數(shù)值分析-插值

§1引言

第二章插值

/*Interpolation*/究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求不在表上的函數(shù)值。因此，我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個既能反映函數(shù)的特性，又便于計算的簡單函數(shù),用近似。

許多實際問題都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系，其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過實驗或計算得到的,并且只是上一系列點的函數(shù)值這只是一張函數(shù)表。有的問題雖有解析表達(dá)式，但由于計算復(fù)雜，使用不方便，通常也造一個函數(shù)表，比如平方根表、立方根表、對數(shù)表和三角函數(shù)表等等。為了研x0x1x2x3x4xp(x)

f(x)如：通常用代數(shù)多項式或分段代數(shù)多項式作為,并使對成立。這樣確定的就是我們希望得到的插值函數(shù)。§1Introduction

已知在點上的值

若存在一簡單函數(shù)，使設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且插值法定義成立，就稱為的插值函數(shù)，點插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間，（2.1）稱為插值條件，求插值函數(shù)的方法稱為插值法。稱為若為次數(shù)不超過的代數(shù)多項式，即其中為實數(shù)，就稱為插值多項式，相應(yīng)的插值法稱為多項式插值。若為分段多項式，就是分段插值。若為三角多項式，就稱為三角插值?！?Introduction劉焯(公元554-610)隋代天文學(xué)家《皇極歷》《歷書》插值法+天文計算(公元6世紀(jì))由插值條件可得…

…插值多項式的存在唯一性這是一個關(guān)于的元線性方程組。

要證明插值多項式的存在唯一性，只要證明上述方程組存在唯一解，也就是證明方程組的系數(shù)行列式的值不為零。

設(shè)是形如的插值多項式，用代表所有次數(shù)不超過的多項式集合，于是.所謂插值多項式存在且唯一，就是指在集合中有且只有一個滿足插值條件。§1Introduction式中稱為Vandermond行列式。故方程組存在唯一的一組解。利用行列式性質(zhì)可得,故所有因子由于以上論述可寫成下列定理：于是其系數(shù)行列式為§1Introduction§1Introduction定理(唯一性)滿足次數(shù)不超過n的插值多項式是唯一存在的。證明：(另一證法）反證：若不唯一，則除了pn(x)

外還有另一n

階多項式Ln(x)滿足Ln(xi)=yi

?？疾靹tQn

的次數(shù)nn+1x0…xn而Qn有個不同的零點注：若不將多項式次數(shù)限制為n

，則插值多項式不唯一。例如也是一個插值多項式，其中可以是任意多項式。問題：如何確定n次多項式？§2拉格朗日多項式/*LagrangePolynomial*/求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即(0使得n=111L已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求y0,(x1L)1y=)x=可見L1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxL---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數(shù)

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/E.Waring(1736-1798)英國數(shù)學(xué)家、皇家學(xué)會院士Lucas教授Lagrange插值法(1779)L.Euler(1707-1783)瑞士數(shù)學(xué)家最偉大的數(shù)學(xué)家之一最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家Lagrange插值法(1783)Lagrange插值法(1795)§2LagrangePolynomialn

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxL0)()(，則顯然有Ln(xi)=

yi

。li(x)每個li有n

個零點x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點f=i1注：ixl)(（特別的，f(x)=1）

特別地，一點零次插值多項式為三點二次插值（拋物插值）多項式為兩點一次插值（線性插值）多項式為§2LagrangePolynomial

插值余項/*Remainder*/設(shè)節(jié)點在[a,b]內(nèi)存在,考察截斷誤差，且f

滿足條件,Rolle’sTheorem:若充分光滑，，則存在使得。推廣：若使得使得存在使得Rn(x)至少有個零點n+1=-=niinxxxKxR0)()()(任意固定x

xi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2

個不同的零點x0…

xn

x!=0)1()()()1(+-+nxKRxnnx注意這里是對t求導(dǎo)=+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx當(dāng)時，當(dāng)時，拋物插值余項為注：

通常不能確定x

,而是估計,x(a,b)

將作為誤差估計上限。當(dāng)

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的?！?LagrangePolynomial§2LagrangePolynomialQuiz:

給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.

下面哪個是l2(x)的圖像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC§2LagrangePolynomial例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實際誤差0.01010利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x

所在的區(qū)間的端點，插值效果較好?！?LagrangePolynomialn=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……HW:p.49#2，#3，#4Whenyoustartwritingtheprogram,youwillfindhoweasyitistocalculatetheLagrangepolynomial.Ohyeah?WhatifIfindthecurrentinterpolationnotaccurateenough?Thenyoumigh