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第1章信號(hào)與系統(tǒng)

1.1信號(hào)1.2系統(tǒng)1.3信號(hào)與系統(tǒng)分析概述

1.1信號(hào)

1.1.1信號(hào)的分類(lèi)信號(hào)的分類(lèi)方法很多,可以從不同的角度對(duì)信號(hào)進(jìn)行分類(lèi)。在信號(hào)與系統(tǒng)分析中,我們常以信號(hào)所具有的時(shí)間函數(shù)特性來(lái)加以分類(lèi)。這樣,信號(hào)可以分為確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)(如圖1.1所示)、連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)、周期信號(hào)與非周期信號(hào)、能量信號(hào)與功率信號(hào)、實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)等。1.確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)是指能夠以確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào),在其定義域內(nèi)任意時(shí)刻都有確定的函數(shù)值。例如電路中的正弦信號(hào)和各種形狀的周期信號(hào)等。圖1.1確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)波形2.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指在信號(hào)的定義域內(nèi),任意時(shí)刻都有確定的函數(shù)值的信號(hào),通常用f(t)表示。連續(xù)時(shí)間信號(hào)最明顯的特點(diǎn)是自變量t在其定義域上除有限個(gè)間斷點(diǎn)外,其余是連續(xù)可變的。例如,正弦信號(hào)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。圖1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)波形與離散時(shí)間信號(hào)波形3.周期信號(hào)與非周期信號(hào)周期信號(hào)是每隔一個(gè)固定的時(shí)間間隔重復(fù)變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)與離散周期信號(hào)的數(shù)學(xué)表示分別為f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞(1―1)f=f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整數(shù))(1―2)4.能量信號(hào)與功率信號(hào)如果把信號(hào)f(t)看作是隨時(shí)間變化的電壓和電流,則當(dāng)信號(hào)f(t)通過(guò)1Ω電阻時(shí),信號(hào)在時(shí)間間隔-T≤t≤T內(nèi)所消耗的能量稱(chēng)為歸一化能量,即為而在上述時(shí)間間隔-T≤t≤T內(nèi)的平均功率稱(chēng)為歸一化功率,即為(1―3)(1―4)如圖1.3(a)所示的脈沖信號(hào);持續(xù)時(shí)間無(wú)限而幅度有限的非周期信號(hào)為功率信號(hào),如圖1.3(b)所示;持續(xù)時(shí)間無(wú)限,幅度也無(wú)限的非周期信號(hào)為非功率、非能量信號(hào),如圖1.3(c)所示的單位斜坡信號(hào)t·u(t)。圖1.3三種非周期信號(hào)當(dāng)然,上述定義式(1―3)、(1―4)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)的歸一化能量W和歸一化功率P的定義,對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)f[k],其歸一化能量W與歸一化功率P的定義分別為(1―5)(1―6)5.實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)實(shí)信號(hào)——f(t)=f*(t),它是一個(gè)實(shí)函數(shù)。f*(t)為f(t)的共軛函數(shù)。復(fù)信號(hào)——f(t)≠f*(t),它是一個(gè)復(fù)函數(shù),即f(t)=f1(t)+jf2(t)(1―7)式中f1(t)與f2(t)均為實(shí)函數(shù)。實(shí)際信號(hào)一般都是實(shí)信號(hào),但是為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,常常引用復(fù)信號(hào)并以其實(shí)部或虛部表示實(shí)際信號(hào)。例如,常用復(fù)指數(shù)信號(hào)ejωt=cosωt+jsinωt表示余弦、正弦信號(hào);常用e(-σt+jωt)=e-σtcosωt+je-σtsinωt表示幅度衰減的余弦、正弦振蕩信號(hào)等等。1.1.2信號(hào)的基本運(yùn)算與波形變換1.加法運(yùn)算任一瞬間的和信號(hào)值y(t)或y[k]等于同一瞬間相加信號(hào)瞬時(shí)值的和。即y(t)=f1(t)+f2(t)(1―8)或y[k]=f1[k]+f2[k](1―9)2.乘法運(yùn)算任一瞬時(shí)的乘積信號(hào)值y(t)或y[k]等于同一瞬時(shí)相乘信號(hào)瞬時(shí)值的積。即y(t)=f1(t)·f2(t)(1―10)y[k]=f1[k]·f2[k](1―11)3.數(shù)乘(標(biāo)乘)信號(hào)f1(t)或f1[k]和一個(gè)常數(shù)a相乘的積。即y(t)=a·f1(t)(1―12)y[k]=a·f1[k](1―13)4.微分信號(hào)的微分是指信號(hào)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)??杀硎緸?1―14)5.積分信號(hào)的積分是指信號(hào)在區(qū)間(-∞,t)上的積分??杀硎緸?1―15)圖1.5是信號(hào)積分的一個(gè)例子。圖1.4信號(hào)的微分圖1.5信號(hào)的積分6.反轉(zhuǎn)以變量-t代替f(t)中的獨(dú)立自變量t,可得反轉(zhuǎn)信號(hào)f(-t)。它是f(t)以縱軸(t=0)為轉(zhuǎn)軸作180°反轉(zhuǎn)而得到的信號(hào)波形,如圖1.6所示。圖1.7離散時(shí)間信號(hào)及反轉(zhuǎn)波形圖1.6連續(xù)時(shí)間信號(hào)及反轉(zhuǎn)波形7.平移以變量t-t0代替信號(hào)f(t)中的獨(dú)立變量t,得信號(hào)f(t-t0),它是信號(hào)f(t)沿時(shí)間軸平移t0的波形。這里f(t)與f(t-t0)的波形形狀完全一樣,只是在位置上移動(dòng)了t0(t0為一實(shí)常數(shù))。t0>0,f(t)右移;t0<0,f(t)左移;平移距離為|t0|。圖1.8表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)的平移。這類(lèi)信號(hào)在雷達(dá)、聲納和地震信號(hào)處理中經(jīng)常遇到。利用位移信號(hào)f(t-t0)和原信號(hào)f(t)在時(shí)間上的遲延,可以探測(cè)目標(biāo)和震源的距離。

