第五章約束優(yōu)化方法

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第五章約束優(yōu)化方法

5.1約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解5.2約束優(yōu)化問(wèn)題極小點(diǎn)的條件

5.3常用的約束優(yōu)化方法

5.3.1約束坐標(biāo)輪換法5.3.2約束隨機(jī)方向法5.3.3復(fù)合形法5.3.5懲罰函數(shù)法2概述約束優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解最優(yōu)值最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)解和無(wú)約束最優(yōu)解無(wú)論是在數(shù)學(xué)模型上還是幾何意義上均是不同的概念3等值線等值線族的中心無(wú)約束最優(yōu)解解：等值線的共同中心.數(shù)學(xué)模型:4數(shù)學(xué)模型:可行域約束最優(yōu)解

5無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)6約束優(yōu)化問(wèn)題的類型

1.不等式約束優(yōu)化問(wèn)題(IP型)2.等式約束優(yōu)化問(wèn)題(EP型)3.一般約束優(yōu)化問(wèn)題(GP型)7約束優(yōu)化方法分類約束優(yōu)化方法

約束坐標(biāo)輪換法直接法：約束隨機(jī)方向法

復(fù)合形法間接法：懲罰函數(shù)法

直接法：設(shè)法使每一次迭代產(chǎn)生的新迭代點(diǎn)限制在可行域內(nèi)，且一步一步的降低目標(biāo)函數(shù)值，直至最后獲得一個(gè)可行域內(nèi)的約束最優(yōu)解。間接法：將約束優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)一定形式的變換，轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，然后采用約束優(yōu)化方法進(jìn)行求解。85.3.1約束坐標(biāo)輪換法基本思想:與無(wú)約束坐標(biāo)輪換法類似,依此沿坐標(biāo)軸方向?qū)?yōu),逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)。9任取一個(gè)初始點(diǎn)取初始步長(zhǎng)α0沿e1方向檢查可行性:適用性:檢查......加速步長(zhǎng)檢查可行性:適用性:10沿e2方向檢查可行性:適用性:檢查可行性:適用性:檢查可行性:適用性:檢查可行性:適用性:11沿e1方向檢查可行性:適用性:檢查可行性:適用性:沿e2方向檢查可行性:適用性:檢查......12沿坐標(biāo)軸方向找不到合適的點(diǎn):縮減初始步長(zhǎng)

α0←0.5α0

繼續(xù)迭代終止準(zhǔn)則:

α0≤ε約束坐標(biāo)輪換法與無(wú)約束坐標(biāo)輪換法的區(qū)別：①步長(zhǎng)

無(wú)約束:最優(yōu)步長(zhǎng)

約束:加速步長(zhǎng)②對(duì)每一個(gè)迭代點(diǎn)的檢查

無(wú)約束:檢查適用性

約束:檢查適用性和可行性③終止準(zhǔn)則

無(wú)約束:點(diǎn)距準(zhǔn)則

約束:步長(zhǎng)準(zhǔn)則13特點(diǎn):約束坐標(biāo)輪換法具有算法明了、迭代簡(jiǎn)單、便于設(shè)計(jì)者掌握運(yùn)用等優(yōu)點(diǎn)。但是，它的收斂速度較慢，對(duì)于維數(shù)較高的優(yōu)化問(wèn)題(例如10維以上)很費(fèi)機(jī)時(shí)。另外，這種方法在某些情況下還會(huì)出現(xiàn)“死點(diǎn)”的病態(tài)，導(dǎo)致輸出偽最優(yōu)點(diǎn)。

避免輸出偽最優(yōu)點(diǎn)的辦法:1、輸入不同的初始點(diǎn)2、用不同的不長(zhǎng)多次計(jì)算14基本原理：典型的“瞎子爬山”式的數(shù)值選代解法。在可行域內(nèi)，任選初始點(diǎn)x(0)，以給定的步長(zhǎng)a=a0

，沿按某方法產(chǎn)生的隨機(jī)方向S(1)取探索點(diǎn)x=x(0)+aS(1），若該點(diǎn)同時(shí)符合下降性（F(x)<F(x(0)))和可行性（x∈D)則表示x點(diǎn)探索成功。并以它為新的起始點(diǎn)，繼續(xù)按上面的迭代公式在S(1）方向上獲取新的成功探索點(diǎn)……..

