第六章抽樣理論與參數(shù)估計(jì)作業(yè)

第六章抽樣理論與參數(shù)估計(jì)第一節(jié)抽樣的基本概念一、概念回顧二、抽樣方法三、抽樣設(shè)計(jì)的意義及原則四、樣本容量的計(jì)算統(tǒng)計(jì)推斷的可靠性與下列因素有關(guān)

1．?dāng)?shù)據(jù)的質(zhì)量樣本對總體的代表性，既涉及到抽樣方法，又涉及到樣本的容量。2．運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法及數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性3．樣本對總體的代表性在收集數(shù)據(jù)的過程中控制選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍㄟ^抽樣設(shè)計(jì)控制一、概念回顧總體、個體、樣本參數(shù)、統(tǒng)計(jì)量二．幾種重要的隨機(jī)抽樣方法

1．簡單隨機(jī)抽樣（simplerandomsampling）簡單隨機(jī)抽樣就是按照隨機(jī)原則直接從總體中抽取出若干個單位作為樣本。簡單隨機(jī)抽樣法能保證總體中的每一個對象都有同等的被抽取到的可能性，并且個體之間都相互獨(dú)立。這是在總體異質(zhì)性不是很大而且所抽取的樣本較小時經(jīng)常采用的一種形式。

簡單隨機(jī)抽樣法的局限是：當(dāng)樣本規(guī)模小時，樣本的代表性較差。簡單隨機(jī)取樣有兩種基本方式：抽簽法（drawinglots）隨機(jī)數(shù)字表法（randomnumbertable）2．等距抽樣

等距抽樣（intervalsampling）也稱為機(jī)械抽樣或系統(tǒng)抽樣。實(shí)施時，先把總體中的所有個體按一定順序編號，然后依固定的間隔取樣。等距抽樣可以保證樣本的成分與總體一致，但隨機(jī)性不如單純隨機(jī)抽樣法。應(yīng)用中可將兩種方法結(jié)合使用。3．分層隨機(jī)抽樣

分層隨機(jī)取樣簡稱分層抽樣（stratifiedsampling或hierarchicalsampling），是進(jìn)行大規(guī)模研究時常常使用的抽樣方法。分層抽樣的方法：先將總體按照一定標(biāo)準(zhǔn)分為若干類型（統(tǒng)計(jì)上稱為層），再根據(jù)各層對象的數(shù)量在總體數(shù)量中所占的比例，確定從每一種類型（層）中抽取樣本的數(shù)量，然后按隨機(jī)原則和所確定的各層取樣的數(shù)量，從各層中取樣。做好分層隨機(jī)取樣的關(guān)鍵：分類的標(biāo)準(zhǔn)要科學(xué)，要符合實(shí)際情況。各層內(nèi)的差別要小，而層與層之間的差異則越大越好。例1：為了調(diào)查某區(qū)重點(diǎn)中學(xué)720名高一學(xué)生的視力，首先按視力的情況將他們分成好(108人)、中（360人）、差（252人）三種水平。若用分層抽樣法抽取120人進(jìn)行調(diào)查，問各層應(yīng)抽多少人？計(jì)算：⑵．最佳配置法

最佳配置法不僅考慮各層的人數(shù)比例，而且考慮到了各層的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)各層內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差已知，應(yīng)該在標(biāo)準(zhǔn)差大的層內(nèi)多分配而在標(biāo)準(zhǔn)差小的層內(nèi)少分配抽樣數(shù)量。最佳配置法可以使得到的樣本具有較好的異質(zhì)性。在各層內(nèi)應(yīng)抽取個體數(shù)計(jì)算

