第七章 線性代數(shù)方程組的直接法

第七章線性方程組的直接解法問題驅(qū)動(dòng)：投入產(chǎn)出分析

投入產(chǎn)出分析是20世紀(jì)30年代由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家首先提出的，它是研究整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門之間“投入”與“產(chǎn)出”關(guān)系的線性模型，一般稱為投入產(chǎn)出模型。國民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門之間存在著相互依存的關(guān)系，每個(gè)部門在運(yùn)轉(zhuǎn)中將其它部門的成品或半成品經(jīng)過加工（稱為投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（稱為產(chǎn)出），如何根據(jù)各部門之間的投入-產(chǎn)出關(guān)系，確定各部門的產(chǎn)出水平，以滿足社會(huì)的需求，是投入產(chǎn)出綜合平衡模型研究的問題，試討論如下簡(jiǎn)化問題。

設(shè)國民經(jīng)濟(jì)僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門構(gòu)成，已知某年它們之間的投入和產(chǎn)出關(guān)系、外部需求、初始投入等如表7.1.1所示（數(shù)字表示產(chǎn)值，單位為億元）。表7.1.1國民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門間的關(guān)系表中第一行數(shù)字表示農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出為100億元，其中15億元農(nóng)產(chǎn)品用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)本身，20億元用于制造業(yè)，30億元用于服務(wù)業(yè)，剩下的35億元農(nóng)產(chǎn)品用于滿足外部需求。類似地可以解釋第二、三行數(shù)字。第一列數(shù)字中，15億元如前所述，30億元是制造業(yè)對(duì)農(nóng)業(yè)的投入，20億元是服務(wù)業(yè)對(duì)農(nóng)業(yè)的投入，35億元的初始投入包括工資、稅收、進(jìn)口等，總投入100億元和總產(chǎn)出相等。假定每個(gè)部門的產(chǎn)出和投入是成正比的，由表7.1.1能夠確定這三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表，如表7.1.2所示。表7.1.2投入產(chǎn)出表表中的第一行，第二列的數(shù)字表示生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)值的制造業(yè)產(chǎn)品需要投入0.10個(gè)單位的產(chǎn)值的農(nóng)產(chǎn)品，同樣第三行、第一列的數(shù)字表示，生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)值的農(nóng)產(chǎn)品需要0.20個(gè)單位的服務(wù)業(yè)產(chǎn)值。表7.1.2的數(shù)字稱為投入系數(shù)和消耗系數(shù)，如果技術(shù)水平?jīng)]有變化，可以假設(shè)投入系數(shù)是常數(shù)。已知投入系數(shù)如表7.1.2所示，若今年對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50、150、100億元，試計(jì)算三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別為多少？若共有n個(gè)部門，記一定時(shí)期內(nèi)第i個(gè)部門的總產(chǎn)出為xi,其中對(duì)第j個(gè)部門的投入為xij，滿足的外部需求為di，則

(1)記第j個(gè)部門的單位產(chǎn)出需要第i個(gè)部門的投入為aij，在每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入成正比的假定下，有(2)投入系數(shù)即為aij，將(2)式代入(1)）式得方程組

用矩陣表示為或(3)因此投入產(chǎn)出模型最終可歸結(jié)為求解線性方程組的問題，下面介紹求解線性方程組數(shù)值方法。AX=b（7.1）

線性方程組數(shù)值解法的分類直接法（適用于中等規(guī)模的n階線性方程組）

◆Gauss消去法及其變形

◆矩陣的三角分解法迭代法（適用于高階線性方程組）

◆Jacobi迭代法

◆

Gauss-Seidel迭代法

◆逐次超松弛法

◆共軛斜量法§1高斯消去法1．三角形方程組的解法---回代法（7.2）（7.3）

2．順序高斯消去法

基本思想：通過消元將上述方程組化為三角形方程組進(jìn)行求解。解n階方程組的順序高斯消去法的一般步驟：Step1：第一次消元消元因子Stepk：第k次消元消元因子共進(jìn)行？步n