5.3.2約束隨機(jī)方向法155.3.2約束隨機(jī)方向法任取一個(gè)初始點(diǎn)取初始步長(zhǎng)α0利用隨機(jī)函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)方向S(1)

檢查可行性:適用性:檢查若m個(gè)方向都不行,則減小步長(zhǎng):α0←0.5α0終止準(zhǔn)則:

α0≤ε16說(shuō)明當(dāng)在某個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)處沿m個(gè)(預(yù)先限定的次數(shù))隨機(jī)方向試探均失敗，則說(shuō)明以此點(diǎn)為中心，α0為半徑的圓周上各點(diǎn)都不是適用、可行點(diǎn)。此時(shí)，可將初始步長(zhǎng)α0縮半后繼續(xù)試探。直到α0≤ε，且沿m個(gè)隨機(jī)方向都試探失敗時(shí)，則最后一個(gè)成功點(diǎn)(如圖中的x(3))就是達(dá)到預(yù)定精度ε要求的約束最優(yōu)點(diǎn)，迭代即可結(jié)束。m是預(yù)先規(guī)定在某轉(zhuǎn)折點(diǎn)處產(chǎn)生隨機(jī)方向所允許的最大數(shù)目。一般可在50~500范圍內(nèi)選取。約束隨機(jī)方向法的搜索方向比坐標(biāo)輪換法要靈活得多。當(dāng)預(yù)定的隨機(jī)方向限定數(shù)m足夠大時(shí)，它不會(huì)像約束坐標(biāo)輪換法那樣出現(xiàn)“病態(tài)”而導(dǎo)致輸出偽最優(yōu)點(diǎn)。

17隨機(jī)搜索方向的產(chǎn)生在（a,b）之間的隨機(jī)數(shù)：yi=ai+

(bi–ai)

（-1,1）之間的隨機(jī)數(shù)：yi=2-1設(shè)是在區(qū)間(一l，1)上的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)。將它們分別作為坐標(biāo)軸上的分量所構(gòu)成的向量即為相應(yīng)的二維隨機(jī)向量，其單位向量：同理，n維問(wèn)題,隨機(jī)方向的單位向量：在算法語(yǔ)言所使用的函數(shù)庫(kù)中，有一種隨機(jī)函數(shù)RND(X)。利用這一隨機(jī)函數(shù)可在程序運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生一個(gè)0到1之間的隨機(jī)數(shù)。

(i＝l，2，…，n)18約束隨機(jī)方向搜索法的特點(diǎn)：對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無(wú)特殊要求，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，使用方便。在維數(shù)較少的情況下是一種十分有效的方法，適用于小型問(wèn)題。195.3.3復(fù)合形法基本思想：在可行域中選取K個(gè)點(diǎn)作為一復(fù)合形（多面體）的K個(gè)頂點(diǎn)。比較各點(diǎn)函數(shù)值的大小，去掉函數(shù)值最大所對(duì)應(yīng)的最壞點(diǎn)，而代之最壞點(diǎn)的映射點(diǎn)構(gòu)成新的復(fù)合形。不斷重復(fù)上述過(guò)程，使復(fù)合形不斷向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)和收縮，直至滿足選代精度為止。

132X0X(R)n+l≤k≤2n20[引例]

設(shè)有一約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型21一、復(fù)合形法的基本思想步驟：第一步：初始復(fù)合形的構(gòu)成

頂點(diǎn)X(1)、X(2)、X(3)第二步：對(duì)復(fù)合形進(jìn)行

調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算頂點(diǎn)X(1)、X(2)、X(3)

F1>F2>F3

↓↓

X(H)

X(L)

