第二章點(diǎn)、直線、平面的投影

第一節(jié)投影法的基本知識(shí)第二節(jié)點(diǎn)的投影第三節(jié)直線的投影第四節(jié)平面的投影第五節(jié)直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置第二章點(diǎn)、直線、平面的投影一、投影的概念投影——空間物體在光線的照射下，在地上或墻上產(chǎn)生的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。投影法——在投影面上作出物體投影的方法稱為投影法?！?--1投影法的基本知識(shí)1、中心投影法：全部投影線都從一點(diǎn)投射出。H特性：投影大小與物體和投影面之間距離有關(guān)。二、投影法的分類投射中心投射線S投影面ABCabc2、平行投影法：所有投影線都相互平行。1）、正投影法：（主要學(xué)習(xí)此種投影方法）投射線互相平行且垂直于投影面特性：投影大小與物體和投影面之間距離無(wú)關(guān)。投射方向P投影面2）、斜投影法：投影線傾斜于投影面投射線互相平行但不垂直于投影面P特性：投影大小與物體和投影面之間距離無(wú)關(guān)。投射方向三、正投影法的主要特性1、點(diǎn)的投影：AHa

點(diǎn)的投影仍是一點(diǎn)。2、直線的投影：直線的投影一般情況下仍為直線，在特殊情況下聚為一點(diǎn)。1）、直線平形于投影面abABH在該面上的投影ab反映空間直線AB的真實(shí)長(zhǎng)度。即：ab=AB2）、直線CD垂直于投影面在該面上的投影有積聚性，其投影為一點(diǎn)HCDc（d）3）直線EF傾斜于投影面在該面上的投影長(zhǎng)度變短，即：ef=EFcosαEFefαH3、平面的投影

平面的投影一般仍是相類似的平面圖形，在特殊情況下積聚為直線。1）平面平行于投影面ABCabcH投影△abc反映空間平面△ABC的真實(shí)形狀。

真實(shí)性

2）、平面垂直于投影面DEFdefH在投影面上的投影積聚為直線。

積聚性

3）平面傾斜于投影面KLMKlmH投影△klm面積變小。

類似性

四、投影的基本性質(zhì)：

★1、真實(shí)性

★2、積聚性

★3、類似性

一個(gè)視圖不能完整地反映物體的空間形狀五、物體的三面投影圖1、三面投影圖的形成三投影面體系由三個(gè)相互垂直的投影面所組成正立投影面簡(jiǎn)稱正面。水平投影面簡(jiǎn)稱水平面。側(cè)立投影面簡(jiǎn)稱側(cè)面。兩投影面的交線稱為投影軸OX、OY、OZ。VHWXYZO2、物體在三投影面體系中的投影正面投影—由前向后投影；水平面投影—由上向下投影；側(cè)面投影—由左向右投影。3、三投影面的展開(kāi)VHWOXYHZYW側(cè)面W繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90ο。水平面H繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90ο。規(guī)定：正面V保持不動(dòng)。VHWXYZO俯長(zhǎng)主高上前后下上左右下前后右左4、位置關(guān)系和投影關(guān)系：5、方位關(guān)系俯視圖——在主視圖的下方左視圖——在主視圖的右方主、俯視圖—長(zhǎng)對(duì)正（等長(zhǎng)）主、左視圖—高平齊（等高）俯、左視圖—寬相等（等寬）主視圖—反映物體的上下和左右俯視圖—反映物體的前后和左右左視圖—反映物體的前后和上下注：俯、左視圖靠近主視圖的一邊，表示物體的后表面；遠(yuǎn)離主視圖的一邊，表示物體的前表面。左寬主左俯§2--2點(diǎn)的投影一、點(diǎn)在兩投影面體系中的投影過(guò)A作垂直于V、H面的投射線Aa′、Aa，分別與H面交于a，與V面交于a′，a、a′即為點(diǎn)A的兩面投影。VHOXAaa'VVHOX實(shí)際作圖時(shí)不畫(huà)投影面邊框。aa′axa′aOXHOXAaa′Vaxax點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：（1）、點(diǎn)的兩面投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸，即aa'⊥ox；（2）、點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離，即：a'ax=Aaaax=Aa'二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影aVHWOXYHYW

Za'a"XYHYWZOa'a"a規(guī)定：空間點(diǎn)A用大寫(xiě)字母表示，在H面的投影用a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。VHWXYZOa'aa"Aaxazay點(diǎn)的三面投影規(guī)律：（1）、點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz（2）、點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是該點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離。三、點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系：

