人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊第四章測試題及答案

試卷第=page55頁，共=sectionpages66頁試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊第四章測試題及答案第四章數(shù)列章末綜合復習檢測一、單選題1．數(shù)列的通項公式可能是an＝（）A． B．C． D．2．在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，a2＝2，則公差d＝（）A．－1 B．2 C．4 D．63．設是數(shù)列的前n項和，若，則（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，若.則的值是（）A． B． C． D．5．在數(shù)列中，，，則的表達式為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．7．我國古代以天為主，以地為從，天和干相連叫天干，地和支相連叫地支，合起來叫天干地支．天干有十個，就是甲?乙，丙?丁?戊?己?庚?辛?王?癸，地支有十二個，依次是子?丑?寅?卯?辰?巳?午?未?申?酉?戌?亥．古人把它們按照甲子?乙丑?丙寅……的順序而不重復地搭配起來，從甲子到癸亥共六十對，叫做一甲子．我國古人用這六十對干支來表示年?月?日?時的序號，周而復始，不斷循環(huán)，這就是干支紀年法，今年(2021年)是辛丑年，則百年后的2121年是（）年．A．丙午 B．丁巳 C．辛巳 D．辛午8．設數(shù)列滿足，，記，則使成立的最小正整數(shù)是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、多選題9．等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A． B．C．當時，的最小值為 D．10．已知等比數(shù)列的前項和，則（）A． B．等比數(shù)列的公比為2C． D．11．提丟斯·波得定律是關于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學規(guī)則，它是1766年由德國的一位中學老師戴維斯，提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A.U.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減4得數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)從第3項起，每一項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列的通項公式為 B．數(shù)列的第2021項為C．數(shù)列的前n項和 D．數(shù)列的前n項和12．分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個局部經(jīng)過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續(xù)下去，得圖（3）...記為第個圖形的邊長，記為第個圖形的周長，為的前項和，則下列說法正確的是（）A． B．C．若為中的不同兩項，且，則最小值是1 D．若恒成立，則的最小值為第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，則__________﹒14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和分別為，．若，，且，則________________．15．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取到的項：第一次取1；第一次1第二次取2個連續(xù)的偶數(shù)2，4；第二次24第三次取3個連續(xù)的奇數(shù)5，7，9；第三次579第四次取4個連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16，……第四次10121416…………按此規(guī)律一直取下去，得到一個子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，則在這個子數(shù)列中，第2020個數(shù)是___________.16．已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，.若數(shù)列各項單調(diào)遞增，則首項的取值范圍是___________；當時，記，若，則整數(shù)___________.四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，，，，其中為常數(shù)．（1）求證：．（2）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．數(shù)列中，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求.19．已知數(shù)列的前項和為，，.（Ⅰ）求數(shù)列的前項和為；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）令，求數(shù)列的前項和.20．已知數(shù)列的前項和為，在①②，③這三個條件中任選一個，解答下列問題．（1）求出數(shù)列的通項公式；（2）若設，數(shù)列的前項和為，證明：注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．21．保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國務院辦公廳發(fā)布《關于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內(nèi)多個城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關政策或征求意見稿．