小船過河問題分析與題解

小船過河問題分析與題解【問題概說】（1） 船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是水流的運(yùn)動(dòng)和船相對靜水的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。（2） 三種速度:船相對水的速度為v船（即船在靜水中的速度），水的流速為v水（即水對地的速度），船的合速度為v（即船對地的勺速度，船的實(shí)際速度，其方向就是船的航向）。（3） 三種情景:過河時(shí)間最短:當(dāng)船頭垂直河岸，渡河時(shí)間最短，且渡河時(shí)間與水的流速無關(guān)。過河路徑最短：在v船》水的條件下，當(dāng)船的合速度垂直于河岸時(shí)，渡河位移（航程或路徑）最小并等于河寬?！?在v船＜v水的條件下，當(dāng)船頭與船的合速度垂直時(shí)，渡河位移（航程或路徑）最小。此種情況下，合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。最短航程確定如下如圖所示，以v水矢量末端為圓心，以v船矢量的大小為半徑畫弧，從v水矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短。（下圖中v1表船速，v2表水速）最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速?！镜湫皖}例】兩河岸平行，河寬d=100m，水流速度v1=3m/s，求：（1）船在靜水中的速度是4m/s時(shí)，欲使船渡河時(shí)間最短，船應(yīng)怎樣渡河？最短時(shí)間是多少？船的位移是多大？（2） 船在靜水中的速度是6m/s時(shí)，欲使船航行距離最短，船應(yīng)怎樣渡河？渡河時(shí)間多長？（3） 船在靜水中的速度為1.5m/s時(shí)，欲使船渡河距離最短，船應(yīng)怎樣渡河？船的最小航程是多少？ , TOC\o"1-5"\h\z［思路分析］（1）當(dāng)船頭垂直于河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短： 1?=d/V2=100/4=25s V2「V d\o"CurrentDocument"合速度v=Jv：+v;=J32+42=5m/s /!V ］船的位移大小s=vtmin=125m（2）欲使船航行距距離最短，需船頭向上游轉(zhuǎn)過一定角度使合速度方向垂直于河岸，設(shè)船的開行速度V與岸成0角，則cosO=T=%=—，v,所以0=600，合速度v,所以0=600，合速度v=v,sin600=33m/s0vd=100拓s(3)船在靜水中速度小于水流的速度，船頭垂直于合速度v時(shí)，渡河位移最小，設(shè)船頭與河岸夾角為P，如圖所示： cosp=V2=^-=!所以p=600cosp=V2=^-=!所以p=600v3 2最小位移Smin=cosp100cos600=200ms=125m；100*3比9 $；［答案］(1)船頭垂直于河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短：1訕=25、(2)船頭向上游轉(zhuǎn)過一定角度s=125m；100*3比9 $；⑶船頭垂直于合速度，船頭與河岸夾角600時(shí)航程最短，smin=200m。船渡河中極值問題，是運(yùn)動(dòng)合成與分解中典型問題，也是難點(diǎn)所在，準(zhǔn)確理解并熟練掌握上述幾條規(guī)律是解決此類問題的突破口。請?jiān)囍瓿梢韵聨桌愃祁}?！揪毩?xí)反饋】1、某河水流速度為5m/s，一小船對靜水的速度大小是4m/s，要渡過此河，船頭垂直河岸行駛，已知河寬為120m，試分析計(jì)算：小船能否渡河直達(dá)正對岸？船需多少時(shí)間才能到達(dá)對岸？此船登上對岸的地點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？若船行至正中間時(shí)，河水流速增大到8m/s，則船渡河需要多少時(shí)間？登岸地點(diǎn)如何變化？此船過河的最短位移是多大？2、北風(fēng)速度4m/s,大河中的水流正以3m/s的速度向東流動(dòng)，船上的乘客看見輪船煙囪冒出的煙柱是豎直的，求輪船相對于水的航行速度多大？什么方向？3、有一船正在渡河，如圖所示，在離對岸30m時(shí)，其下游40m處有一危險(xiǎn)水域，若水流速度5m/s，為了使船在危險(xiǎn)水域之前靠岸，那么，小船從現(xiàn)在起相對于靜水的最小速度應(yīng)是多大？4、玻璃生產(chǎn)線上，寬9m的成型玻璃板以2m/s的速度連續(xù)不斷地向前行進(jìn)，在切割工序處，金剛鉆的走刀速度為10m/s，為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形，金剛鉆割刀的軌道應(yīng)如何控制?切割一次的時(shí)間多長？【參考答案】1、①不能；^0s:③192m；330s,在正對岸下游195m處，登岸地點(diǎn)順流下移；^50m。解析：④由運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，水流速度增大對于過河時(shí)間沒有影響，只是沿河方向位移增大。此時(shí)渡河的最短位移：LLv—-水cos0s= =v船=120x5/4=150m2、本題研究對象有北風(fēng)、水流、乘客、煙；“煙柱是⑤如圖，以v水的矢尖為圓心、u船為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時(shí)，a角最大。根據(jù)cos&=v船/v水，船頭與河岸的夾角應(yīng)為6=arccosv船/v水，船漂下最短距離：x此時(shí)渡河的最短位移：LLv—-水cos0s= =v船=120x5/4=150m2、本題研究對象有北風(fēng)、水流、乘客、煙；“煙柱是由于河水流動(dòng)，輪船應(yīng)該有一個(gè)分速度：大小與v水相等，方向與v水由于河水流動(dòng)，輪船應(yīng)該有一個(gè)分速度：大小與v水相等，方向與v水相反，這樣輪船才會朝正南方向行駛，如圖所示：v3tanO=-^=—?jiǎng)t0=370，v4風(fēng)即船頭應(yīng)該與上游河岸成530角航行。1且船=、|'"+v風(fēng)=J42+32=5m/s答案：5m/s，船頭方向與上游河岸成530角航行。3、 設(shè)船到達(dá)危險(xiǎn)水域前，恰好到達(dá)對岸，則其合速度方向如圖所示，設(shè)合速度方向與河岸的夾角為a，則tana=K=—，a=370。船的合速度方向與合位移方向相同，根據(jù)平行四邊404形定則知：當(dāng)船對于靜水的速度v1垂直于合速度方向時(shí)，v1最小，v1的最小值為v1min=v2sina=3m/s，這時(shí)v1方向與河岸的夾角3=900-370=530，即從現(xiàn)在開始，船頭指向與上游成530角，以相對于靜水3m/s的速度航行，在到達(dá)雷區(qū)前恰好靠岸。答案：3m/s4、 解1：根據(jù)題意，金剛鉆相對玻璃板的速度v垂應(yīng)垂直于玻璃板的運(yùn)動(dòng)速度v板，金剛鉆的運(yùn)動(dòng)可分為隨玻璃板的運(yùn)動(dòng)v板和垂直于玻璃板的運(yùn)動(dòng)v垂，如圖所示，由圖可知：v=她-了m/sKm/sv=她-了m/sKm/s，垂s-0.92s。答案：金剛鉆割刀軌道應(yīng)與玻璃板前進(jìn)方向成arccos0.2角，切割一次時(shí)間為0.92s。