將投影面體系當(dāng)作空間直角坐標(biāo)系，把V、H、W當(dāng)作坐標(biāo)面，投影軸ox、oy、oz當(dāng)作坐標(biāo)軸，o作為原點(diǎn)。點(diǎn)A的空間位置可以用直角坐標(biāo)（x，y，z）來(lái)表示。點(diǎn)A的x坐標(biāo)值=oax=aay=a'az=Aa"反映點(diǎn)A到W面的距離。Y坐標(biāo)值=oay=aax=a"az=Aa'反映點(diǎn)A到V面的距離。Z坐標(biāo)值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映點(diǎn)A到H面的距離。Oa"aywXYHYWZaa'axazayhxyza由點(diǎn)A的x、y值確定，a'由點(diǎn)A的x、Z確定，a"由點(diǎn)A的y、z值確定。VHWXYZOa'aa"Aaxazay例1、已知點(diǎn)的坐標(biāo)值為：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解：（1）量取坐標(biāo)值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作點(diǎn)的投影。102010例2、已知各點(diǎn)的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點(diǎn)對(duì)投影面的相對(duì)位置。ab'c點(diǎn)A的三個(gè)坐標(biāo)值均不為0，A為一般位置。點(diǎn)B的Z坐標(biāo)為0，故點(diǎn)B為H面上的點(diǎn)。點(diǎn)C的x、y坐標(biāo)為0，故點(diǎn)C為z軸上的點(diǎn)。bb"c'c"xyHywzoa'a"z四、兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)：1、兩點(diǎn)的相對(duì)位置要在投影圖上判斷空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，應(yīng)根據(jù)這兩點(diǎn)在每個(gè)的面投影關(guān)系和坐標(biāo)差來(lái)確定。例：由投影圖判斷A、B兩點(diǎn)的空間位置。aa'bb'XOYHYWZa"b"（1）由A、B兩點(diǎn)V、H面投影可確定點(diǎn)A在點(diǎn)B左方。（2）由A、B的H、W面投影可確定A在B前方。（3）由A、B的V、W面投影可確定A在B下方。因此點(diǎn)A位于點(diǎn)B左、前、下方。2、重影點(diǎn)重影點(diǎn)——空間兩點(diǎn)在一個(gè)面的投影重合于一點(diǎn)叫做重影點(diǎn)。

如圖：C、D兩點(diǎn)的水平投影證明影為一點(diǎn)。OXc（d）c'd'又因點(diǎn)C在點(diǎn)D的正上方，C點(diǎn)可見(jiàn)，D點(diǎn)被遮蓋。

作圖時(shí)不可見(jiàn)點(diǎn)加括號(hào)。結(jié)論：如果兩個(gè)點(diǎn)的某面投影重合時(shí)，則對(duì)該投影面的投影坐標(biāo)值大者為可見(jiàn)，小者為不可見(jiàn)。例：已知點(diǎn)D的三面投影，點(diǎn)C在點(diǎn)D的正前方15mm，求作點(diǎn)C的三面投影，并判別其投影的可見(jiàn)性。解：由已知條件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm∴點(diǎn)C、D在V面上的投影重影。

cc'c"又∵YC>YD∴C的V面投影為可見(jiàn)點(diǎn)，則D的V面投影為不可見(jiàn)點(diǎn)。YHd'OXYWZdd"()YWZVHXOAa'a"aBb'bVHWXYZbBAb'b"a"aa'WVHXYOZABaba"b"(b')a'XYWYHZaa"bb"c"cc'a'b'1、點(diǎn)A在V面上，故YA=02、點(diǎn)B在X軸上，故ZB=YB=03、點(diǎn)C在原點(diǎn)上，故Zc=Yc=Xc=0XYWOYHZaa"bb"a'b'XYWOYHZaa"bb"a'（b‘）點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方（ZA＞ZB)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右方（XA＜XB)點(diǎn)A在點(diǎn)B的前方（YA＞YB)點(diǎn)A在點(diǎn)B的正前方(XA=XBZA=ZB,YA＞YB)點(diǎn)A和點(diǎn)B稱為V面上的重影點(diǎn)?！?--3直線的投影一、直線的投影：直線的投影一般為直線，可由直線上兩點(diǎn)的同面投影連線確定。例：已知直線AB端點(diǎn)坐標(biāo)為A（20，15，5）,B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaa'a"bb'b"二、各種位置直線的投影特性1、一般位置直線YWOXYHZaa'a"bb'b"直線的三面投影長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)，三面投影均傾斜于投影軸，但不反映空間直線對(duì)投影面傾角的大小。VHWXYZABβαγaba'b'a"b"2、投影面平行線OXYHYWZaa'a"bb'b"1）、水平線：平行于H面，對(duì)V、W面傾斜水平投影ab=AB正面投影a'b'∥OX，側(cè)面投影a"b"∥OYwβγab與OX、OYH的夾角β、γ等于AB對(duì)V、W面的傾角。VHWXYZbAb'b"a"aa'Bβγ2）、正平線：平行于V，對(duì)H、W傾斜O(jiān)XYHYWZcdc'd'c"d"αγ正面投影c'd'=CD水平投影cd∥OX側(cè)面投影c"d"∥OZc'd'與OX、OZ的夾角α、γ等于CD對(duì)H、W面的傾角。YWZVHXc"Dd"cdc'd'3）、側(cè)平線：平行于W面，對(duì)V、H面傾斜側(cè)面投影e"f"=EF水平投影ef∥OYH，正面投影e'f'∥OZ。e"f"與OYW、OZ的夾角α、β等于EF對(duì)V、H面的傾角。OXYHYWZαβefe'f'e"f"WVHXYOZFEfef"e"e'f'1、a′b′=AB=實(shí)長(zhǎng)2、ab∥OX軸,a"b"∥OZ軸3、β=0°α、γ反映實(shí)際大小