為了響應國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房．預計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長，另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米．（1）到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米?（2）到哪一年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于?22．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且點（n，Sn）在函數(shù)y＝2x+1﹣2的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設數(shù)列{bn}滿足：b1＝0，bn+1+bn＝an，求數(shù)列{bn}的前n項和公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．參考答案1．解：根據(jù)題意，數(shù)列的前4項為，，，，則有，，，，則數(shù)列的通項公式可以為.故選：D.2．題意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.3．，又，則故選：C4．因為數(shù)列滿足，所以，即，因為，所以，，所以，，故選：D5．由題意，故選：A6．D∵，∴，則，∴或（舍去）.由，得，即，∴，則，所以，所以，當且僅當，時，取得最小值為.故選：D.7．天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以為公差的等差數(shù)列，地支是以為公差的等差數(shù)列，年是“干支紀年法”中的辛丑年，以年的天干和地支分別為首項，所以，則年的天干為辛；又，則年的地支為巳，故2121年是辛巳.故選：C．8．D∵，∴，又，∴數(shù)列為遞增數(shù)列，∴∵∴，∴∴，∴，∴，∴，∴∴，∴當時，，又∴當時，，當時，∴使成立的最小正整數(shù)是2023.9．AC因為，∴，∴，即.又，所以，A對，B錯；當，解得，∴，故C對；∴，D錯.故選：AC10．BC因等比數(shù)列的前項和為，當時，，則，因此，等比數(shù)列的公比為2，當時，，顯然，則，，A錯誤，B、C正確；而，于是得數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為4，公比為4，則有，D錯誤.11．CD數(shù)列各項乘10再減4得到數(shù)列：0，3，6，12，24，48，96，192，，故該數(shù)列從第2項起構成公比為2的等比數(shù)列，所以，故選項A錯誤；所以，所以，故選項B錯誤；當時，，當時，，當時，也適合上式，所以，故選項C正確；因為，所以當時，，當時，①，則②，所以①②可得，，所以，又當時，也適合上式，所以，故選項D正確．12．ACD解：對于A，由題意可知，下一個圖形的邊長是上一個圖邊長的，邊數(shù)是上一個圖形的4倍，則周長之間的關系為，所以數(shù)列是公比為，首項為3的等比數(shù)列，所以，所以A正確，對于B，由題意可知，從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的，所以數(shù)列是1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以B錯誤，對于C，由，，得，所以，所以，因為，所以當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以最小值是1，所以C正確，對于D，因為在上遞增，所以，即，令，則在上遞增，所以，即，即，因為恒成立，所以的最小值為，所以D正確，故選：ACD13．4在等比數(shù)列中，，則，依題意，，而的各項均為正數(shù)，于是得，∴﹒故答案為：4﹒14．設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比是，即，又，,左邊可以分子分母同時除以，得:，解得，根據(jù)等差中項可知，，故答案為：15．3976依題意，每次取出的各個數(shù)從小到大各排成一行，奇數(shù)次取數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)次取數(shù)個數(shù)是偶數(shù)，每一行數(shù)的個數(shù)與次數(shù)相同，每一行最后一個數(shù)依次為1，4，9，16，25，…，則第n行最后一個數(shù)為，前n行數(shù)的總個數(shù)為，當時，一共有個數(shù)，于是，第2020個數(shù)是第64行的第4個數(shù)，而第63行最后一個數(shù)為，則第2020個數(shù)是3976，所以2020個數(shù)是3976.故答案為：397616．（0，2）由題意，正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，解得，．．，．又由，可得：．．，．，且數(shù)列是遞增數(shù)列，，即，．整數(shù)．故答案為：；4．17．（1）證明見解析；（2）存在，．（1）證明∵，，∴，∴．∵，∴，∴，．（2）∵，，相減得，∴從第二項起成等比數(shù)列．∵，即，∴，∴，∴若使是等比數(shù)列，則，∴，∴（舍）或．18．（1）∵數(shù)列滿足，即，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設公差為d.∴，.∴.（2）∵，令，得.當時，；當時，.∴.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.（Ⅰ）由，得，又，所以數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，所以，即.