1三角方程組消元過程回代過程求解得：主元素注：若第一個(gè)主元素為0，因A為非奇異矩陣，可把第一列的非零元素所在的行調(diào)整到第一行即可。高斯消去法仍然可用。消元公式回代公式順序Gauss消去法可執(zhí)行的前提引理給定線性方程組，按順序Gauss消去法所形成的各主元素均不為零，從而Gauss消去法可順利執(zhí)行的充要條件是n階方陣的所有順序主子式都不為零，即推論：如果A的順序主子式不等于0，則(k=2,3,…,n)定理7.2：若A的所有順序主子式

/determinantofleadingprincipalsubmatrices/均不為0，則高斯消元無需換行即可進(jìn)行到底，得到唯一解。定理7.1：如果A非奇異，即A1存在，則可通過逐次消元及行交換，將方程組化為三角形方程組，求出唯一解。順序Gauss消去法的計(jì)算量消元過程：k乘除法加減法1(n-1)+n(n-1)n(n-1)2(n-2)+(n-1)(n-2)(n-1)(n-2)﹕﹕﹕n-11+22總計(jì)其中，乘除法計(jì)算量總計(jì)：加減法計(jì)算量總計(jì)：回代過程：乘除法計(jì)算量：加減法計(jì)算量：引入主元素法的原因：舉例用高斯消去法解方程組用四位浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，精確解舍入到4位有效數(shù)字為3.高斯主元素消去法解：［方法１］用順序高斯消去法求解計(jì)算解為與精確解相比顯然計(jì)算解是一個(gè)很壞的結(jié)果，不能作為方程組的近似解，其原因是：我們?cè)谙?jì)算時(shí)用了小主元0.001，使得約化后的方程組元素的數(shù)量級(jí)大大增長(zhǎng)，使得在計(jì)算中發(fā)生嚴(yán)重的舍入誤差，因此產(chǎn)生了較大的誤差！［方法2］交換行，避免絕對(duì)值小的主元素作除數(shù)改進(jìn)措施：對(duì)一般矩陣，最好每一步選取系數(shù)矩陣（或消元后的低階矩陣）中絕對(duì)值最大的元素作為主元素，以使高斯消去法具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性！得計(jì)算解為本例啟發(fā)：在采用高斯消去法解方程組時(shí)，小主元可能產(chǎn)生麻煩，故應(yīng)避免采用絕對(duì)值小的主元素。完全主元素法設(shè)增廣矩陣為第一步：首先在A中選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素；然后交換到第一行、第一列的位置；再進(jìn)行第一次消元，得矩陣(A(1)|b(1))→(A(2)|b(2))(1)消元過程第k步：在矩陣A(k)的右下方(n-k+1)階子矩陣中選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素；并通過行與列的互換將它換到第k行第k列的位置，然后進(jìn)行第k次消元，得矩陣(A(k)|b(k))→(A(k+1)|b(k+1))第n-1步：經(jīng)過n-1次消元，將原方程組化為其中,y1,y2,…,yn為未知數(shù)x1,x2,…,xn調(diào)換后的次序。(2)回代過程完全主元素消去法的特點(diǎn)：1.在選主元素時(shí)要花費(fèi)較多機(jī)器時(shí)間。2.實(shí)時(shí)紀(jì)錄x順序的變化情況。3.實(shí)質(zhì)為選主元的高斯消去法。

列主元素消去法選主元時(shí)僅考慮按列選取，然后換行使之變到主元位置上，再進(jìn)行消元計(jì)算。列主元消去法的特點(diǎn)：（1）能夠得到較高精度要求的解，數(shù)值穩(wěn)定性好；（2）計(jì)算量較完全主元素法大大減少。列主元Gauss消去法計(jì)算步驟：1、輸入矩陣階數(shù)n，增廣矩陣

A(n,n+1);2、對(duì)于(1)按列選主元：選取l使

(2)如果，交換A(n,n+1)的第k行與第l

行元素(3)