公式中，ni表示從某一層所抽個體數(shù)n表示樣本容量Ni表示某層個體總數(shù)σi表示某層標(biāo)準(zhǔn)差（22．2）當(dāng)各個σ沒有現(xiàn)成資料可以應(yīng)用時，可以先從該層抽一個小樣本，由這一小樣本計(jì)算出的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S對σ進(jìn)行估計(jì)。（22．3）分層隨機(jī)取樣法的優(yōu)點(diǎn)是代表性和推論的精確性較好。它適用于總體單位數(shù)量較多，并且內(nèi)部差異較大的研究對象。分層隨機(jī)取樣法的局限性是要求對總體各單位的情況有較多的了解，否則就難以作出科學(xué)的分類。4．兩階段隨機(jī)抽樣

當(dāng)總體容量很大時，直接以總體中的所有個體為對象，從中進(jìn)行抽樣，在實(shí)際調(diào)查或研究中存在很大困難。采用分階段的抽樣方法，可以縮小實(shí)際抽樣的范圍，使實(shí)際抽樣工作能夠按研究設(shè)計(jì)的要求順利進(jìn)行。兩階段隨機(jī)抽樣（two-stagesrandomsampling）的一般過程是：先將總體分成Ｍ個部分；第一階段從這Ｍ個部分中隨機(jī)抽取m個部分作為第一階段樣本；第二階段是分別從這m個部分中抽取一定數(shù)量（ni）的個體構(gòu)成第二階段樣本。5．整群抽樣

整群隨機(jī)抽樣是先將總體各單位按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成許多群（小組），然后按隨機(jī)原則從這些群中抽取若干群作為樣本。整群隨機(jī)取樣法的優(yōu)點(diǎn)是樣本比較集中，適宜于某些特定的研究，尤其是在教育實(shí)驗(yàn)中常用此法。此外，在規(guī)模較大的調(diào)查研究中，整群隨機(jī)取樣易于組織，可節(jié)省人力、物力和時間。整群隨機(jī)抽樣法的缺點(diǎn)是樣本分布不均勻，代表性較差。

三．抽樣設(shè)計(jì)的意義及原則

1．抽樣設(shè)計(jì)的意義

⑴．使研究節(jié)省人力及費(fèi)用；⑵．使研究節(jié)省時間，提高時效性；⑶．保證研究結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2．抽樣設(shè)計(jì)的原則

抽樣設(shè)計(jì)的要求是樣本對研究總體有良好的代表性，即樣本的構(gòu)成與總體保持一致。為了保證這一點(diǎn)，抽樣時必須遵循隨機(jī)化（randomization）的基本原則。所謂隨機(jī)化原則，是指在抽樣時，樣本中的每一個體都是按照隨機(jī)的原理被抽取的，總體中每一個體被抽到的可能性是相等的。

四．樣本容量的確定

1．確定樣本容量的意義在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)研究所要求的精確度及經(jīng)費(fèi)情況確定樣本容量。如果樣本容量過小，會影響樣本對總體的代表性，增大抽樣誤差而降低研究推論的精確性；樣本容量過大，雖然減小了抽樣誤差，但可能增大過失誤差，并且增加不必要的人力物力資源的浪費(fèi)。樣本容量與抽樣誤差并不是直線關(guān)系。確定容量的基本原則是：在盡量節(jié)省人力、經(jīng)費(fèi)和時間的條件下，確保用樣本推斷總體達(dá)到預(yù)定的可行度及準(zhǔn)確性。2．總體平均數(shù)估計(jì)樣本容量的確定

⑴．總體σ已知其中，最大允許誤差為

，可信度為1－α。

由有（22．4）可以看到，當(dāng)α確定之后，總體標(biāo)準(zhǔn)差和最大允許誤差d是決定樣本容量的兩個因素。⑵．總體σ未知

由有當(dāng)樣本容量n未確定時，t值無法確定，因此一般采用嘗試法。

（22．5）例：擬估計(jì)某市高校四級英語考試成績的總體平均分?jǐn)?shù)。以往考試成績的標(biāo)準(zhǔn)差為13，這次的估計(jì)最大允許誤差為2分，可信度為95%，問應(yīng)抽取多大的樣本？第二節(jié)樣本分布一、什么是樣本分布二、正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布三、t分布四、分布五、F分布一、樣本分布/抽樣分布樣本分布指樣本統(tǒng)計(jì)量的分布，它是統(tǒng)計(jì)推論的重要依據(jù)。在談及樣本統(tǒng)計(jì)量的分布時，首先要保證各個樣本是獨(dú)立的，各個樣本都服從同樣的分布。要保證這一點(diǎn)，取樣方法應(yīng)該用隨機(jī)抽樣的方法。樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布是一種理論概率分布隨機(jī)變量是樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長遠(yuǎn)我們穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù)