（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）得，又也符合上式，所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）得，所以，①，②①?②，得故.20．（1）利用求得的遞推關系，求出，驗證當時是否符合通項公式即可求解；（2）由（1）知，可得再利用裂項相消法求出，最后由放縮法即可證明．（1）若選條件①，當時，，①，，②，則由①－②得即，所以數(shù)列為從第項開始的等比數(shù)列，且公比為．又，當時，，符合，所以數(shù)列的通項公式為．若選條件②，當時，當時也成立，所以數(shù)列的通項公式為．若選條件③，當時，①，②，①－②得，即．當時也成立，所以數(shù)列的通項公式為．（2）證明：由（1）知，可得所以21．（1）設保障性租賃住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等差數(shù)列，其中，，則，令≥475，即，而為正整數(shù)，解得，故到2030年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米；（2）設新建住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等比數(shù)列，其中，，則，由題意知，，則，滿足上式不等式的最小正整數(shù)，故到2026年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于．22．（1）；（2）；（3）（1，+∞）由題意可知，．當時，，當時，也滿足上式，所以．由可知，即．當時，，①當時，，所以，②當時，，③當時，，所以，④當時為偶數(shù)），，所以以上個式子相加，得，又，所以，當為偶數(shù)時，．同理，當為奇數(shù)時，，所以，當為奇數(shù)時，．因此，當為偶數(shù)時，數(shù)列的前項和；當為奇數(shù)時，數(shù)列的前項和．故數(shù)列的前項和．由可知，①當為偶數(shù)時，，所以隨的增大而減小，從而，當為偶數(shù)時，的最大值是．②當為奇數(shù)時，，所以隨的增大而增大，且．綜上，的最大值是1．因此，若對于任意的，不等式恒成立，只需，故實數(shù)的取值范圍是．數(shù)列（基礎鞏固卷）考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選題4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎，提能力！單選題（共8小題，每小題5分，共計40分）1．數(shù)列2，﹣5，9，﹣14，?的一個通項公式可以是（）A．a(chǎn)n=(?1)n?1C．a(chǎn)n=(?1)【分析】根據(jù)題意，用排除法分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，用排除法分析：數(shù)列2，﹣5，9，﹣14，?，其首項為正數(shù)，BD中求出第一項均為負數(shù)，可以排除，而AC均滿足a1＝2，但A中a2＝﹣5，a3＝8，排除A，C中滿足a2＝5，a3＝9，a4＝﹣14，故選：C．2．在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，若a2+a8＝8，則S9＝（）A．20 B．27 C．36 D．45【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出a1+a9＝8，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a2+a8＝a1+a9＝8，則S9=9(故選：C．3．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8＝16，a6＝8，則數(shù)列{an}的公差為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)得S8=8×(a1+a8)2=4×（a1+【解答】解：由題意知，S8=8×(a1+a8)＝4×（a3+a6）＝16，故a3+a6＝4，而a6＝8，故a3＝﹣4，故d=a故選：D．4．已知正項遞增等比數(shù)列{an}中，a2a4＝32，a1+a5＝12，則a9＝（）A．2 B．8 C．16 D．32【分析】根據(jù)題意，設正項遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列的通項公式可得q2的值，進而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設正項遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＞1，若a2a4＝32，則（a3）2＝32，即a3＝42，又由a1+a5＝12，則a3q2+a3q2＝12，變形可得q4解可得q2=2或q2=則a9＝a3×q6＝42×（2）3故選：C．5．設數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，且a1＝3，a2＝6，則a8＝（）A．246 B．504 C．512 D．1014【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)先求出公比，然后結(jié)合通項公式可求．【解答】解：因為數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，且1+a1＝4，2+a2＝8，故公比q＝2，則8+a8＝4?27＝512，所以a8＝504．故選：B．6．