消元計(jì)算：3、回代計(jì)算高斯—約當(dāng)消去法(Gauss-Jordan)基本思想：同時(shí)消去對(duì)角線上方和下方的元素。特點(diǎn)：(1)消元和回代同時(shí)進(jìn)行；(2)乘除法的次數(shù)要比高斯消去法大。第一次消元(與高斯消去法不相同)第二次消元具體實(shí)現(xiàn)…故方程組的解為第一步：選主元，在第一列中選絕對(duì)值最大的元素，設(shè)第k行為主元行，將主元行換至第一行，將第一個(gè)方程中x1的系數(shù)變?yōu)?，并從其余n–1個(gè)方程中消去x1。第二步：在第二列后n–1個(gè)元素中選主元，將第二個(gè)方程中

x2的系數(shù)變?yōu)?，并從其它n–1個(gè)方程中消去x2。第k步：在第k列后n–k個(gè)元素中選主元，換行，將第k個(gè)方程xk的系數(shù)變?yōu)?，從其它n-1個(gè)方程中消去變量xk…………高斯—約當(dāng)消去法步驟消元公式為：對(duì)k=1,2,…,按上述步驟進(jìn)行到第n步后，方程組變?yōu)椋杭礊樗蟮慕庾ⅲ篏auss-Jordan消元法實(shí)際上就是將方程組的系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣。Gauss-Jordan消去法的應(yīng)用（1）解線性方程組系設(shè)要解的線性方程組系為：AX=b1,AX=b2,…AX=bm上述方程組系可以寫為AX=B=(b1,…,bm)因此 X=A-1B即為線性方程組系的解。

在計(jì)算機(jī)上只需要增加幾組右端常數(shù)項(xiàng)的存貯單元，其結(jié)構(gòu)和解一個(gè)方程組時(shí)一樣。行系數(shù)右端（2）求逆矩陣設(shè)A=(aij)nn是非奇矩陣，A

0，且令由于AA-1=AX=I因此，求A-1的問題相當(dāng)于解下列線性方程組相當(dāng)于（1）中m=n,

B=I的情形。

（3）求行列式的值用高斯消去法將

A化成上三角形例

用Gauss-Jordan消去法解方程組

，并求出

其中解：把系數(shù)矩陣、單位矩陣和右端項(xiàng)組成增廣矩陣，對(duì)增廣矩陣實(shí)行Gauss-Jordan消元過程。故，系數(shù)矩陣的逆為矩陣的三角分解法高斯消去法的矩陣形式

每一步消去過程相當(dāng)于左乘初等下三角矩陣Lk記其中，記其中，一般的，對(duì)A

的

LU

分解(LUfactorization)記則其中，于是矩陣三角分解的定義定義1設(shè)A為nn實(shí)矩陣，如果存在下三角矩陣L與上三角矩陣U，使得A=LU，則稱之為矩陣A的三角分解；若存在單位下三角矩陣L，對(duì)角矩陣D及單位上三角矩陣R，使得A=LDR,則稱之為矩陣A的LDR分解。注：（1）L為單位下三角陣而U為一般上三角陣的分解稱為Doolittle

分解；（2）L為一般下三角陣而U為單位上三角陣的分解稱為Crout分解。

定理2：設(shè)A為nn實(shí)矩陣，如果求解AX=b用順序高斯消去法能夠完成（即），則矩陣A可分解為單位下三角矩陣L與上三角矩陣U的乘積，即

A=LU且這種分解是唯一的。

矩陣三角分解的存在性直接三角分解法直接從矩陣A的元素得到計(jì)算L、U元素的遞推公式，而不需任何中間步驟，這就是所謂的直接三角分解法。進(jìn)行矩陣三角分解的意義若A實(shí)現(xiàn)了LU分解，則Ax=b(LU)x=bLy=bUx=y矩陣的三角分解法舉例解方程組解：系數(shù)矩陣為于是求解原方程組可轉(zhuǎn)化為如下兩個(gè)三角形方程組：解得解得Ly=bUx=y???思考:能否不通過高斯消去法而直接獲得系數(shù)矩陣的三角分解呢？即單位下三角陣上三角陣解：令由矩陣相等的定義得1矩陣的這種分解稱為Doolittle分解杜利特爾

