當(dāng)電壓、電流方向如圖下圖所示，并且電流與磁通的參考方向遵循右螺旋法則時(shí)，端口電壓u與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e關(guān)系如下線性電感吸收的功率為電感存儲(chǔ)的磁場(chǎng)能量（）截止到t時(shí)刻電感吸收的能量為:上式說(shuō)明電感吸收的總能量全部?jī)?chǔ)存在磁場(chǎng)中，所以電感又是無(wú)損元件。電感的串聯(lián)：電感也可以串聯(lián)或并聯(lián)。仿照電容串、并聯(lián)電路的分析可以得出結(jié)論：電感串聯(lián)時(shí)，等效電感等于各電感之和，即

圖5.12電感的串聯(lián)等效電感也是儲(chǔ)能元件。電感的并聯(lián)：電感并聯(lián)時(shí)，等效電感的倒數(shù)等于各電感倒數(shù)之和，即

說(shuō)明：從電路模型上講，電感在串聯(lián)或并聯(lián)之前可以假設(shè)存在一定的磁鏈或電流。這樣，串聯(lián)或并聯(lián)聯(lián)接后，除須計(jì)算等效電感外，還須計(jì)算等效電感的初始磁鏈或初始電流。

圖5.13電感的并聯(lián)等效根據(jù)電流的變化規(guī)律，分段計(jì)算如下電路如圖(a)所示，0.1H電感通以圖(b)所示的電流。求時(shí)間電感電壓、吸收功率及儲(chǔ)存能量的變化規(guī)律。圖5.14例題5.3電壓、功率及能量均為零。各時(shí)段的電壓、功率及能量的變化規(guī)律如右圖(c)、(d)、(e)所示。小結(jié)：本題可見(jiàn)，電流源的端電壓決定于外電路，即決定于電感。而電感電壓與電流的變化率成正比。因而當(dāng)時(shí)，雖然電流最大，電壓卻為零。當(dāng)幾個(gè)線圈之間存在著磁耦合，便形成了多端口電感。本節(jié)只討論二端口電感，習(xí)慣上稱為互感[元件]，如圖5.15所示。

圖5.15

兩個(gè)線圈的磁耦合

(a)(b)基本要求：透徹理解同名端的概念、熟練掌握互感元件端口方程和互感元件的串并聯(lián)等效電路。每一線圈的總磁鏈?zhǔn)亲愿写沛満突ジ写沛湸鷶?shù)和。在線性條件下，自感磁鏈和互感磁鏈均正比與激發(fā)它們的電流，設(shè)電流與自感磁鏈的參考方向符合右手螺旋關(guān)系，則式中互感磁鏈前正負(fù)號(hào)，由自感磁鏈和互感磁鏈的方向而定，一致取“+”；否則取“–”

—自感；

簡(jiǎn)寫(xiě)成—互感；一般實(shí)際線圈

自感應(yīng)磁鏈

互感應(yīng)磁鏈

圖5.15兩個(gè)線圈的磁耦合在圖5.16a中，可明顯地判斷自感磁鏈和互感磁鏈的方向是相同或相反。但當(dāng)將實(shí)際線圈抽象成圖5.16(b)所示的電路模型時(shí)，就靠電流進(jìn)、出同名端來(lái)判斷互感磁鏈的+（或-）。同名端

使所激發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致的兩個(gè)線圈電流的進(jìn)端或出端。

換言之，兩個(gè)端口電流都流進(jìn)（或流出）同名端，表示它們所激發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致，（總磁鏈在原自感磁鏈基礎(chǔ)上增強(qiáng)）。則互感磁鏈前應(yīng)取正號(hào)。當(dāng)兩個(gè)電流的參考方向是從非同名端流入時(shí)，它們所激發(fā)的自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，則互感磁鏈前應(yīng)取負(fù)號(hào)。如圖5.17

同名端也可以等價(jià)說(shuō)成：當(dāng)某線圈電流增加時(shí)，流入電流的端子與另一線圈互感電壓為正極性的端子為同名端。根據(jù)這一原理，在實(shí)驗(yàn)中，使某線圈流入遞增電流，通過(guò)測(cè)試另一線圈互感電壓的極性便可找出同名端。