等比數(shù)列{an}中，若a1，a10是方程x2﹣x﹣2＝0的兩根，則a4?a7的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】由已知結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關系及等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：∵a1，a10是方程x2﹣x﹣2＝0的兩根，∴a1?a10＝﹣2，又數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴a4?a7＝a1?a10＝﹣2，故選：B．7．《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著，全書收集了246個數(shù)學問題，其中一個問題為“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，問中間二節(jié)欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量變化均勻，即由下往上均勻變細，該問題中由上往下數(shù)的第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（）A．176升 B．72升 C．11366升 【分析】利用已知條件列出方程組，利用等差數(shù)列的通項公式求出首項與公差，然后求解即可．【解答】解：設竹九節(jié)由上往下的容量（單位：升）分別為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，它們構成首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，由題意可知a1+a解得a1所以a2+a3+a8＝3a1+10d=39故選：A．8．定義np1+p2+?+pn為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前A．1314 B．1415 C．114【分析】直接利用新定義和數(shù)列的遞推式，求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【解答】解：定義np1+p2+?+pn為n個正數(shù)p數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為12n+1則na整理得：a1+a2+…+an＝n（2n+1）①，則a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）（2n﹣1）②，n≥2．①﹣②得an＝4n﹣1，滿足a1＝3，則bn=則1b1b2+故選：B．多選題（共4小題，每小題5分，共計20分）9．已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若S2＝1，S6＝91，則（）A．S8＝729 B．S8＝820 C．q＝3 D．q＝9【分析】利用正項等比數(shù)列前n項和列方程組求出q＝3，a1=14，再求出S【解答】解：正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，S2＝1，S6＝91，∴a1(1?q2)整理得（1﹣q+q2）（1+q+q2）＝（1+q2）2﹣q2＝91，整理得q4+q2﹣90＝0，由q＞0，解得q＝3，故C正確，D錯誤；∴a1=1S8=14(1?38故選：BC．10．記Sn為公差d不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，則（）A．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列 B．S33C．S9＝2S6﹣S3 D．S9＝3（S6﹣S3）【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式對4個選項依次判斷即可．【解答】解：∵（S6﹣S3）﹣S3＝（a4+a5+a6）﹣（a1+a2+a3）＝（a4﹣a1）+（a5﹣a2）+（a6﹣a3）＝3d+3d+3d＝9d，（S9﹣S6）﹣（S6﹣S3）＝（a7+a8+a9）﹣（a4+a5+a6）＝（a7﹣a4）+（a8﹣a5）+（a9﹣a6）＝3d+3d+3d＝9d，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，故選項A正確；∵Sn＝na1+n(n?1)2∴Snn=a1∴S33=a1+d，S66=a1+52∴2×S即S33，S66，∵S9+S3﹣2S6＝9a1+36d+3a1+3d﹣2×（6a1+15d）＝9d≠0，∴S9＝2S6﹣S3不成立，即選項C錯誤；∵S9﹣3（S6﹣S3）＝9a1+36d﹣3×（6a1+15d﹣3a1﹣3d）＝0，∴S9＝3（S6﹣S3）成立，即選項D正確；故選：ABD．11．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，且S4＝8，S6＝﹣12，以下命題正確的是（）A．Sn的最大值為12 B．數(shù)列{SnC．a(chǎn)n是4的倍數(shù) D．S5＜0【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析各選項即可判斷．【解答】解：由S44=2由等差數(shù)列的性質(zhì)可知數(shù)列{S所以S11=8?S5故選：ABC．12．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），公差d≠0，S6＝90，a7是a3與a9的等比中項，則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)1＝22 B．d＝﹣2 C．當且僅當n＝10時，Sn取得最大值 D．當Sn＞0時，n的最大值為20【分析】根據(jù)條件求出首項與公差，得到通項公式，然后結(jié)合選項進行逐一判斷即可．【解答】解：由題意得6a解得a1＝20，d＝﹣2，所以an＝﹣2n+22，易知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，若Sn取得最大值，則an≥0，即﹣2n+22≥0，解得n≤11，所以當n＝10或11時，Sn取得最大值；Sn=n(a1+a令Sn＞0，得0＜n＜21，又n∈N*，所以n的最大值為20，故選：BD．