1、ab=AB=實(shí)長(zhǎng)2、a′b′∥OX軸,a"b"∥OYW軸3、α=0°β、γ反映實(shí)際大小

YWZVHXa"ABb"aba'b'正平線VHWXYZbAb'b"a"aa'B水平線XYWYHZaa"bb"a'b'OαγXYWOYHZaa"bb"a'b'γβWVHXYOZABaba"b"b'a'側(cè)平線XYWOYHZaa"bb"a'b'1、a"b"=AB=實(shí)長(zhǎng)2、a′b′∥OZ軸,ab∥OYH軸3、γ=0°β、α反映實(shí)際大小

投影面平行線的投影特性1、直線在所平行的投影面上的投影反映直線的實(shí)際長(zhǎng)度。2、直線在另外兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的軸（所平行投影面上的坐標(biāo)軸）。3、投影面垂直線1）、鉛垂線：直線⊥H面，∥V、W面。OXYHYWZa（b）a'b'a"b"水平投影積聚為一點(diǎn)。a'b'=a"b"=ABa'b'⊥OX，a"b"⊥OYW2）、正垂線：直線⊥V面，∥H、W面。OXYHYWZcdc'(d')c"d"正面投影積聚為一點(diǎn)。cd=c"d"=CDcd⊥OX，c"d"⊥OZ3）、側(cè)垂線：直線⊥W面，∥H、V面。OXYHYWZefe'f'e''（f"）側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)。ef=e'f'=EFef⊥OYH，e'f'⊥OZ。1、V面投影積聚為一點(diǎn)。2、a"b"=ab=AB=實(shí)長(zhǎng)3、ab⊥OX軸,a"b"⊥OZ軸β=90°α、γ=0°XYWYHZaa"bb"Oa'b'()VHWXYZAb'b"a"a'B鉛垂線a(b)1、H面投影積聚為一點(diǎn)。2、a"b"=a'b'=AB=實(shí)長(zhǎng)3、a'b'⊥OX軸,a"b"⊥OYW軸α=90°β、γ=0°

