高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程 省一等獎(jiǎng)

2023學(xué)年湖北省黃石黃石市級達(dá)標(biāo)學(xué)校高二上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：共12題1．命題：“?x0∈R,x02+x0﹣1＞0”的否定為A.?x∈R,x2+x﹣1＜0 B.?x∈R,x2+x﹣1≤0C.?x0?R,x02+x0﹣1=0 D.?x0∈R,x02+x0﹣1≤0【答案】B【解析】本題考查全稱量詞與特稱量詞.特稱命題的否定為全稱命題;所以“?x0∈R,x02+x0﹣1＞0”的否定為“?x∈R,x2+x﹣1≤0”.選B.

2．一條直線的傾斜角的正弦值為32,A.3 B.±3 C.33 D.±3【答案】B【解析】本題考查直線的傾斜角與斜率.由題意得sinα=32,所以α=60°或120°,所以tanα=3或-3

3．圓x2+yA.相離

B.外切 C.內(nèi)切 D.相交【答案】D【解析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系.由題意得圓C1:(x-1)2+y2=1,圓心O1(1,0),半徑r1=1;C2:x2+(y+2)2=4,圓心O2

4．已知命題p：?x∈R,使得x2﹣x+2＜0；命題q：?x∈[1,2],使得x2≥1.以下命題為真命題的是A.￢p∧￢q ∨￢q C.￢p∧q ∧q【答案】C【解析】本題考查命題及其關(guān)系,邏輯聯(lián)結(jié)詞,全稱命題與特稱命題.由題意得:命題p為假命題，命題q為真命題;所以￢p為真命題,￢q為假命題;￢p∧￢q為假命題,排除A;p∨￢q為假命題,排除B;￢p∧q為真命題,C正確.選C.

5．“a=﹣1”是“直線a2x﹣y+6=0與直線4x﹣(a﹣3)y+9=0互相垂直”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】本題考查兩直線的位置關(guān)系,充要條件.直線a2x﹣y+6=0與直線4x﹣(a﹣3)y+9=0互相垂直,可得4a﹣3a2=-1,解得a=-1或34;而“a=﹣1”是“a=-1或34”的充分不必要條件,所以“a=﹣1”是“直線a2x﹣y+6=0與直線4x﹣(a﹣3)y+9=0互相垂直

6．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)=±14x =±13x =±12x【答案】C【解析】本題主要考查雙曲線的離心率、漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.由題意知,雙曲線的離心率e=52,所以c2a2-1=b2a2=14,所以

7．若拋物線y2=2px(p＞0)上一點(diǎn)P(2,y0)到其準(zhǔn)線的距離為4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=4x =6x =8x =10x【答案】C【解析】本題考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)P(2,y0)到其準(zhǔn)線的距離為4,所以2+p2=4,解得p=4;即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8

8．若橢圓x2m+y2n=1(m>n>0)和雙曲線x2A.m-a B.12m-a【答案】A【解析】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).在橢圓中PF1+PF2=2m;在雙曲線中PF1-PF2

9．設(shè)P是橢圓x29+y24=1上一動點(diǎn),A.12 B.19 C.-1【答案】C【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).由題意得PF1+PF2=6,F1F2=25;由基本不等式得6=PF1+PF2≥2PF1PF2,解得【備注】余弦定理:a2

10．若直線y=kx+4+2k與曲線y=4-x2有兩個(gè)交點(diǎn)A.[1,+∞) B.[﹣1,﹣34) C.(34,1] D.(﹣∞,【答案】B【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系.由題意得y=kx+4+2k表示過定點(diǎn)A(-2,4)的直線;曲線y=4-x2表示上半圓(如圖所示);當(dāng)直線與圓相切于點(diǎn)T時(shí),有唯一的交點(diǎn),此時(shí)圓心到直線的距離d=4+2kk2+1=1=r,解得k=-34(k<0);當(dāng)直線過點(diǎn)B(2,0)時(shí),直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)k=0-42+2=-1;數(shù)形結(jié)合可得

11．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn), 【答案】C【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積,橢圓.由題意得O(0,0),F(-1,0),令點(diǎn)P(2cosθ,3sinθ),則OP?FP=(2cosθ,3sinθ)?(2cosθ+1,3sinθ)=4cos2θ+2cosθ+3sin

12．設(shè)F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足|PF2|=|A.53 B.54 C.2 【答案】A【解析】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì).畫出圖形(如圖所示),|PF2|=|F1F2|=2c,PF1⊥QF2,所以|PF1|=2a+2c，QF1=QP=a+c;因?yàn)镕2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長,所以QF2=2a=4c2-二、填空題：共4題13．拋物線y2=8x【答案】x=-2【解析】本題考查拋物線.由題意得2p=8,即p=4,p2=2,

14．過P(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4交于A、B兩點(diǎn)且AB被P平分,【答案】2x-y-15=0【解析】本題考查雙曲線,直線的方程.令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),而A、B兩點(diǎn)在雙曲線上,所以x12-4y12=4且x22-4y22=4,兩式相減得x12-x22=4(y1

15．橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與F1【答案】[13,【解析】本題考查橢圓的幾何性質(zhì).由題意得PF1+|PF2|=PF2+2|PF2|=2a,解得|PF2|=23a，所以PF1=43a;在三角形PF1F2中,

16．已知直線l1：4x﹣3y+16=0和直線l2：x=﹣1,拋物線y2=4x上一動點(diǎn)P到直線l1的距離為d1,動點(diǎn)P到直線l2的距離為d2,則d1+d2的最小值為