三．填空題（共4小題，每小題5分，共計20分）13．已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a5+a8＝18，則a3+a7＝．【分析】由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得a5，進一步可得a3+a7的值．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由a2+a5+a8＝18，得3a5＝18，即a5＝6，則a3+a7＝2a5＝2×6＝12．故答案為：12．14．正項遞增等比數(shù)列{an}，前n項的和為Sn，若a2+a4＝30，a1a5＝81，則S6＝．【分析】設每一項都是正數(shù)的遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q＞1，由a2+a4＝30，a1a5＝81＝a2a4，聯(lián)立解出a4＝27，a2＝3，再利用通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設每一項都是正數(shù)的遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q＞1，∵a2+a4＝30，a1a5＝81＝a2a4，聯(lián)立解得a4＝27，a2＝3．∴3q2＝27，解得q＝3．∴a1×3＝3，解得a1＝1．則S6=3故答案為：364．15．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1?a2?…?an＝n2，則an＝．【分析】利用已知條件，求出數(shù)列的首項，然后求解通項公式．【解答】解：在數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1?a2?…?an＝n2，???①可得a1?a2?…?an﹣1＝（n﹣1）2（n≥2），???②，②①可得n≥2時，an=所以an=1(n=1)故答案為：1(n=1)n16．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2021＜0，S2022＞0，則當Sn最小時，n的值為．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得出a1011＜0，a1011+a1012＞0，從而可求．【解答】解：因為等差數(shù)列{an}的中，S2021=2021(a1+a2021)2=2021a1011＜0，S2022＝1011（a1+所以a1011＜0，a1011+a1012＞0，則當Sn最小時，n＝1011．故答案為：1011．四．解答題（共6小題，第17題10分，18-22題，每題12分，共計70分）17．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S2＝8，S9＝11a4．（1）求an；（2）若Sn＝3an+2，求n．【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求首項及公差，進而可求；（2）結(jié)合等差數(shù)列的求和公式代入即可求解．【解答】解：（1）由已知得：2a解得：a1＝3，d＝2，所以an＝2+2（n﹣1）＝2n+1，（2）Sn=(3+2n+1)n2=n2因為Sn＝3an+2，所以n2+2n＝6n+5，解得n＝5，故n＝5．18．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a4（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．【分析】（Ⅰ）直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）利用分組法和等差數(shù)列的求和公式的應用求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{an}的公比為q，有q3故數(shù)列{an}的通項公式為an（Ⅱ）bn故數(shù)列{bn}的前n項和：Sn＝（1+1+...+1）﹣（1+2+...+n），=n?n(n+1)19．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1，bn（1）求證：{bn}是等比數(shù)列；（2）求{an}的通項公式．【分析】（1）根據(jù)題意，將an+1＝2an+1，變形可得an+1+1＝2（an+1），結(jié)合等比數(shù)列的定義分析可得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論，可得{bn}的通項公式，又由bn＝an+1，變形可得答案．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意，an+1＝2an+1，變形可得an+1+1＝2（an+1），即bn+1＝2bn，又由b1＝a1+1＝2≠0．則bn≠0，則有bn+1故{bn}是等比數(shù)列；（2）由（1）知{bn}是首項b1＝2，公比為2的等比數(shù)列，則bn＝2×2n﹣1＝2n，又由bn＝an+1，則有an+1＝2n，變形可得an＝2n﹣1；故an＝2n﹣1．20．記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝﹣7，a2＝﹣6，an+1＝kan+1（n∈N+，k∈R）．（1）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求通項公式an；（2）記Tn＝|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|，求T20．【分析】（1）由題意得﹣6＝k?（﹣7）+1，從而可判斷數(shù)列{an}是以﹣7為首項，1為公差的等差數(shù)列，再求通項公式即可；（2）由通項公式可得當n≤7時，an＜0，當n≥8時，an≥0，從而去絕對值號化簡即可．