XYWOYHZa"b"a'b'a(b)XYWOYHZaba'b'a"(b")WVHXYZABabb'a'側(cè)垂線a"(b")1、w面投影積聚為一點(diǎn)。2、a'b'=ab=AB=實(shí)長(zhǎng)3、ab⊥OYH軸,a'b'⊥OZ軸γ=90°α、β=0°YWZVHXa"ABb"ab正垂線ABa'b'()投影面垂直線的投影特性1、直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。2、直線在另外兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的軸（所垂直投影面上的坐標(biāo)軸），且反映實(shí)際長(zhǎng)度。三、直線上的點(diǎn)1、從屬性：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的各面投影必定在該直線的同面投影上；反之，點(diǎn)的各面投影均在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必在此直線上。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"2、定比性：直線上的點(diǎn)分割直線之比，在投影后保持不變。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"即：AK:KB=ak:kb=a'k':k'b'=a"k":k"b"例1、試在直線AB上取一點(diǎn)C，使AC:CB=1:2，求作C點(diǎn)。解：分點(diǎn)C的投影必在AB的同面投影上。且ac:cb=a'c':c'b'=1:2OXaba'b'123cc'例2、已知直線CD及點(diǎn)M的兩面投影，判斷M是否在CD上。解1、OXcdc'd'mm'作側(cè)平線CD和點(diǎn)M的側(cè)面投影，由作圖知點(diǎn)M的側(cè)面投影不在cd上，所以M不在CD上。c"d"m"zYHYW解2、在H面作任一直線cE，使cE=c'd'。并截取cM1=c'm'EM1連dE，過(guò)M1作dE的平行線與cd交于m1mOXcdc'd'm'm1因?yàn)閙1與m不重合，所以M不在CD上。四、兩直線相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為平行、相交、交叉1、平行兩直線：投影特性：空間兩直線相互平行，它們的各組同面投影必定相互平行。ABCDabcd反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則兩直線在空間一定平行。★平行的兩直線是共面的直線。2、相交兩直線abcdABCDKkK是兩直線的共有點(diǎn)，∴K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交點(diǎn)K的三面投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。★相交的兩直線是共面的直線。OXZYHYWabcdka'b'c'd'k'a"b"c"d"k"3、交叉兩直線在空間即不平行也不相交的兩直線為交叉兩直線。同面投影可能相交，但不符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律。如圖示aa'bb'cc'dd'AB兩面投影的交點(diǎn)連線不⊥OX軸，∴為交叉兩直線?！锝徊娴膬芍本€是異面的直線。aa'bb'cc'dd'投影的交點(diǎn)并不是空間兩直線真正的交點(diǎn)，而是兩直線上相應(yīng)點(diǎn)投影的重影點(diǎn)。對(duì)重影點(diǎn)應(yīng)區(qū)分其可見(jiàn)性，即根據(jù)重影點(diǎn)對(duì)同一投影面的坐標(biāo)值大小來(lái)判斷坐標(biāo)值大者為可見(jiàn)點(diǎn)，小者為不可見(jiàn)點(diǎn)。11'22'33'44'()()例1、判斷兩直線的相對(duì)位置OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'交點(diǎn)的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩直線?！遖b與cd在一直線上，而ab∥cd，∴兩直線平行?！逤D為側(cè)平線，利用點(diǎn)分割線段成比例進(jìn)行判斷。為交叉兩直線。Emk例2、過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。dd'先作CD的正面投影kk'aa'bb'cc'??例3、已知：兩直線AB、CD的投影及點(diǎn)M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點(diǎn)。·aa'bb'cc'dd'mOXnn'm'作圖：過(guò)m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過(guò)n'作n'm'∥c'd'，求得m'。點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。點(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。點(diǎn)分割直線成定比——定比定理。

小結(jié)§2--4平面的投影一、平面的表示法用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點(diǎn)。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直線和線外一點(diǎn)。c'ca'ab'b相交兩直線。b'ba'ac'cdd'平行兩直線。b'ba'ac'c任意平面形。二、各種位置平面的投影

鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫鎮(zhèn)绕矫嫫叫杏谀骋煌队懊娲怪庇谀骋煌队懊嫣厥馕恢闷矫鎸?duì)三個(gè)投影面都傾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1、投影面垂直面垂直于某一個(gè)投影面，而傾斜于其余兩個(gè)投影面的平面為投影面垂直面。垂直的投影面上投影有積聚性其余兩投影面的投影為類似形OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"βγ1、V面投影積聚成一條直線，且反映α、γ的真實(shí)大小。β

=90°2、H、W投影均為原平面的類似形YWZVHXa"ABb"ab正垂面CDcda'(d')b'(c')c"d"1、H面投影積聚成一條直線，且反映β、γ的真實(shí)大小。α=90°2、V、W投影均為原平面的類似形XYWYHZaa"bb"Oαγc"d"ca'(d')b'(c')dVHWXYZAb'b"a"a(c)a'B鉛垂面b(d)CDc'd'YWXOYHZa(c)a"b"a'b'γβc'd'c"d"b(d)WVHXYZABabb'a'側(cè)垂面dCDcc'd'a"(c")b"(d")1、W面投影積聚成一條直線，且反映β、α的真實(shí)大小。γ

=90°2、V、H投影均為原平面的類似形XYWOYHZaba'b'c'd'cdb"(d")a"(c")αβ

投影面垂直面的投影特性：

平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線；

其余兩投影面仍為原形的類似形，但比實(shí)形??；

平面具有積聚性的投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。2、投影面平行面平行于某一個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面，該平面必然垂直于其余兩個(gè)投影面。OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形積聚為直線，并平行于相應(yīng)的投影軸V面投影反映實(shí)形，H、W投影積聚成一條直線，且分別平行與OX軸、OZ軸YWXYWYHZab(c)b"Oαγa'b'c'a"(c")VHWXYZAb"aa'B水平面bCc'a"(c")db'(c')cb'(c')XOYHZab"a'γβd'ba"(c")H面投影反映實(shí)形，V、W投影積聚成一條直線，且分別平行與OYW軸、OX軸YWZVHXABb"ab(c)正平面Cda'b'c"d"a"(c")Cc'a'(c')WVHXYZABab'側(cè)平面Ca"b"b(c)c"XYWOYHZab'b"a"αβb(c)a'(c')c"W面投影反映實(shí)形，V、H投影積聚成一條直線，且分別平行與OYH軸、OZ軸投影特性