壞點(diǎn)好點(diǎn)先求出除壞點(diǎn)外，其余各點(diǎn)構(gòu)成的圖形的形心點(diǎn)X0再求壞點(diǎn)X(H)相對(duì)于形心點(diǎn)X0的映射點(diǎn)

X(R)132X0X(R)22步驟：第一步：初始復(fù)合形的構(gòu)成

第二步：對(duì)復(fù)合形進(jìn)行調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算

形心點(diǎn)X0

映射點(diǎn)

X(R)

α:反射系數(shù)，一般開始是取α=1.3132檢查可行性:適用性:新復(fù)合形4點(diǎn)的映射復(fù)合形的收縮23二、初始復(fù)合形的構(gòu)成

方法一:試湊法方法二:隨機(jī)產(chǎn)生(1)產(chǎn)生K個(gè)隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)數(shù)

(i＝l，2，…，n)(2)將非可行點(diǎn)調(diào)入可行域123424終止條件:25例:用復(fù)合形法求解下例約束最優(yōu)化問(wèn)題，迭代精度取

解：取復(fù)合形的頂點(diǎn)數(shù):(1)獲得初始復(fù)合形:本例采用人為給定四個(gè)點(diǎn)檢驗(yàn)各點(diǎn)是否可行：將各點(diǎn)的坐標(biāo)值代入以上三個(gè)約束方程，均滿足約束要求，這四個(gè)點(diǎn)為可行點(diǎn)，用作初始復(fù)合形的四個(gè)頂點(diǎn)26(2)迭代計(jì)算獲得新復(fù)合形計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值，

定出最壞點(diǎn)最好點(diǎn)計(jì)算除壞點(diǎn)外其余各頂點(diǎn)的中心

將代入諸約束條件均滿足，可知在可行城內(nèi)。

取，求壞點(diǎn)的映射點(diǎn)

在可行域內(nèi)

27計(jì)算并與比較：

用替換，亦即替換構(gòu)成新的復(fù)合形：

比較各點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值，定出最壞點(diǎn):最好點(diǎn):

（3）檢驗(yàn)迭代終止條件

2829復(fù)合形法的特點(diǎn):

對(duì)目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)無(wú)特殊要求，適應(yīng)性強(qiáng)，計(jì)算量一般，收斂較快，適用中小型問(wèn)題。是現(xiàn)有解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的一種重要的直接法。305.3.5懲罰函數(shù)法將約束優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)一定形式的變換，轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，然后采用約束優(yōu)化方法進(jìn)行求解轉(zhuǎn)化必須滿足條件：1、不破壞原約束問(wèn)題的約束條件，

2、最優(yōu)解必須歸結(jié)到原約束問(wèn)題的最優(yōu)解上去。約束優(yōu)化問(wèn)題的間接法有:消元法、拉格朗日乘子法、

懲罰函數(shù)法等.31minφ(x，r(k)，m(k)) (5.56)x∈Rn式中，φ(x，r(k)，m(k))為增廣函數(shù)，稱為懲罰函數(shù)，簡(jiǎn)稱罰函數(shù)

將一般約束優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型minF(x)x∈Rn：gu(x)≥0，u＝l，2，…，phv(x)=0，v=1，2，…，q轉(zhuǎn)化成為一個(gè)如下的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)造的新目標(biāo)函數(shù)一般形式為懲罰函數(shù)法懲罰項(xiàng)32按照懲罰函數(shù)構(gòu)成的形式不同，懲罰函數(shù)法又分為三種：1、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法2、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法3、混合懲罰函數(shù)法33一、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法基本思想：將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐步逼近原目標(biāo)函數(shù)約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。將約束優(yōu)化問(wèn)題：

minF(x)x∈:gu(x)≥0(u=12……m)轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題