【解答】解：（1）∵a1＝﹣7，a2＝﹣6，an+1＝kan+1，∴﹣6＝k?（﹣7）+1，解得k＝1，故an+1＝an+1，即an+1﹣an＝1，故數(shù)列{an}是以﹣7為首項，1為公差的等差數(shù)列，故an＝n﹣8；（2）∵an＝n﹣8，∴當n≤7時，an＜0，當n≥8時，an≥0，故T20＝|a1|+|a2|+|a3|+?+|a20|＝﹣（a1+a2+……+a7）+（a8+a9+……+a20）＝（a1+a2+……+a7+a8+a9+……+a20）﹣2（a1+a2+……+a7）＝﹣7×20+20×192×1?＝106．21．若正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，2Sn＝an2+an（n∈N+）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn=1an(an+2)，求數(shù)列{b【分析】（1）根據(jù)題意，當n＝1時，2S1＝2a1＝a12+a1，從而解得a1＝1，進一步根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可求出{an}的通項公式；（2）由（1）可知bn=1an(an【解答】解：（1）根據(jù)題意，當n＝1時，2S1＝2a1＝a12+a1，解得a1＝1或a1＝0（舍去），當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1=an2+an2?an?12+an?12（n又an＞0，所以an﹣an﹣1＝1，即{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以an＝1+n﹣1＝n；（2）由（1）可知bn=1an所以Tn=12（1?13+1222．已知①2a3＝b3+b4；②S2＝3；③a4＝a3+2a2，在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，______，a1＝b2，對?n∈N+都有Tn＝n2+2b1n成立．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項和Hn．【分析】選條件①時，（1）直接利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式，（2）利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應用求出數(shù)列的和．選條件②時，（1）直接利用數(shù)列的和和遞推關系式求出數(shù)列的通項公式，（2）利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應用求出數(shù)列的和．選條件③時，（1）直接利用數(shù)列的關系式的變換，求出數(shù)列的通項公式，（2）利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應用求出數(shù)列的和．【解答】解：選條件①：（1）對?n∈N+都有Tn＝n2+2b1n成立；對于n＝1時，b1＝1+2b1，整理得b1＝﹣1；所以Tn所以bn＝Tn﹣Tn﹣1＝2n﹣3；由于①2a3＝b3+b4；所以a1＝1，a3＝4，整理得an（2）由（1）得：cn所以Hn=(?1)×2Hn①﹣②得：?H整理得：Hn選條件②時，（1）對?n∈N+都有Tn＝n2+2b1n成立；對于n＝1時，b1＝1+2b1，整理得b1＝﹣1；所以Tn由S2＝3，即a1+a2＝3，由于a1＝b2＝1，a1+a2＝1+q＝3，解得：q＝2；故an（2）由（1）得：cn所以Hn=(?1)×2Hn①﹣②得：?H整理得：Hn選條件③時，a4＝a3+2a2，整理得q2＝q+2，所以q＝2或﹣1（負值舍去），整理得an（2）由（1）得：cn所以Hn=(?1)×2Hn①﹣②得：?H整理得：H數(shù)列（能力提升卷）考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選題4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎，提能力！單選題（共8小題，每小題5分，共計40分）1．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且滿足a3+a11＝50，則a6+a7+a8等于（）A．84 B．72 C．75 D．56【分析】由已知直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解a6+a7+a8的值．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由a3+a11＝50，得2a7＝50，∴a7＝25，則a6+a7+a8＝3a7＝3×25＝75．故選：C．2．若一個等差數(shù)列的前三項之和為21，最后三項之和為93，公差為2，則該數(shù)列的項數(shù)為（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】設該數(shù)列的項數(shù)為n，根據(jù)題意可得a1+a2+a3＝3a2＝21，an+an﹣1+an﹣2＝3an﹣1＝93，從而求出a2及an﹣1的值后再利用2=an?1?【解答】解：設該數(shù)列為{an}，其項數(shù)為n，根據(jù)題意，由a1+a2+a3＝3a2＝21，得a2＝7，又an+an﹣1+an﹣2＝3an﹣1＝93，得an﹣1＝31，因為該數(shù)列公差為2，所以2=an?1?a2故選：B．3．已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“Sn﹣nan＜0，對n＞1，n∈N*恒成立”是“d＞0”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分也非必要條件【分析】將Sn=na1+n(n?1)2d，an＝a1+（n﹣1）d代入【解答】解：Sn=na1+n(n?1)2d，an則Sn﹣nan=na1+n(n?1)2d?na1﹣n則“Sn﹣nan＜0，對n＞1，n∈N*恒成立”，故d＞0，若d＞0，則Sn﹣nan=?n(n?1)2d＜0，對n＞1，n∈故“Sn﹣nan＜0，對n＞1，n∈N*恒成立”是“d＞0”的充分必要條件．