根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，并且自感磁通與電流符合右手螺旋關(guān)系時(shí)，互感元件的電壓電流方程為若式中u1、i1

或u2、i2的參考方向相反，則L1或L2前應(yīng)添入負(fù)號(hào)；若u1、i2

或u2、i1的參考方向相對(duì)星標(biāo)*

是相同的，則M前取正號(hào)，否則應(yīng)取負(fù)號(hào).實(shí)用上，上述列寫(xiě)互感方程的方法稱為逐項(xiàng)判斷法。分析1）從圖(a)知，端口1的電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓前為正，2）引起互感電壓的電流參考方向是從所在端口2的非*指向*端，與引起的電流從自端口*端指向非*端方向相反，因此前取負(fù)；3）端口2的電壓和電流為非關(guān)聯(lián)參考方向,自感電壓前為負(fù)，4）引起互感電壓的電流參考方向是從端口1的*指向非*端，相對(duì)與端口2來(lái)說(shuō)與的參考方向關(guān)聯(lián)一致，故前取正。故圖（a）所示的互感元件特性方成為：[補(bǔ)充5.2]列出圖示兩個(gè)互感元件的特性方程基于相似解釋，圖（b）所示互感元件的特性方程。

正如一端口電感那樣，輸入互感的總能量將全部轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)能量，磁能

如果沒(méi)有磁耦合，M=0，磁能就是兩個(gè)自感元件分別儲(chǔ)能之和。存在磁耦合時(shí)，要增減一項(xiàng)Mi1i2，增與減要視互感的作用是使磁場(chǎng)增強(qiáng)還是使磁場(chǎng)減弱而定。

定義耦合系數(shù)

用來(lái)衡量互感耦合的程度

互感總功率，在關(guān)聯(lián)參考方向下

含互感元件電路的聯(lián)接由此可得串聯(lián)等效電感如圖5.18c所示，

圖5.18c注：正串2M前取正,等效電感大于倆自感之和;反串2M前取負(fù)，等效電感小于倆自感之和1互感元件的串聯(lián)電流從同名端流入→正串(或順接)電流從異名端流入→反串(或反接)圖5.18a圖5.18b2互感元件的并聯(lián)（3）代入（1）得：（3）代（2）得：由此消去互感的等效電路如圖5.19(b)圖5.19(a)互感兩同名端并聯(lián)電路

圖5.19(a)表示兩個(gè)同名端相接。為求其等效電路，分別列KCL和KVL方程：圖中各等效電感為

同理，異名端聯(lián)接時(shí)的總等效電感為

對(duì)于實(shí)際的耦合線圈，無(wú)論何種串聯(lián)或何種并聯(lián)，其等效電感均為正值。所以自感和互感滿足如下關(guān)系

耦合系數(shù)滿足

如無(wú)需計(jì)算電流，根據(jù)電感的串、并聯(lián)等效，圖5.19(b)可進(jìn)一步等效成一個(gè)電感，如圖5.19(c)，

圖5.19(c)等效電感

3互感線圈的T型聯(lián)接圖5.20(b)中各等效電感為

圖5.20互感的T型等效電路如圖5.20(a)所示，圖5.20(b)是不含磁耦合的等效電路由于耦合線圈含有電阻，在較接近實(shí)際的電路模型中兩自感都含有串聯(lián)電阻。其等效電感的計(jì)算與式(5.36)相同。就是說(shuō)，即便模型中含有串聯(lián)電阻,也可以通過(guò)這種方法來(lái)消除互感，得到無(wú)互感等效電路。一個(gè)實(shí)際耦合電感，例如空心變壓器(一種繞在非鐵磁材料上的變壓器)，一般需要考慮繞組電阻，此時(shí)可用帶有串聯(lián)等效電阻的互感來(lái)表示其電路模型，如圖5.21所示。圖中u1與i2參考方向相對(duì)星標(biāo)*是相反的，u2與i1也是相反的，故M前均應(yīng)取負(fù)號(hào)，端口特性方程將是：理想變壓器是實(shí)際電磁耦合元件的一種