抽樣分布

(samplingdistribution)抽樣分布

(samplingdistribution)總體計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差樣本樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布1、樣本平均數(shù)的分布2、樣本方差的抽樣分布容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分布一種理論概率分布進(jìn)行推斷總體總體均值的理論基礎(chǔ)

樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（重復(fù)抽樣）【例】設(shè)一個總體，含有4個元素(個體)，即總體單位數(shù)N=4。4個個體分別為x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。總體的均值、方差及分布如下總體分布14230.1.2.3均值和方差樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（重復(fù)抽樣）

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果為所有可能的n

=2的樣本（共16個）第一個觀察值第二個觀察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（重復(fù)抽樣）16個樣本的均值（x）第一個觀察值第二個觀察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0計(jì)算出各樣本的均值如下表。給出樣本均值的抽樣分布均值X的取值1.01.52.02.53.03.54.0均值X的個數(shù)1234321取值的概率P（X）1/162/163/164/163/162/161/16X樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的分布與總體分布的比較

(例題分析)（重復(fù)抽樣）=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（不重復(fù)抽樣）

如果從總體中抽取n＝2的簡單隨機(jī)樣本，在不重復(fù)抽樣條件下，共有4×3=12個樣本。所有樣本的結(jié)果為所有可能的n=2的樣本（共12個）第一個觀察值第二個觀察值123411,21,31,422,12,32,433,13,23,444,14,24,3樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（不重復(fù)抽樣）16個樣本的均值（x）第一個觀察值第二個觀察值123411.52.02.521.52.53.032.02.53.542.53.03.5計(jì)算出各樣本的均值如下表。給出樣本均值的抽樣分布均值X的取值1.52.02.53.03.5均值X的個數(shù)22422取值的概率P（X）2/122/124/122/122/12X樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的抽樣分布

(例題分析)（不重復(fù)抽樣）=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X

的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體X抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布抽樣分布問題樣本平均數(shù)的分布是怎么得到的？樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)與方差和母總體的平均數(shù)與方差有何關(guān)系？在不同情況下一樣嗎？什么叫自由度？樣本平均數(shù)的分布與t分布的關(guān)系？分布是什么分布？特點(diǎn)？應(yīng)用于？F分布用來分析什么？特點(diǎn)？二、正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布㈠樣本平均數(shù)的分布⒈總體方差已知，總體分布為正態(tài)，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布。⒉總體方差已知，總體分布非正態(tài)，當(dāng)樣本容量足夠大（n＞30）時，其樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布。二、正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布㈡方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布⒈自正態(tài)分布總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n足夠大（n＞30），樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布，漸趨于正態(tài)分布。⒉因此公式要求樣本容量足夠大，一般難以保證，故標(biāo)準(zhǔn)差及方差的統(tǒng)計(jì)推論，較少用到漸近分布，而用其精確分布（分布）。⒊此外，還有多種統(tǒng)計(jì)量的分布為正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布，如兩樣本平均數(shù)之差的分布、相關(guān)系數(shù)的分布、比率的分布等將在以后章節(jié)介紹。三、t分布t分布是統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用較多的一種隨機(jī)變量函數(shù)的分布，是統(tǒng)計(jì)學(xué)者高賽特1908年在以筆名“Student”發(fā)表的一篇論文中推導(dǎo)的一種分布。這種分布是一種左右對稱、峰態(tài)比較高狹、分布形狀隨樣本容量n-1的變化而變化的一族分布。t分布與n-1(自由度)有關(guān)，t分布的自由度通常用符號df表示。自由度是指任何變量中可以自由變化的數(shù)目，它代表t分布中獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)目。三、t分布㈠t分布的特點(diǎn)⒈平均值為0⒉以平均值0左右對稱的分布，左側(cè)t為負(fù)值，右側(cè)t為正值。⒊變量取值在之間。⒋曲線下總面積為1。⒌t分布曲線隨自由度變化而變化，為一簇分布。樣本容量越小，曲線越低闊，樣本容量大于30時，曲線接近正態(tài)分布，當(dāng)時，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線重合，方差為1。㈡t分布表的使用三、t分布㈢樣本平均數(shù)的分布⒈總體分布為正態(tài)，方差未知時，樣本平均數(shù)的分布為t分布。⒉當(dāng)總體分布為非正態(tài)而其方差又未知時，若滿足n＞30這一條件，樣本平均數(shù)的分布近似為t分布。四、分布㈠定義四、分布五、F分布五、F分布樣本方差的分布對于來自正態(tài)總體N(u,σ2)的簡單隨機(jī)樣本，則比值的抽樣分布服從自由度為(n-1)的2分布，即卡方(2)分布