故選：C．4．《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問各得多少錢？”則第2人比第4人多得錢數(shù)為（）A．16錢 B．?13錢 C．23錢【分析】設從前到后的5個人所得錢數(shù)分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由已知列式求得a與d，再求出第2人與第4人所得錢數(shù)，作差得答案．【解答】解：設從前到后的5個人所得錢數(shù)分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，則由題意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，d=?a則a﹣d＝1﹣（?16）=76，a+∴第2人比第4人多得錢數(shù)為76故選：D．5．數(shù)列{an}滿足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝λan﹣n2+4n為單調(diào)遞增數(shù)列，則λ的取值范圍為（）A．λ＞18 B．λ＞14 C．【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列{an}通項，再由數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答．【解答】解：數(shù)列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，則有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，因此，數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列，an+1=2則bn=λ(2n?1)?n2+4n，因數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列，即?n∈N*則λ（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[λ（2n﹣1）﹣n2+4n]＝λ?2n﹣2n+3＞0，λ＞2n?3令cn=2n?32n，則cn+1當n≤2時，cn+1＞cn，當n≥3時，cn+1＜cn，于是得c3=38是數(shù)列{cn}的最大值的項，即當n＝3時，2n?32所以λ的取值范圍為{λ|λ＞3故選：C．6．設某廠2020年的產(chǎn)值為1，從2021年起，該廠計劃每年的產(chǎn)值比上年增長P%，則從2021年起到2030年底，該廠這十年的總產(chǎn)值為（）A．（1+P%）9 B．（1+P%）10 C．(1+P%)[(1+P%)10?1]【分析】由題意得，每年產(chǎn)值構成以（1+P%）的等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：因為該廠計劃每年的產(chǎn)值比上年增長P%，即每年產(chǎn)值構成以（1+P%）的等比數(shù)列，則從2021年起到2030年底，該廠這十年的總產(chǎn)值為1?(1+P%)故選：D．7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2等于anan+1的個位數(shù)，若數(shù)列{an}的前k項和為2021，則正整數(shù)k的值為（）A．505 B．506 C．507 D．508【分析】直接利用數(shù)列的遞推式和數(shù)列的周期求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2等于anan+1的個位數(shù)，所以a3＝a1a2＝2，a4＝4，a5＝8，a6＝2，a7＝6，a8＝2，a9＝2，a10＝4，，故數(shù)列除第一項外，其余為周期為6的周期數(shù)列；一個周期的和為2+2+4+8+2+6＝24，由于2021＝24×84+5，即數(shù)列有84個周期加第一項以及2，2兩項，一共有1+84×6+2＝507；故選：C．8．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，n（an+1﹣an）＝an+1，若對于任意的n∈N*，不等式an+1n+1＜tA．2 B．3 C．4 D．5【分析】由題意可得an+1n+1?ann=【解答】解：∵n（an+1﹣an）＝an+1，∴nan+1﹣（n+1）an＝1，∴an+1∴an+1∴an+1∴an+1∵an+1n+1＜t，∴3?故選：B．多選題（共4小題，每小題5分，共計20分）9．記Sn為公差d不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，則（）A．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列 B．S33C．S9＝2S6﹣S3 D．S9＝3（S6﹣S3）【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式對4個選項依次判斷即可．【解答】解：∵（S6﹣S3）﹣S3＝（a4+a5+a6）﹣（a1+a2+a3）＝（a4﹣a1）+（a5﹣a2）+（a6﹣a3）＝3d+3d+3d＝9d，（S9﹣S6）﹣（S6﹣S3）＝（a7+a8+a9）﹣（a4+a5+a6）＝（a7﹣a4）+（a8﹣a5）+（a9﹣a6）＝3d+3d+3d＝9d，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，故選項A正確；∵Sn＝na1+n(n?1)2∴Snn=a1∴S33=a1+d，S66=a1+52∴2×S即S33，S66，∵S9+S3﹣2S6＝9a1+36d+3a1+3d﹣2×（6a1+15d）＝9d≠0，∴S9＝2S6﹣S3不成立，即選項C錯誤；∵S9﹣3（S6﹣S3）＝9a1+36d﹣3×（6a1+15d﹣3a1﹣3d）＝0，∴S9＝3（S6﹣S3）成立，即選項D正確；故選：ABD．