其中：r(1)>r(2)>r(3)…>r(k)…>0是一個(gè)遞減的正值數(shù)列：

r(k)＝Cr(k-1)，

0＜C＜1

(k)=0

34內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的思路:當(dāng)X由可行域內(nèi)靠近任一約束邊界時(shí),懲罰項(xiàng)值趨于無(wú)窮大,所以它就像圍墻一樣阻止迭代點(diǎn)越出約束邊界.條件1：不破壞原約束問(wèn)題的約束條件35minф(x,r(k))=min{F(x)+r(k)∑（1/gu(x)）}條件2：最優(yōu)解必須歸結(jié)到原約束問(wèn)題的最優(yōu)解上去36解：若用內(nèi)點(diǎn)法求解此約束最優(yōu)化問(wèn)題，由式知懲罰函數(shù)為將函數(shù)對(duì)求導(dǎo)，得:令:解得無(wú)約束極小值的點(diǎn)列為

:例:用內(nèi)點(diǎn)法求解

的約束最優(yōu)化問(wèn)題。

無(wú)約束極小值點(diǎn)列相應(yīng)的懲罰函數(shù)值為

3738序列極小點(diǎn)都在可行域內(nèi)39初始點(diǎn)x(0)的確定

自定法:搜索法

先任取一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)x(k)；計(jì)算x(k)點(diǎn)的諸約束函數(shù)值gu(x(k))，u＝1，2，…，p若：構(gòu)造：按照該數(shù)學(xué)模型解出的最優(yōu)點(diǎn)x*，至少比原設(shè)計(jì)點(diǎn)x(k)多滿足一個(gè)約束條件

重復(fù)數(shù)次，直到所有的約束條件都得到滿足，最終可取得在可行域內(nèi)部的初始點(diǎn)x(0)。40

關(guān)于幾個(gè)參數(shù)的選擇(1)初始罰因子r(0)的選取一般可取初始罰因子r(0)＝1~50也有建議?。?2)遞減系數(shù)C的選擇

通常建議取C＝0.1~0.541內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的特點(diǎn):在給定一個(gè)可行初始方案后，能求出一系列逐步得到改進(jìn)的可行的設(shè)計(jì)方案。但只適用于解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，且初始點(diǎn)須在可行域內(nèi)。42=

已知約束優(yōu)化問(wèn)題:試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù),并選出初始迭代點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù):例：43例：桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題：minF(x)=1.57x1

x=[x1x2]T∈

44設(shè)有不等式約束優(yōu)化問(wèn)題：構(gòu)造外點(diǎn)法懲罰函數(shù)的常見形式如下：懲罰因子r(k)規(guī)定取正。且在優(yōu)化過(guò)程中r(k)取為遞增數(shù)列

r(k)=Cr(k-1)，C＞1則將保證(k)=∞二、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法基本思想：將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域外，序列迭代點(diǎn)在可行域外逐步逼近原目標(biāo)函數(shù)約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。45式中:外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的思路：可行域內(nèi)時(shí),新目標(biāo)函數(shù)就是原目標(biāo)函數(shù),當(dāng)X位于可行域外時(shí),懲罰項(xiàng)為正值,新目標(biāo)函數(shù)值增大,就構(gòu)成了對(duì)不滿足約束條件時(shí)的一種”懲罰”.且離可行域越遠(yuǎn),懲罰就越嚴(yán)厲.當(dāng)r(k）不夠大時(shí)，罰函數(shù)（新目標(biāo)函數(shù)）的極小值在可行域外，即懲罰不夠，可加大r(k），隨著r(k）的增大，使新目標(biāo)函數(shù)）的極小點(diǎn)越來(lái)越逼近原目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn)?？尚杏蛲饪尚杏騼?nèi)46對(duì)于解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題minF(x)＝xx∈R1

：g1(x)=x－1≥0用外點(diǎn)法構(gòu)造懲罰函數(shù)，具體構(gòu)造形式如下：寫成另一種形式例47令:解得無(wú)約束極小值的點(diǎn)列為

:無(wú)約束極小值點(diǎn)列相應(yīng)的懲罰函數(shù)值為

求懲罰函數(shù)極小點(diǎn):