圖1.8連續(xù)時(shí)間信號(hào)的平移8.展縮(尺度變換)以變量at代替f(t)中的獨(dú)立變量t可得f(at),它是f(t)沿時(shí)間軸展縮(尺度變換)而成的一個(gè)新的信號(hào)函數(shù)或波形。信號(hào)f(at)中,a為常數(shù),|a|>1時(shí)表示f(t)沿時(shí)間軸壓縮成原來(lái)的1/|a|倍;|a|<1時(shí)表示f(t)沿時(shí)間軸擴(kuò)展為原來(lái)的1/|a|倍。例如,圖1.9之(a)、(b)、(c)分別表示f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形。圖1.9f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形9.綜合變換以變量at+b代替f(t)中的獨(dú)立變量t,可得一新的信號(hào)函數(shù)f(at+b)。當(dāng)a>0時(shí),它是f(t)沿時(shí)間軸展縮、平移后的信號(hào)波形;當(dāng)a<0時(shí),它是f(t)沿時(shí)間軸展縮平移和反轉(zhuǎn)后的信號(hào)波形,下面舉例說(shuō)明其變換過(guò)程。例1―1已知信號(hào)f(t)的波形如圖1.10(a)所示,試畫(huà)出信號(hào)f(-2-t)的波形。解f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2))可分解為

f(t)——f(-(t))——f(-(t+2))t→-tt→t+2反轉(zhuǎn)平移圖1.10信號(hào)的反轉(zhuǎn)、平移圖1.11信號(hào)的反轉(zhuǎn)、展縮與平移例1―3已知信號(hào)f(2t+2)的波形如圖1.12(a)所示,試畫(huà)出信號(hào)f(4-2t)的波形。解f(2t+2)→f(4-2t),則對(duì)應(yīng)有t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4利用上述關(guān)系式計(jì)算出t11與t22:t11=-1/2(2×0+2-4)=1t22=-1/2(2×4+2-4)=-3

圖1.12信號(hào)綜合變換通過(guò)以上分析,可以歸納出普通信號(hào)基本變換的一般步驟:(1)若信號(hào)f(t)→f(at+b),則先反轉(zhuǎn),后展縮,再平移;(2)若信號(hào)f(mt+n)→f(t),則先平移,后展縮,再反轉(zhuǎn);(3)若信號(hào)f(mt+n)→f(at+b),則先實(shí)現(xiàn)f(mt+n)→f(t),再進(jìn)行f(t)→f(at+b)。例1―4試粗略地畫(huà)出下列信號(hào)的波形圖:(1)f1(t)=(2-3e-t)·u(t);(2)f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t);(3)f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞);(4)f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1);(5)f5(t)=sinπ/2(1-t)·u(t-1);(6)f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2));(7)f7(t)=1-|t|/2(u(t+2)-u(t-2));(8)f8(t)=u(t2-1)。解描繪信號(hào)波形是本課程的一項(xiàng)基本訓(xùn)練。在繪圖時(shí)應(yīng)注意信號(hào)的基本特征、變化趨勢(shì)、起始和終點(diǎn)位置,并應(yīng)標(biāo)出信號(hào)的初值、終值以及一些關(guān)鍵的點(diǎn)及線,如極大值、極小值、漸近線等。圖1.13例1―4圖