(2

distribution)χ2分布:設(shè)X1,X2,……,Xn是來自總體N(0,1)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的χ2分布，記為χ2～χ2(n)。設(shè)，則令，則Y服從自由度為1的2分布，即

當(dāng)總體，從中抽取容量為n的樣本，則分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的右偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)

可加性：若U和V為兩個獨(dú)立的2分布隨機(jī)變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機(jī)變量服從自由度為n1+n2的2分布2分布

(性質(zhì)和特點(diǎn))c2分布

(圖示)選擇容量為n的簡單隨機(jī)樣本計(jì)算樣本方差S2計(jì)算卡方值2=(n-1)S2/σ2計(jì)算出所有的

2值不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20ms總體第三節(jié)參數(shù)估計(jì)

當(dāng)在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，如何通過這組數(shù)據(jù)信息，對總體特征進(jìn)行估計(jì)，也就是如何從局部結(jié)果推論總體的情況，稱為總體參數(shù)估計(jì)。

參數(shù)估計(jì)可分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤一、點(diǎn)估計(jì)的定義點(diǎn)估計(jì)是指在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時，直接用一個特定點(diǎn)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值。二、良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)⑴無偏性：即用多個樣本的統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的平均數(shù)為0。⑵有效性：當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不止一個統(tǒng)計(jì)量時，無偏估計(jì)變異小者有效性高，變異大者有效性低，即方差越小越好。⑶一致性：當(dāng)樣本容量無限增大時，估計(jì)值應(yīng)能夠越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)，估計(jì)值越來越精確，逐漸趨近于真值。⑷充分性：指一個容量為n的樣本統(tǒng)計(jì)量，是否充分地反映了全部n個數(shù)據(jù)所反映總體的信息。三、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤㈠區(qū)間估計(jì)的定義是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量，利用抽樣分布的原理，在一定的可靠程度上，估計(jì)出總體參數(shù)所在的范圍，即以數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍。㈡置信區(qū)間與顯著性水平⑴置信區(qū)間：也稱置信間距，指在一定可靠程度上，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度。⑵置信界限（臨界值）：置信區(qū)間的上下兩端點(diǎn)值。⑶顯著性水平：指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時，可能犯錯誤的概率，用符號表示。有時也稱為意義階段、信任系數(shù)等。⑷置信度（置信水平）：。三、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤㈢區(qū)間估計(jì)的原理與標(biāo)準(zhǔn)誤⑴區(qū)間估計(jì)是根據(jù)樣本分布理論，用樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算區(qū)間長度，解釋總體參數(shù)落入某置信區(qū)間可能的概率。⑵區(qū)間估計(jì)存在成功估計(jì)的概率大小及估計(jì)范圍大小兩個問題。妥協(xié)辦法：在保證置信度的前提下，盡可能提高精確度。規(guī)定正確估計(jì)的概率即置信度為0.95和0.99，則顯著性水平為0.05和0.01。小概率事件在一次抽樣中不可能出現(xiàn)。⑶區(qū)間估計(jì)的原理是樣本分布理論。在計(jì)算區(qū)間估計(jì)值解釋估計(jì)的正確概率時，依據(jù)的是該樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律及樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本分布可提供概率解釋，而標(biāo)準(zhǔn)誤的大小決定區(qū)間估計(jì)的長度。一般情況下，加大樣本容量可使標(biāo)準(zhǔn)誤變小。一、參數(shù)估計(jì)的原理㈡區(qū)間估計(jì)的原理和方法⒈置信區(qū)間和顯著性水平區(qū)間估計(jì)時，某一概率下，總體參數(shù)所在的區(qū)間稱為置信區(qū)間，區(qū)間的端點(diǎn)值稱為臨界值，這個概率稱為置信度，以概率表示，α又稱顯著性水平，表示該區(qū)間估計(jì)的不可靠程度。⒉區(qū)間估計(jì)的原理和方法