48由此可見，當(dāng)懲罰因子為一遞增正值數(shù)列時(shí)，其極值點(diǎn)離約束最優(yōu)點(diǎn)愈來(lái)愈近，的差值與愈來(lái)愈小。當(dāng)時(shí)，，亦即逼近于真正的約束最優(yōu)解。無(wú)約束極值點(diǎn)列隨值遞增從可行域外向最優(yōu)點(diǎn)收斂。

49對(duì)幾個(gè)問(wèn)題的討論初始點(diǎn)x(0)的選取:外點(diǎn)法的初始點(diǎn)x(0)可以任選，即在可行域與非可行域選取均可。(2)初始罰因子r(0)和遞增系數(shù)C的選取初始罰因子r(0)選得是否恰當(dāng)，對(duì)算法的成敗和計(jì)算速度仍有著顯著的影響。因此，選取時(shí)要謹(jǐn)慎。遞增系數(shù)C的取值，一般影響不太顯著，但也不宜取得過(guò)大。通常取C＝5~10。(3)約束容差帶用外點(diǎn)法求解時(shí)，由于罰函數(shù)的無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)列是從可行域外部向約束最優(yōu)點(diǎn)逼近的，所以最終取得的最優(yōu)點(diǎn)一定是在邊界的非可行域一側(cè)。嚴(yán)格地說(shuō)，它是一個(gè)非可行點(diǎn)。這對(duì)某些工程問(wèn)題可能是不允許的。為了解決這一問(wèn)題?？稍诩s束邊界的可行域一側(cè)加一條容差帶，如圖5.21。這就相當(dāng)于將約束條件改為gu(x)－δu≥0，u=1，2，…，p式中的δu是容差量，一般可取δu=10－3~10－4。

50約束容差帶。51外點(diǎn)法不但可以解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，而且還可以解等式約束優(yōu)化問(wèn)題

用外點(diǎn)法求解二維等式約束優(yōu)化問(wèn)題：按外點(diǎn)法的基本思想，構(gòu)造懲罰函數(shù)52

外點(diǎn)法的特點(diǎn)外點(diǎn)法既可解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，也能解等式約束優(yōu)化問(wèn)題，且其初始點(diǎn)x(0)可任選，即在可行域中或非可行域中均可。其缺點(diǎn)是序列無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)是一系列的非可行點(diǎn)，對(duì)于工程設(shè)計(jì)一般是不可取的。為使最終的迭代點(diǎn)能落入可行域，必須設(shè)置約束容差帶。53例：已知約束優(yōu)化問(wèn)題:試寫出外點(diǎn)罰函數(shù),并選出初始迭代點(diǎn).外點(diǎn)罰函數(shù):54三、混合法

用罰函數(shù)法解決有等式約束和不等式約束的一般約束（GP型）優(yōu)化問(wèn)題的方法，把它稱為混合懲罰函數(shù)法，簡(jiǎn)稱混合法。

一般約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

minf(x)x∈DD:gu(x)≥0(u=12……p)hv(x)=0(v=12……q,q<n)55內(nèi)點(diǎn)形式的混合型懲罰函數(shù)法r(k)---遞減m(k)---遞增初始點(diǎn)必須是嚴(yán)格的內(nèi)點(diǎn)為了統(tǒng)一用一個(gè)內(nèi)點(diǎn)法懲罰因子,上式也可寫成:不等式約束部分按內(nèi)點(diǎn)法形式處理r(k)---遞減56r(k)---遞增外點(diǎn)形式的混合型懲罰函數(shù)法不等式約束部分按外點(diǎn)法形式處理57如何判斷優(yōu)化結(jié)果的正確性:1、約束優(yōu)化問(wèn)題，最優(yōu)點(diǎn)大多位于邊界上。2、輸入不同的初始點(diǎn)多次計(jì)算。3、用不同的方法解。上機(jī)：第七周周一和周三晚上18:00-21：001、了解各種方法的基本思想和特點(diǎn)2、P130題237應(yīng)用實(shí)例一、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過(guò)程機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的全過(guò)程一般可分為如下幾個(gè)步驟:1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。