Doolittle分解法：通過比較法直接導(dǎo)出L和U的計(jì)算公式。思路LU分解求解線性方程組直接三角分解法解AX=b的計(jì)算公式對(duì)于r=2,3,…,n計(jì)算（2）計(jì)算U的第r行元素

（3）計(jì)算L的第r列元素(r

n)(1)(4)(5)例用矩陣的三角分解法解方程組Doolittle分解法的變形緊湊格式的Doolittle分解法例所以緊湊格式的列主元Doolittle三角分解法例Gauss消去法的變形1．矩陣的LDR分解定理3：如果n階矩陣A的所有順序主子式均不等于零，則矩陣A存在唯一的分解式A=LDR，其中L和R分別是n階單位下三角陣和單位上三角陣，D是對(duì)角元素不為零的n階對(duì)角陣，上述分解稱為A的LDR分解。推論1(對(duì)稱陣的三角分解定理Th7.7)設(shè)A為n階對(duì)稱陣，且A的所有順序主子式均不為零，則A可唯一分解為A=LDLT其中，L為單位下三角陣，D為對(duì)角陣.證：因?yàn)锳的所有順序主子式不為零,故A有唯一的LU分解。將U再分解為其中，D為對(duì)角陣，U0為單位上三角陣，于是又由分解的唯一性得即對(duì)稱正定陣定義及性質(zhì)定義A為對(duì)稱正定陣(3)A的特征值。(1)A是非奇異矩陣，且A-1亦是對(duì)稱正定陣；(2)A的順序主子式都大于零，即

1、性質(zhì)2、對(duì)稱正定陣的判別方法(充分條件)A為對(duì)稱矩陣A為對(duì)稱矩陣2．平方根法

如果A為對(duì)稱正定矩陣，則存在一個(gè)實(shí)的非奇異下三角矩陣，使A=LLT，且當(dāng)限定的對(duì)角元素為正時(shí)，這種分解是唯一的，稱為矩陣A的cholesky分解。定理4：（對(duì)稱正定矩陣的三角分解Th7.8）證明：由推論1可知A可分解為則由于對(duì)于任意非零向量x，y=(LT)-1x也為非零向量，于是由A的正定性即D正定，所以D的對(duì)角元素均為正數(shù)，令則將對(duì)稱

正定陣

A做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn記為

A對(duì)稱即記D1/2=則仍是下三角陣，且有對(duì)稱正定陣cholesky分解的實(shí)現(xiàn)平方根法思路(與直接三角分解法解線性方程組類似推導(dǎo)公式)（1）將對(duì)稱正定矩陣A分解為比較A與LLT的相應(yīng)元素，可得計(jì)算公式分解唯一Th7.8設(shè)n階對(duì)稱正定矩陣A有分解

,先用待定系數(shù)法求L的元素用平方根法解線性代數(shù)方程組的計(jì)算步驟（1）對(duì)矩陣A進(jìn)行Cholesky分解A=LLT，由矩陣乘法得：當(dāng)j=1時(shí)，對(duì)j=2,3,…,n，由可得可得由（2）求解Ly=b

（3）求解LTx=yAx=b(LLT)x=bLy=bLTx=y用平方根法求解對(duì)稱正定方程組時(shí)不需選取主元由可知因此因此，平方根法是數(shù)值穩(wěn)定的。平方根法的穩(wěn)定性和計(jì)算量平方根法計(jì)算量:n3/6（是LU分解的計(jì)算量的一半）。中間量得以控制，誤差不會(huì)放大。優(yōu)點(diǎn)：1、數(shù)值穩(wěn)定。2、計(jì)算量小，大約為次乘除法，是一般矩陣A的LU分解計(jì)算量的一半。缺點(diǎn)：平方根法的優(yōu)缺點(diǎn)：計(jì)算時(shí)要開平方。

設(shè)n階對(duì)稱正定矩陣A有分解

。其中L為單位下三角陣，D為對(duì)角陣。即

3．改進(jìn)平方根法

=1

求解對(duì)稱正定方程組Ax=b的改進(jìn)平方根法(計(jì)算公式)：1．分解計(jì)算令為tij故有1、計(jì)算量小，同平方根方法一樣，是一般矩陣A的