1.2系統(tǒng)

為了說(shuō)明系統(tǒng)的基本概念,我們分析如圖1.14(a)所示的RC一階動(dòng)態(tài)電路。圖中電容C具有初始電壓UO,開(kāi)關(guān)K在t=0時(shí)刻閉合,且有US>UO,使電容充電。圖1.14RC電路與電容電壓由一階動(dòng)態(tài)電路知識(shí)可知,若以電容電壓UC(t)為變量,該電路的動(dòng)態(tài)方程式為其全解為圖1.15單輸入單輸出系統(tǒng)方框圖整個(gè)系統(tǒng)可用圖1.15所示的方框圖表示。其中ψ表示系統(tǒng)的功能作用,它取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與元件參數(shù)。系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0)與輸入激勵(lì)f(t)的函數(shù),即y(t)=ψ[y(0),f(t)],t≥0(1―16)當(dāng)系統(tǒng)的輸入激勵(lì)有多個(gè),系統(tǒng)的初始狀態(tài)也有多個(gè)時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)y(t)是這多個(gè)輸入激勵(lì)與多個(gè)初始狀態(tài)的函數(shù),即y(t)=ψ[x1(0),x2(0),…,f1(t),f2(t),…](1―17)1.2.1系統(tǒng)的分類(lèi)

系統(tǒng)可按多種方法進(jìn)行分類(lèi)。不同類(lèi)型的系統(tǒng)其系統(tǒng)分析的過(guò)程是一樣的,但系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不同,因而其分析方法也就不同。1.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)的輸入和輸出是連續(xù)時(shí)間變量t的函數(shù),叫作連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。輸入用f(t)表示,輸出用y(t)表示。2.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)是指具有線性特性的系統(tǒng),線性特性包括均勻性與疊加性。線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程和線性差分方程。系統(tǒng)具有疊加性是指當(dāng)若干個(gè)輸入激勵(lì)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是每個(gè)輸入激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)(此時(shí)其余輸入激勵(lì)為零)相應(yīng)輸出響應(yīng)的疊加,系統(tǒng)的均勻性和疊加性可表示如下:(1―18)疊加性:若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)則f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t)(1―19)線性特性要求系統(tǒng)同時(shí)具有均勻性和疊加性。線性特性可表示為若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)則a·f1(t)+b·f2(t)→a·y1(t)+b·y2(t)(1―20)式中a、b為任意常數(shù),上式如圖1.16所示。圖1.16系統(tǒng)的線性特性示意圖系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)絕對(duì)不應(yīng)與f(t)有關(guān),而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)也不應(yīng)與初始狀態(tài)有關(guān)。于是,當(dāng)線性系統(tǒng)既存在外部輸入激勵(lì)同時(shí)又具有初始狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)的輸出響應(yīng)必定是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加,稱(chēng)之為完全響應(yīng),以y(t)表示,即有y(t)=yx(t)+yf(t)(1―21)同理,對(duì)于具有線性特性的離散時(shí)間系統(tǒng),應(yīng)有以下表達(dá)式若f1[k]→y1[k],f2[k]→y2[k]

則a·f1[k]+b·f2[k]→a·y1[k]+b·y2[k](1―22)式中a、b為任意常數(shù)。同樣,系統(tǒng)的完全響應(yīng)可表示為y[k]=yx[k]+yf[k](1―23)例1―5判斷下列輸出響應(yīng)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)(其中y(0)為系統(tǒng)的初始狀態(tài),f(t)為系統(tǒng)的輸入激勵(lì),y(t)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng))。(1)y(t)=5y(0)+4f(t);(2)y(t)=2y(0)+6f2(t);(3)y(t)=4y(0)f(t)+3f(t);(4)y(t)=2t2y(0)+7(5)y(t)=4y(0)+4t(6)y(t)=6y2(0)+4f(t)(7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2(8)y(t)=4y(0)+3y2(0)+6f(t)+t2例1―6某線性離散系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