.【答案】4【解析】本題考查拋物線的幾何性質(zhì).由題意得:動點(diǎn)P到直線l2的距離為d2=PN=PF(如圖所示);所以d1+d2=PF+PM≥PM(當(dāng)且僅當(dāng)P、M、F三點(diǎn)共線時(shí)等號成立);而焦點(diǎn)F(1,0)到直線l1：4x﹣3y+16=0的距離PM=d=|4-0+16|42三、解答題：共6題17．已知兩直線l1:ax﹣by+4=0,l2:(a﹣1)x+y+b=0,分別求滿足下列條件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直線l1過點(diǎn)(﹣3,﹣1)；(2)l1∥l2,且直線l1在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.【答案】(1)∵兩直線l1：ax﹣by+4=0,l2：(a﹣1)x+y+b=0且l1⊥l2,∴a(a﹣1)+(﹣b)×1=0,即a2﹣a﹣b=0,又∵直線l1過點(diǎn)(﹣3,﹣1),∴﹣3a+b+4=0,聯(lián)立解得a=2,b=2；(2)由l1∥l2可得a×1﹣(﹣b)(a﹣1)=0,即a+ab﹣b=0,在方程ax﹣by+4=0中令x=0可得y=4b；令y=0可得x=﹣4a,∴4b=﹣4a,即b聯(lián)立解得a=2,b=﹣2.【解析】本題考查兩直線平行與垂直.(1)∵l1⊥l2,∴a(a﹣1)+(﹣b)×1=0,又∵l1過點(diǎn)(﹣3,﹣1),∴﹣3a+b+4=0,聯(lián)立解得a=2,b=2；(2)由l1∥l2可得a×1﹣(﹣b)(a﹣1)=0,而4b=﹣4a,解得a=2,b=

18．已知命題p:“方程x2m-1+y23-m=1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(1)若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若p∧q是真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】∵命題p:“方程x2m-1+y∴3﹣m＞m﹣1＞0,解得1＜m＜2.命題q:“函數(shù)f(x)=lg(x2﹣mx+916)的定義域?yàn)镽∴△=m2﹣4×916＜0,解得-(1)由命題p為真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2)；(2)若p∧q是真命題,則p與q都為真命題,∴1<m<2

-∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,【解析】本題考查命題及其關(guān)系,邏輯聯(lián)結(jié)詞,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.命題p為真命題得1＜m＜2.命題q為真命題得-32<m<32.(1)p為真命題,m∈(1,2)；(2)若p∧q是真命題,則p

19．已知圓N經(jīng)過點(diǎn)A(3,1),B(﹣1,3),且它的圓心在直線3x﹣y﹣2=0上.(1)求圓N的方程；(2)若點(diǎn)D為圓N上任意一點(diǎn),且點(diǎn)C(3,0),求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】(1)由已知可設(shè)圓心N(a,3a﹣2)；又由已知得|NA|=|NB|,從而有(a-3)2+于是圓N的圓心N(2,4),半徑r所以,圓N的方程為(x﹣2)2+(y﹣4)2=10;(2)設(shè)M(x,y),D(x1,y1),則由C(3,0)及M為線段CD的中點(diǎn)得x=x1又點(diǎn)D在圓N：(x﹣2)2+(y﹣4)2=10上,所以有(2x﹣3﹣2)2+(2y﹣4)2=10,化簡得:(x故所求的軌跡方程為(x【解析】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)的軌跡.(1)設(shè)圓心N(a,3a﹣2),由|NA|=|NB|得a=2.得圓心N(2,4),半徑r=10,所以圓N為(x﹣2)2+(y﹣4)2=10;(2)設(shè)M(x,y),D(x1,y1),M為線段CD的中點(diǎn)得x1=2x-3y1=2y

20．已知雙曲線C的頂點(diǎn)在x軸上,兩頂點(diǎn)間的距離是8,離心率e=(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)P(3,0)且斜率為k的直線與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求k的值.【答案】(1)設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1，∴2a=8,∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)直線方程為y=k(x﹣3)，由x216-y29=1

y=k(x-3)得(9﹣16k①9﹣16k2=0,即k=34或k=-②9﹣16k2≠0,∴△=(96k2)2+4×144(9﹣16k2)(k2+1)=0,∴7k2﹣9=0,解得k=37綜上所述,k=34或k=-3【解析】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.(1)由題意得2a=8,ca=54，解得a=4,c=5,b=3，∴雙曲線C為x216-y29=1;(2)聯(lián)立方程,

21．河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高34【答案】如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意，將B(4，－5)代入方程得p＝∴拋物線方程為x2∵當(dāng)船的兩側(cè)和拱橋接觸時(shí)船不能通航.設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－16又知船露出水面上部分為34米，設(shè)水面與拋物線拱頂相距為h則h＝|yA|＋3【解析】先建立平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線的方程，由對稱性知，木船的軸線與y軸重合，問題轉(zhuǎn)化為求出x＝2時(shí)的y值.【備注】以拋物線為數(shù)學(xué)模型的實(shí)例很多，如拱橋、隧道、噴泉等.解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.一般解題步驟：(1)建：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)算：通過計(jì)算求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；(4)求：求出所要求出的量；(5)還：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題.

22．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)已知點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn),且直線PA,PB與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)(2,0)？若存在,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在,說明理由.【答案】(Ⅰ)由題意可得e=ca=32,2b=2,即b=1;又a2﹣c2=1,解得a=2,c=即橢圓的方程為x24+y2(Ⅱ)設(shè)P(m,n),可得m24+n2=1,即有n2=1﹣m24;由題意可得A(0,1),設(shè)M(4,s),N(4,t),由P,A,M共線可得,kPA=kMA,即為n-1m=s-14,可得由P,B,N共線可得,kPB=kNB,即為n+1m=t+14,可得s假設(shè)存在點(diǎn)P,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)Q(2,0).可得QM⊥QN