高中數(shù)學(xué)人教B版3第三章統(tǒng)計(jì)案例 第3章章末分層突破

章末分層突破[自我校對(duì)]①回歸分析②相互獨(dú)立事件的概率③χ2公式④判斷兩變量的線性相關(guān)回歸分析問(wèn)題建立回歸模型的步驟(1)確定研究對(duì)象，明確變量x，y.(2)畫出變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等).(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，則選用回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))).(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法).(5)得出回歸方程.另外，回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時(shí)間性.樣本的取值范圍一般不能超過(guò)回歸直線方程的適用范圍，否則沒(méi)有實(shí)用價(jià)值.假設(shè)一個(gè)人從出生到死亡，在每個(gè)生日那天都測(cè)量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，則這些點(diǎn)將不會(huì)落在一條直線上，但在一段時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)數(shù)據(jù)有時(shí)可以用線性回歸來(lái)分析.下表是一位母親給兒子作的成長(zhǎng)記錄：年齡/周歲3456789身高/cm年齡/周歲10111213141516身高/cm(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求出這些數(shù)據(jù)的線性回歸方程；(3)對(duì)于這個(gè)例子，你如何解釋回歸系數(shù)的含義？(4)解釋一下回歸系數(shù)與每年平均增長(zhǎng)的身高之間的聯(lián)系.【精彩點(diǎn)撥】(1)作出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量是否線性相關(guān)；(2)求出a，b，寫出線性回歸方程；(3)回歸系數(shù)即b的值，是一個(gè)單位變化量；(4)根據(jù)線性回歸方程可找出其規(guī)律.【規(guī)范解答】(1)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下：(2)用y表示身高，x表示年齡，因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,14)×(3＋4＋5＋…＋16)＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,14)×＋＋…＋＝132，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,14,x)iyi－14\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,14,x)\o\al(2,i)－14\o(x,\s\up6(－))2)≈eq\f(18993－14××132,1491－14×≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝，所以數(shù)據(jù)的線性回歸方程為y＝＋.(3)在該例中，回歸系數(shù)表示該人在一年中增加的高度.(4)回歸系數(shù)與每年平均增長(zhǎng)的身高之間近似相等.[再練一題]1.假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗Y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下：xY(1)以x為解釋變量，Y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求Y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)預(yù)報(bào)有效穗.【解】(1)散點(diǎn)圖如下.(2)由圖看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系.設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝5，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝9.eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝1，eq\x\to(y)2＝1，eq\x\to(x)2＝6，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝6.由eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×≈.故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.當(dāng)x＝時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋×＝.估計(jì)成熟期有效穗約為.獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法，要確認(rèn)兩個(gè)分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下，我們構(gòu)造的隨機(jī)變量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測(cè)值很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機(jī)變量χ2的含義，可以通過(guò)P(χ2>≈來(lái)評(píng)價(jià)假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計(jì)算出χ2>說(shuō)明假設(shè)不合理的程度約為99%，即兩個(gè)分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度為99%.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)計(jì)算χ2的值.(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系并作統(tǒng)計(jì)推斷.在某校高三年級(jí)一次全年級(jí)的大型考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個(gè)關(guān)系較大？物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.【精彩點(diǎn)撥】分別列出數(shù)學(xué)與物理，數(shù)學(xué)與化學(xué)，數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表，求k的值.由觀測(cè)值分析，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228132360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143737880合計(jì)3718691240n11＝228，n12＝132，n21＝143，n22＝737，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝1240.代入公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，得χ21＝eq\f(1240×228×737－132×1432,360×869×371×880)≈3.(2)列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880合計(jì)3818591240n11＝225，n12＝135，n21＝156，n22＝724，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1240.代入公式，得χ22＝eq\f(1240×225×724－135×1562,360×880×381×859)≈2.(3)列出數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀26793360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀99781880合計(jì)3668741240n11＝267，n12＝93，n21＝99，n22＝781，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1240.代入公式，得χ23＝eq\f(1240×267×781－93×992,360×880×366×874)≈5.