平面在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；

其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應(yīng)的投影軸。3、一般位置平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面。其特性為：1、它的各面投影均不反映實(shí)形，也不具有積聚性。2、不直接反映該平面與投影面的傾角。OXYWYHZaa'a"bb'b"cc'c"三、平面上的點(diǎn)和直線1、平面上的點(diǎn)和直線定理一：若點(diǎn)在平面內(nèi)，它必在平面內(nèi)的一條直線上。定理二：若一直線過(guò)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且平行于該平面上另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。定理三：若直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。例1、已知△ABC平面內(nèi)點(diǎn)K的V面投影k'，求作K的H面投影。解1OXaa'bb'cc'OXaa'bb'cc'解2··d'dk'kk'm'mk例2、已知四邊形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。解1OXaa'bb'cc'd'de'eOXaa'bb'cc'd'解2e'ed2、平面上的投影面平行線凡在平面上且平行于某一投影面的直線，稱為平面上的投影面平行線。

平面內(nèi)的水平線——直線在平面內(nèi)，又平行于水平面的直線。平面內(nèi)的正平線——直線在平面內(nèi)，又平行于正面的直線。平面內(nèi)的側(cè)平線——直線在平面內(nèi)，又平行于側(cè)面的直線。例3、作△ABC平面內(nèi)的正平線，它距V面為8mm。OXaa'bb'cc'因?yàn)檎骄€的水平投影平行于OX，先作34∥OX，使其距V面8mm，再求出3'4'。3483'4'例4、在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K距V面8mm，距H面12mm。OXaa'bb'cc'解：128122'1'33'44'kk'四、特殊位置圓的投影1、與投影面平行的圓

當(dāng)圓平行于某一投影面時(shí)，圓在該投影面上的投影仍為圓，其余兩投影積聚為直線，其長(zhǎng)度等于圓的直徑，且平行于相應(yīng)的投影軸。OXYHYWZ2、與投影面垂直的圓當(dāng)圓與投影面垂直時(shí)，圓在它所垂直的投影面上的投影積聚為直線，其余兩投影為橢圓。XOaa'bb'cc'dd'§2--5直線與平面、平面與平面

之間的相對(duì)位置一、直線與平面、平面與平面平行

1、直線與平面平行定理：直線平行于平面上的某一條直線。即：如果直線平行于平面，則直線的各面投影必與平面上一直線的同面投影平行。例1、過(guò)點(diǎn)M作直線MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'無(wú)數(shù)解例2、過(guò)點(diǎn)M作直線MN平行于V面和△ABC。解：正平線abcmm'a'b'c'∵△ABC為正垂面，∴直線MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又∵M(jìn)N為正平線，∴mn平行于OX軸。n'n有唯一解有多少解？

當(dāng)直線與垂直于投影面的平面平行時(shí)，在平面垂直的投影面上，直線的投影平行于平面有積聚性的同面投影。2、平面與平面平行幾何條件：1）、若一個(gè)平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則兩平面相互平行。2）、若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'例3、過(guò)點(diǎn)K作平面平行于△ABC解：??a'ab'bc'ck'k分析：按幾何條件，只要過(guò)點(diǎn)K作兩相交直線KL、KH對(duì)應(yīng)地平行于已知平面的一對(duì)相交直線，此平面即為所求。作圖：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'例4、判別如圖所示的兩平面是否平行。解：1'12'(2)3'34'(4)a'ab'bc'c因兩平面均為鉛垂面，在H面的投影互相平行，所以兩平面平行。二、直線與平面、平面與平面相交1、直線與平面相交

交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。討論：（1）求直線與平面的交點(diǎn)；（2）判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。

只討論平面與直線中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。1）、一般位置直線與特殊位置平面相交例1、求直線AB與鉛垂面△DEF的交點(diǎn)K，并判別可見(jiàn)性。分析：因△DEF的水平投影def有積聚性，交點(diǎn)K是△DEF內(nèi)的點(diǎn)，它必在def上，又因K是AB上的點(diǎn)，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。a'ab'bd'de'ef'fkk'1'1(2')2例2、求直