解2：割刀實(shí)際的運(yùn)動(dòng)（相對于地面的運(yùn)動(dòng)）是隨玻璃板行進(jìn)方向的分運(yùn)動(dòng)（速度的大小為七=2m/s）和垂直玻璃板行進(jìn)方向的分運(yùn)動(dòng)（割刀相對玻璃板的運(yùn)動(dòng)與玻璃板行進(jìn)方向垂直，設(shè)速度為u2）的合運(yùn)動(dòng)，割刀實(shí)際速度（相對于地面的速度）為v=10m/s，如圖所示。設(shè)v與v1的夾角為a，則cosa=v=0.2，所以a=78.5°.割刀的軌道控制的方向（軌道相對地面的方向）就是沿速度v的方向。切割一次所 山10xsin78.5°八八、用的時(shí)間為t= s=0.92s。答案：割刀軌道與玻璃行進(jìn)方向的夾角為78.5°，切割一次用時(shí)0.92s。【方法提煉】在進(jìn)行速度分解時(shí)，首先要分清合速度與分速度，合速度就是物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的速度，由物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)確定，分速度由合速度的效果利用平行四邊形定則確定。如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動(dòng)小車m沿斜面升高。問：當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成6角，且重物下滑的速率為v時(shí)，小車的速度為多少？尋找分運(yùn)動(dòng)效果。重物M的速度v的方向是合運(yùn)動(dòng)的速度方向，這個(gè)v產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使繩的這一端繞滑輪做順時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng)；二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率討運(yùn)動(dòng)，如圖所示，由圖可知，v，=v-cos6，即為小車的速度。繩拉物體或物體拉繩問題的主要思路：（1）物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)；（2）沿繩的運(yùn)動(dòng)為一個(gè)分運(yùn)動(dòng)；（3）垂直于繩的運(yùn)動(dòng)為另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)。注意：沿同一繩（或桿）方向的分速度大小相等。在物理學(xué)上如果一個(gè)物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的效果跟另外兩個(gè)運(yùn)動(dòng)共同產(chǎn)生的效果相同，我們就把這一物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)叫那幾個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，那幾個(gè)運(yùn)動(dòng)就叫做這個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)。重要結(jié)論：（1） 各分運(yùn)動(dòng)之間是互不相干的，具有獨(dú)立性；（2） 合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性；（3） 合運(yùn)動(dòng)一定是物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)。已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)叫運(yùn)動(dòng)的合成，已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)叫運(yùn)動(dòng)的分解。（通常根據(jù)或?qū)ふ曳诌\(yùn)動(dòng)效果，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果分解，或采取正交分解法進(jìn)行分解。）運(yùn)動(dòng)的合成與分解，是指位移、速度、以及加速度的合成和分解，必須遵循平行四邊形定則。在進(jìn)行速度分解時(shí)，首先要分清合速度與分速度合速度就是物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的速度，由物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)確定，分速度由合速度的效果利用平行四邊形定則確定。合運(yùn)動(dòng)一定是物體參與的實(shí)際運(yùn)動(dòng)。處理復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)的常用方法是把曲線運(yùn)動(dòng)按實(shí)際效果分解為兩個(gè)方向上的直線運(yùn)動(dòng)。

運(yùn)動(dòng)合成分解的四個(gè)性質(zhì):運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)，各分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行，各自產(chǎn)生效果運(yùn)動(dòng)的等效性整體的合運(yùn)動(dòng)是各分運(yùn)動(dòng)決定的總效果，它替代所有的分運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)進(jìn)行的時(shí)間相同運(yùn)動(dòng)的矢量性加速度、速度、位移都是矢量，合成和分解都遵循平行四邊形定則進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成時(shí)，一般采用兩個(gè)觀點(diǎn):所有的分運(yùn)動(dòng)必須轉(zhuǎn)換成對于同一個(gè)物體的，也就是說，只有同一物體同時(shí)參與幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)才能合成。