2)選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。

3)編寫計(jì)算機(jī)程序。

4)準(zhǔn)備必要的初始數(shù)據(jù)并上機(jī)計(jì)算。

5)對(duì)計(jì)算機(jī)求得的結(jié)果進(jìn)行必要的分析。其中建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型是首要的和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提，優(yōu)化方法的選擇取決于數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，例如優(yōu)化問(wèn)題規(guī)模的大小，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)以及計(jì)算精度等。在比較各種可供選用的優(yōu)化方法時(shí)，需要考慮的一個(gè)重要因素是計(jì)算機(jī)執(zhí)行這些程序所花費(fèi)的時(shí)間和費(fèi)用，也即計(jì)算效率。正確地選擇優(yōu)化方法，至今還沒(méi)有一定的原則。通常認(rèn)為，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為顯函數(shù)且設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)不太多的回題，懲罰函數(shù)法較好;對(duì)函數(shù)易于求導(dǎo)的問(wèn)題，以可利用導(dǎo)數(shù)信息的方法為好;對(duì)求導(dǎo)非常困難的問(wèn)題則應(yīng)選用直接解法，例如復(fù)合形法;對(duì)于高度非線性的函數(shù)，則應(yīng)選用計(jì)算穩(wěn)定性較好的方法，例如BFGS變尺度法和內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法相結(jié)合的方法。編寫計(jì)算機(jī)程序?qū)τ谑褂谜邅?lái)說(shuō)，已經(jīng)沒(méi)有多少工作要做了，因?yàn)橐延性S多成熟的優(yōu)化方法程序可供選擇。使用者只需要將數(shù)學(xué)模型按要求編寫成子程序嵌入已有的優(yōu)化程序即可。步驟4)和5)對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)工作者來(lái)說(shuō)，通常不存在原則上的困難。建立數(shù)學(xué)模型的基本原則建立數(shù)學(xué)模型的基本原則是優(yōu)化設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要組成部分。優(yōu)化結(jié)果是否可用，主要取決于所建立數(shù)學(xué)模型是否能夠確切而又簡(jiǎn)潔地反映工程問(wèn)題的客觀實(shí)際。在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，片面地強(qiáng)調(diào)確切，往往會(huì)使數(shù)學(xué)模型十分冗長(zhǎng)、復(fù)雜，增加求解問(wèn)題的困難程度，有時(shí)甚至?xí)箚?wèn)題無(wú)法求解;片面強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)潔，則可能使數(shù)學(xué)模型過(guò)份失真，以致失去了求解的意義。合理的做法是在能夠確切反映工程實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上力求簡(jiǎn)潔。設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件是組成優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素，下面分別予以討論。1.設(shè)計(jì)變量的選擇機(jī)械設(shè)計(jì)中的所有參數(shù)都是可變的，但是將所有的設(shè)計(jì)參數(shù)都列為設(shè)計(jì)變量不僅會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化，而且是沒(méi)有必要的。例如材料的機(jī)械性能由材料的種類決定，在機(jī)械設(shè)計(jì)中常用材料的種類有限，通?？筛鶕?jù)需要和經(jīng)驗(yàn)事先選定，因此諸如彈性模量、泊松比、許用應(yīng)力等參數(shù)按選定材料賦以常量更為合理;另一類狀態(tài)參數(shù)，如功率、溫度、應(yīng)力、應(yīng)變、撓度、壓力、速度、加速度等則通?？捎稍O(shè)計(jì)對(duì)象的尺寸、載荷以及各構(gòu)件間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系等計(jì)算得出，多數(shù)情況下也沒(méi)有必要作為設(shè)計(jì)變量。因此，在充分了解設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上，應(yīng)根據(jù)各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度認(rèn)真分析其主次，盡量減少設(shè)計(jì)變量的數(shù)目，以簡(jiǎn)化優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。另外還應(yīng)注意設(shè)計(jì)變量應(yīng)當(dāng)相互獨(dú)立，否則會(huì)使目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)“山脊”或“溝谷”，給優(yōu)化帶來(lái)困難。2.