第二節(jié)總體平均數(shù)的估計(jì)一、總體平均數(shù)估計(jì)的計(jì)算步驟：⒈利用抽樣的方法抽取樣本，計(jì)算出樣本的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差S。⒉計(jì)算樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：①當(dāng)總體方差已知時，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算為：②當(dāng)總體方差未知時，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算為：一、總體平均數(shù)估計(jì)的計(jì)算步驟：⒊確定顯著性水平和置信水平⒋根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布確定查何種分布表，確定理論值。⒌確定置信區(qū)間：⒍解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。二、總體方差已知時，對總體平均數(shù)的估計(jì)⒈當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時，（無論樣本容量n的大小，從該總體抽取的樣本分布均成正態(tài)分布。）對總體平均數(shù)的估計(jì)可以依正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)。例1已知某市6歲正常男童體重的總體方差為6.55公斤，從該市隨機(jī)抽取15名6歲男童，其平均體重為20.4公斤，試求該市6歲男童平均體重的95%和99%的置信區(qū)間。例1的計(jì)算解：95%的置信區(qū)間的顯著性水平α=0.05，因此，μ的95%的置信區(qū)間為:即:μ的99%的置信區(qū)間為:即:故該市6歲男童平均體重μ的95%的置信區(qū)間為[19.11，21.69]；99%的置信區(qū)間為[18.7，22.1]。二、總體方差已知時，對總體平均數(shù)的估計(jì)⒉當(dāng)總體為非正態(tài)分布時（只有當(dāng)樣本容量n>30時,此時樣本抽樣分布漸近正態(tài)分布。這時可依正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)，否則不能對總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)。）例3已知某區(qū)15歲男生立定跳遠(yuǎn)的方差為，現(xiàn)從該區(qū)抽取58名15歲男生，測得該組男生立定跳遠(yuǎn)的平均數(shù)為198.4cm，試求該區(qū)15歲男生立定跳遠(yuǎn)平均成績的95%和99%的置信區(qū)間。例3解：由題意知：由于樣本容量（n=58）大于30，該樣本的抽樣分布為漸進(jìn)正態(tài)分布。因此，μ的95%的置信區(qū)間為：198.4－1.96×2.75≤μ≤198.4＋1.96×2.75即193.01≤μ≤203.79μ的99%的置信區(qū)間為：198.4－2.58×2.75≤μ≤198.4＋2.58×2.75即191.3≤μ≤205.5故該區(qū)15歲男生立定跳遠(yuǎn)的平均成績有95%的可能落入[193.01，203.79]內(nèi)，有99%的可能落入[191.3，205.5]內(nèi)。三、總體方差未知，對總體平均數(shù)的估計(jì)⒈當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時（無論樣本容量n的大小，從該總體抽取的樣本所形成的分布均服從自由度為n