若初始狀態(tài)不變,激勵(lì)為-f[k]時(shí),響應(yīng)為例1―7已知某線性系統(tǒng),當(dāng)其初始狀態(tài)y(0)=2時(shí),系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)=6e-4t,t>0。而在初始狀態(tài)y(0)=8以及輸入激勵(lì)f(t)共同作用下產(chǎn)生的系統(tǒng)完全響應(yīng)y(t)=3e-4t+5e-t,t>0。試求:(1)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t);(2)系統(tǒng)在初始狀態(tài)y(0)=1以及輸入激勵(lì)為3f(t)共同作用下系統(tǒng)的完全響應(yīng)。解(1)由于y(0)=2時(shí)yx(t)=6e-4t(t>0),故有y(0)=8時(shí)yx(t)=24e-4t(t>0)。因此yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t(t>0)(2)同理,當(dāng)y(0)=1,3f(t)作用下,有y(t)=1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t(t>0)3.非時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng),如果在零狀態(tài)條件下,其輸出的響應(yīng)與輸入激勵(lì)的關(guān)系不隨輸入激勵(lì)作用于系統(tǒng)的時(shí)間起點(diǎn)而改變時(shí),就稱(chēng)為非時(shí)變系統(tǒng)。否則,就稱(chēng)為時(shí)變系統(tǒng)。非時(shí)變系統(tǒng)的特性沿時(shí)間軸是均勻的,當(dāng)輸入激勵(lì)延時(shí)一段時(shí)間作用于系統(tǒng)時(shí),其零狀態(tài)響應(yīng)也延時(shí)同樣的一段時(shí)間,且保持輸出的波形不變。這就是非時(shí)變特性,可表示為若f(t)→yf(t)則f(t-t0)→yf(t-t0)同理,對(duì)于非時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng),可表示為若f[k]→yf[k]則f[k-n]→yf[k-n]式中,n為任意整數(shù)。圖1.17非時(shí)變系統(tǒng)示意圖例1―8試判斷下列系統(tǒng)是否為非時(shí)變系統(tǒng):(1)y(t)=sin(f(t));(2)y(t)=cost·f(t);(3)y(t)=4f2(t)+3f(t);(4)y(t)=2t·f(t)。解判斷一個(gè)系統(tǒng)是否為非時(shí)變系統(tǒng),只需判斷當(dāng)輸入激勵(lì)f(t)變?yōu)閒(t-t0)時(shí),相應(yīng)的輸出響應(yīng)是否也由y(t)變?yōu)閥(t-t0)。因?yàn)橹簧婕跋到y(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),所以無(wú)需考慮系統(tǒng)的初始狀態(tài)。4.記憶系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)如果系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)僅決定于該時(shí)刻的激勵(lì),而與它過(guò)去的歷史無(wú)關(guān),則稱(chēng)之為即時(shí)系統(tǒng)(或無(wú)記憶系統(tǒng))。全部由無(wú)記憶元件(如電阻)組成的系統(tǒng)是即時(shí)系統(tǒng)。即時(shí)系統(tǒng)可用代數(shù)方程來(lái)描述。如果系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān),而且與它過(guò)去的歷史有關(guān),則稱(chēng)之為記憶系統(tǒng)(或動(dòng)態(tài)系統(tǒng))。含有動(dòng)態(tài)元件(如電容、電感)的系統(tǒng)是記憶系統(tǒng),記憶系統(tǒng)可用微分方程來(lái)描述。5.集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)僅由集總參數(shù)元件(如R、L、C等)所組成。對(duì)于集總參數(shù)系統(tǒng),人們認(rèn)為系統(tǒng)的電能僅儲(chǔ)存在電容中,磁能僅儲(chǔ)存在電感中,而電阻是消耗能量的元件,同時(shí)還認(rèn)為,在這樣的系統(tǒng)中電磁能量的傳輸不需要時(shí)間,作用于系統(tǒng)任何處的激勵(lì),能立即傳輸?shù)较到y(tǒng)各處。6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)是指當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)才產(chǎn)生輸出響應(yīng)的系統(tǒng)。這就是說(shuō),因果系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在輸入信號(hào)激勵(lì)之前。反之,不具有因果特性的系統(tǒng)稱(chēng)為非因果系統(tǒng)。一般地說(shuō),一個(gè)常系數(shù)線性微分方程式或差分方程式描述的系統(tǒng),如果當(dāng)t>0時(shí)輸入信號(hào)為零,而此時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)也為零。1.2.2系統(tǒng)模擬與相似系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的模擬通常由三種功能部件組成:積分器、相加器和數(shù)乘器,它們的時(shí)域表示符號(hào)如圖1.18所示。圖1.18連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬器件例1―9試用積分器、相加器和數(shù)乘器模擬二階線性微分方程y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)所描述的系統(tǒng)。解因?yàn)閥″(t)=-a1y′(t)-a0y(t)+f(t),所以,需一個(gè)相加器、兩個(gè)積分器和兩個(gè)數(shù)乘器組成該系統(tǒng)的模擬裝置,如圖1.19所示。圖1.19例1―9的模擬圖例1―10試模擬y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)所描述的系統(tǒng)。解因?yàn)楸纠?lì)部分中比上例多了一項(xiàng)b1f′(t)。我們?cè)谏侠幕A(chǔ)上作出該系統(tǒng)的模擬圖。設(shè)新變量q(t),它滿足方程q″(t)+

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