LU分解(消元法)計(jì)算量的一半，是目前解對(duì)稱正定矩陣方程組的有效方法。3、精度較高。2、計(jì)算簡(jiǎn)單(沒有開方運(yùn)算)。改進(jìn)平方根法的優(yōu)點(diǎn)例用改進(jìn)的平方根法求解方程組分析：顯然系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣,再由TH7.7可進(jìn)行LDLT分解解1）分解2）求解計(jì)算方程組的解：解三對(duì)角方程組的追趕法三對(duì)角方程組（1）對(duì)角占優(yōu)矩陣:記三對(duì)角方程組（1）為:其中，追趕法設(shè)A為滿足對(duì)角占優(yōu)條件的n階三對(duì)角陣，A=LU

—杜里特爾分解A=LU—Cront分解A=LDLT(一般三角分解)(追趕分解法)(平方根法)則有唯一三角分解A=LU由矩陣乘法，得:追趕法計(jì)算公式（1）分解計(jì)算公式()：（2）求解逆推公式

（3）求解逆推公式追趕法的本質(zhì)追趕法的計(jì)算量和數(shù)值穩(wěn)定性

追趕法的計(jì)算量比較小

追趕法是數(shù)值穩(wěn)定的因?yàn)棣?β,γ有界§5向量和矩陣的范數(shù)

一．向量范數(shù)定義1：設(shè)XRn，Ｘ

表示定義在Rn上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，稱之為X的范數(shù)，它具有下列性質(zhì)：（3）三角不等式：即對(duì)任意兩個(gè)向量X、YRn，恒有

(1)非負(fù)性：即對(duì)一切XRn，X

0,Ｘ>0(2)齊次性：即對(duì)任何實(shí)數(shù)aR，XRn，在Rn上的向量x=(x1,…,xn)T∈Rn，三種常用的范數(shù)為：稱為∞－范數(shù)或最大范數(shù)稱為1－范數(shù)稱為2－范數(shù)稱為p－范數(shù)常用的向量范數(shù)舉例：計(jì)算向量x=(1,-2,3)T的各種范數(shù).解：向量范數(shù)的性質(zhì)定義2：如果Rn中有兩個(gè)范數(shù)||x||s與||x||t，存在常數(shù)m,M>0，使對(duì)任意n維向量x，有則稱這兩個(gè)范數(shù)等價(jià).注：對(duì)兩種等價(jià)范數(shù)而言，某向量序列在其中一種范數(shù)意義下收斂時(shí)，則在另一種范數(shù)意義下也收斂。定理1：定義在Rn上的向量范數(shù)

是變量X分量的

一致連續(xù)函數(shù)。定理2：在Rn上定義的任一向量范數(shù)

都與范數(shù)

等價(jià)，

即存在正數(shù)

M與m(M>m)

對(duì)一切XRn，不等式成立。推論：Rn上定義的任何兩個(gè)范數(shù)都是等價(jià)的。

對(duì)常用范數(shù)，容易驗(yàn)證下列不等式：

定義3：設(shè)給定Rn中的向量序列{}，即其中若對(duì)任何i(i=1,2,…,n)都有則向量

稱為向量序列{}的極限，或者說向量序列{}依坐標(biāo)收斂于向量，記為定理3：向量序列{Xk}依坐標(biāo)收斂于X*的充要條件是向量序列依范數(shù)收斂與依坐標(biāo)收斂是等價(jià)的。二、矩陣范數(shù)1.矩陣范數(shù)的定義設(shè)對(duì)任意矩陣A∈Rn×n，按一定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為‖A‖，若‖A‖滿足則稱‖A‖為矩陣A的范數(shù)。正定性三角不等式矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性相容性定理4：設(shè)n