由上面計(jì)算可知數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，由計(jì)算分別得到χ2的統(tǒng)計(jì)量都大于臨界值，由此說(shuō)明有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但與總分優(yōu)秀關(guān)系最大，與物理次之.[再練一題]2.某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾病.請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)分析該藥品對(duì)預(yù)防A疾病是否有效.【解】將問(wèn)題中的數(shù)據(jù)寫成如下2×2列聯(lián)表：患A疾病不患A疾病合計(jì)服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計(jì)23500523將上述數(shù)據(jù)代入公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)中，計(jì)算可得χ2≈4，因?yàn)?<，故沒(méi)有充分理由認(rèn)為該保健藥品對(duì)預(yù)防A疾病有效.轉(zhuǎn)化與化歸思想在回歸分析中的應(yīng)用回歸分析是對(duì)抽取的樣本進(jìn)行分析，確定兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化.如果兩個(gè)變量非線性相關(guān)，我們可以通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問(wèn)題.某商店各個(gè)時(shí)期的商品流通率Y(%)的商品零售額x(萬(wàn)元)資料如下：xy64xy散點(diǎn)圖顯示出x與Y的變動(dòng)關(guān)系為一條遞減的曲線.經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)都證明，流通率Y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營(yíng)規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：y＝a＋eq\f(b,x).試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計(jì)值，并估計(jì)商品零售額為30萬(wàn)元的商品流通率.【規(guī)范解答】設(shè)u＝eq\f(1,x)，則y＝a＋bu，得下表數(shù)據(jù)：u30151y64u35624y由表中數(shù)據(jù)可得Y與u之間的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5＋u.所以所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5＋eq\f,x).當(dāng)x＝30時(shí)，y＝5，即商品零售額為30萬(wàn)元時(shí)，商品流通率為5%.[再練一題]3.在某化學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得如下表所示的6對(duì)數(shù)據(jù)，其中x(單位：min)表示化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行的時(shí)間，Y(單位：mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量.x/min123456Y/mg(1)設(shè)Y與x之間具有關(guān)系y＝cdx，試根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)c和d的值(精確到；(2)估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到.【解】(1)在y＝cdx兩邊取自然對(duì)數(shù)，令lny＝z，lnc＝a，lnd＝b，則z＝a＋bx.由已知數(shù)據(jù)，得xi123456yizi由公式得eq\o(a,\s\up6(^))≈5，eq\o(b,\s\up6(^))≈－9，則線性回歸方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝5－9x.而lnc＝5，lnd＝－9，故c≈，d≈，所以c，d的估計(jì)值分別為,.(2)當(dāng)x＝10時(shí)，由(1)所得公式可得y≈(mg).1.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)支出y(萬(wàn)元)根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()萬(wàn)元 萬(wàn)元萬(wàn)元 萬(wàn)元【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－×10＝，∴當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝×15＋＝(萬(wàn)元).【答案】B2.某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是()表1表2成績(jī)性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3表4智商性別偏高正?？傆?jì)男81220女82432總計(jì)163652閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A.成績(jī) B.視力C.智商 D.閱讀量【解析】A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440).B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(637,360).C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(13,10).D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).∵eq\f(13,1440)<eq\f(13,10)<eq\f(637,360)<eq\f(3757,160)，∴與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量.【答案】D3.如圖3-1是我國(guó)2023年至2023年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖.圖3-1(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到，預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,)yi＝，eq\i\su(i＝1,7,)tiyi＝，eq\r(eq\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2eq\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),eq\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).【解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(eq\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,7,)tiyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,)yi＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(2)由eq\x\to(y)＝eq\f,7)≈及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f,28)≈.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈－×4≈.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.將2023年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝＋×9＝.所以預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為億噸.4.某地區(qū)2023年至2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2023202320232023202320232023年份代號(hào)t1234567人均純收入y(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2023年至2023年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s