目標(biāo)函數(shù)的確定目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)設(shè)計(jì)所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對(duì)它最基本的要求是能夠用來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，同時(shí)必須是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)。選擇目標(biāo)函數(shù)是整個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中最重要的決策之一。有些問(wèn)題存在著明顯的目標(biāo)函數(shù)，例如一個(gè)沒(méi)有特殊要求的承受靜載的梁，自然希望它越輕越好，因此選擇其自重作為目標(biāo)函數(shù)是沒(méi)有異議的。但設(shè)計(jì)一臺(tái)復(fù)雜的機(jī)器，追求的目標(biāo)往往較多，就目前使用較成熟的優(yōu)化方法來(lái)說(shuō)，還不能把所有要追求的指標(biāo)都列為目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)檫@樣做并不一定能有效地求解。因此應(yīng)當(dāng)對(duì)所追求的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行細(xì)致的分析，從中選擇最重要最具有代表性的指標(biāo)作為設(shè)計(jì)追求的目標(biāo)。例如一架好的飛機(jī)，應(yīng)該具有自重輕、凈載重量大，航程長(zhǎng)，使用經(jīng)濟(jì)，價(jià)格便宜，跑道長(zhǎng)度合理等性能，顯然這些都是設(shè)計(jì)時(shí)追求的指標(biāo)。但并不需要把它們都列為目標(biāo)函數(shù)，在這些指標(biāo)中最重要的指標(biāo)是飛機(jī)的自重。因?yàn)椴捎幂p的零部件建造的自身重量最輕的飛機(jī)只會(huì)促進(jìn)其它幾項(xiàng)指標(biāo)，而不會(huì)損害其中任何一項(xiàng)。因此選擇飛機(jī)自重作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)該是最合適的了。若一項(xiàng)工程設(shè)計(jì)中追求的目標(biāo)是相互矛盾的，這時(shí)常常取其中最主要的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，而其余的指標(biāo)列為約束條件。也就是說(shuō)，不指望這些次要的指標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)，只要它們不致于過(guò)劣就可以了。在工程實(shí)際中，應(yīng)根據(jù)不同的設(shè)計(jì)對(duì)象，不同的設(shè)計(jì)要求靈活地選擇某項(xiàng)指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)。以下的意見可作為選擇時(shí)的參考。對(duì)于一般的機(jī)械，可按重量最輕或體積最小的要求建立目標(biāo)函數(shù);對(duì)應(yīng)力集中現(xiàn)象尤其突出的構(gòu)件，則以應(yīng)力集中系數(shù)最小作為追求的目標(biāo)，對(duì)于精密儀器，應(yīng)按其精度最高或誤差最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)。在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，當(dāng)對(duì)所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有明確的要求時(shí)，可針對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);若對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性有專門要求，則應(yīng)針對(duì)其動(dòng)力學(xué)參數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);而對(duì)于要求再現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，則應(yīng)根據(jù)機(jī)構(gòu)的軌跡誤差最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)。3.約束條件的確定約束條件是就工程設(shè)計(jì)本身而提出的對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制條件。和目標(biāo)函數(shù)一樣，它們也是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)。如前所述，約束條件可分為性能約束和邊界約束兩大類。性能約束通常與設(shè)計(jì)原理有關(guān)，有時(shí)非常簡(jiǎn)單，如設(shè)計(jì)曲柄連桿機(jī)構(gòu)時(shí)，按曲柄存在條件而寫出的約束函數(shù)均為設(shè)計(jì)變量的線性顯函數(shù);有時(shí)卻相當(dāng)復(fù)雜，如對(duì)一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，要計(jì)算其中各構(gòu)件的應(yīng)力和位移，常采用有限元法，這時(shí)相應(yīng)的約束函數(shù)為設(shè)計(jì)變量的隱函數(shù)，計(jì)算這樣的約束函數(shù)往往要花費(fèi)很大的計(jì)算量。3.約束條件的確定在選取約束條件時(shí)應(yīng)當(dāng)特別注意避免出現(xiàn)相互矛盾的約束。因?yàn)橄嗷ッ艿募s束必然導(dǎo)致可行域