階方陣A=(aij)nn，則（Ⅰ）與相容的矩陣范數(shù)是（Ⅱ）與相容的矩陣范數(shù)是其中1為矩陣ATA的最大特征值。（Ⅲ）與相容的矩陣范數(shù)是上述三種范數(shù)分別稱為矩陣的1-范數(shù)、2-范數(shù)和∞-范數(shù)。2.常用的矩陣范數(shù)可以證明,對(duì)方陣和，有

(向量||·||2的直接推廣)Frobenius范數(shù):注：（1）（2）矩陣的Frobenius范數(shù)不是算子范數(shù)。舉例：計(jì)算A的各種范數(shù).解：下面計(jì)算2-范數(shù)令即故最大的特征值為所以例5:設(shè)A＝(aij)∈M.定義證明：這樣定義的非負(fù)實(shí)數(shù)不是相容的矩陣范數(shù).證明：設(shè)從而3．矩陣的范數(shù)與特征值之間的關(guān)系定理5：(Th7.16)矩陣A譜半徑不超過A的任一矩陣范數(shù)，即

定義4：矩陣A的所有特征值的最大絕對(duì)值稱為A的譜半徑，記為：(Th7.17)如果A為對(duì)稱矩陣，則

注:Rn×n中的任意兩個(gè)矩陣范數(shù)也是等價(jià)的。定義6：設(shè)給定Rn×n中的矩陣序列{

}，若則稱矩陣序列{}收斂于矩陣A，記為稱為A與B之間的距離。定義5：設(shè)為上的矩陣范數(shù)，定理6（TH7.18）如果，則為非奇異矩陣，且其中，是指矩陣的算子范數(shù)。定理7（TH8.2）設(shè)B∈Rn×n，則由B的各冪次得到的矩陣序列Bk,k=0,1,2…)收斂于零矩陣，即的充要條件為

4.矩陣的條件數(shù)定義7設(shè)矩陣為非奇異矩陣，則稱為矩陣

的條件數(shù)，其中是矩陣的算子范數(shù)。對(duì)矩陣的任意一個(gè)算子范數(shù)有(2)cond(kA)=cond(A),k為非零常數(shù);(3)若，則注:

cond(A)與所取的范數(shù)有關(guān)常用條件數(shù)有：cond(A)2特別地，若A對(duì)稱，則cond(A)1=‖A‖1‖‖1cond(A)=‖A‖

‖‖求解時(shí)，A和的誤差對(duì)解有何影響？設(shè)A精確，有誤差，得到的解為，即絕對(duì)誤差放大因子又相對(duì)誤差放大因子§6線性方程組的性態(tài)和解的誤差分析§6ErrorAnalysisfor.

設(shè)精確，A有誤差，得到的解為，即

Waitaminute…

Whosaidthat(I+A1A)isinvertible?(只要A充分小，使得是關(guān)鍵的誤差放大因子，稱為A的條件數(shù)，記為cond(A),越則A越病態(tài)，難得準(zhǔn)確解。大例：Hilbert陣cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：現(xiàn)在用Matlab數(shù)學(xué)軟件可以很方便求矩陣的狀態(tài)數(shù)!定義8:設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣是非奇異的,如果cond(A)越大,就稱這個(gè)方程組越病態(tài).反之,cond(A)越小,就稱這個(gè)方程組越良態(tài).一般判斷矩陣是否病態(tài)，并不計(jì)算A1，而由經(jīng)驗(yàn)得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相關(guān)）；元素間相差大數(shù)量級(jí)，且無規(guī)則；主元消去過程中出現(xiàn)小主元；特征值相差大數(shù)量級(jí)。近似解的誤差估計(jì)及改善：設(shè)的近似解為，則一般有cond(A)誤差上限改善方法(1)：Step1:近似解Step2:Step3:Step4:若可被精確解出，則有就是精確解了。經(jīng)驗(yàn)表明：若A不是非常病態(tài)（例如：），則如此迭代可達(dá)到機(jī)器精度；但若A病態(tài)，則此算法也不能改進(jìn)。改善方法(2)對(duì)方程組進(jìn)行預(yù)處理，即適當(dāng)選擇非奇異對(duì)角陣D，C,使求解Ax=b的問題轉(zhuǎn)化為求解等價(jià)方程組