10．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an+2=2an+1?aA．{Sn}的通項公式可以是SnB．若a3，a7為方程x2+6x+5＝0的兩根，則a6C．若S4S2D．若S4＝S8，則使得Sn＞0的正整數(shù)n的最大值為11【分析】依題意可得數(shù)列{an}是以1為首項的等差數(shù)列，設其公差為d，對ABCD四個選項逐一分析可得答案．【解答】解：∵an+2∴an+2﹣an+1＝an+1﹣an，a1＝1，∴數(shù)列{an}是以1為首項的等差數(shù)列，設其公差為d，則Sn=d2n2+（a1?d對于A，{Sn}的通項公式不會是Sn=n對于B，若a3，a7為方程x2+6x+5＝0的兩根，則a3+a7＝2a5＝﹣6①，a3?a7＝（a5﹣2d）（a5+2d）＝5②，由①②得a5＝﹣3，d＝﹣1，∴a6?12a7=?對于C，若S4S2=2，即4a1+6d＝2（2a1+d）?d∴S8S4對于D，若S4＝S8，則a5+a6+a7+a8＝2（a6+a7）＝0，即a6+a7＝0，又a1＝1＞0，故公差d＜0，∴a6＞0，a7＜0，∴S11＝11a6＞0，S12＝6（a6+a7）＝0，S13＝13a7＜0，∴使得Sn＞0的正整數(shù)n的最大值為11，故D正確；故選：BD．11．已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+???+2nan＝n（n∈N*），bn=1log4an?log2an+1，Sn為數(shù)列{bn}的前nA．1 B．2 C．3 D．4【分析】由2a1+22a2++2nan＝n可得2a1+22a2+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1（n≥2），兩式相減得2nan＝1，則an=12n，從而bn=1log4a【解答】解：由2a1+22a2++2nan＝n，得2a1+22a2+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1（n≥2），兩式相減得2nan＝1，則an=1又當n＝1時，2a1＝1，解得a1=1所以an=12n，故bn=所以Sn＝2（1?12+12?13+?+1n?故選：BC．12．對于公差為1的等差數(shù)列{an}，a1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，b1＝2，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)n＝n B．bn＝2n﹣1 C．數(shù)列{lnbn}為等差數(shù)列 D．數(shù)列{anbn}的前n項和為（n﹣1）2n+1+2【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，可判斷A、B、C；由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可判斷D．【解答】解：由公差為1的等差數(shù)列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正確；由公比為2的等比數(shù)列{bn}，b1＝2，可得bn＝2?2n﹣1＝2n，故B錯誤；由lnbn＝ln2n＝nln2，可得數(shù)列{lnbn}是首項和公差均為ln2的等差數(shù)列，故C正確；設數(shù)列{anbn}的前n項和為Sn，Sn＝1?2+2?22+...+n?2n，2Sn＝1?22+2?23+...+n?2n+1，上面兩式相減可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n?2n+1=2(1?2n)1?2?n?2n+1，所以Sn＝2+（n故選：ACD．三．填空題（共4小題，每小題5分，共計20分）13．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＝1+（n﹣1）d，5a2＝a8，則Sn＝．【分析】由題意得5（1+d）＝1+7d，從而確定d＝2，再求數(shù)列的前n項和即可．【解答】解：∵an＝1+（n﹣1）d，5a2＝a8，∴5（1+d）＝1+7d，解得，d＝2，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故Sn=1+2n?12×n＝故答案為：n2．14．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1=an+2【分析】由題意可知數(shù)列{an}是首項為2，公差為2【解答】解：∵an+1=an∴數(shù)列{an}是首項為2，公差為2∴an∴an故答案為：an15．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2，an+2=an+1an【分析】根據(jù)遞推關系依次求出數(shù)列的前幾項，歸納出周期，然后可求解．【解答】解：由已知，a3＝2，a4＝1，a5=12，a6=1因此數(shù)列{an}是周期數(shù)列，周期為6，則a20＝a2＝2．故答案為：2．16．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中公比q∈（0，1），若a3+a5＝5，a2?a6＝4，bn＝log2an，記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，則Sn＞0（n∈N*）成立的n最大值為．【分析】根據(jù)條件求出數(shù)列{an}的通項公式，進而可得數(shù)列{bn}的通項公式，求出{bn}的前n項和，可得Sn＞0時n的取值范圍，進而求得n的最大值．【解答】解：因為等比數(shù)列{an}，所以a3?a5＝a2?a6＝4，又a3+a5＝5，q∈（0，1），所以a3＝4，a5＝1，所以q2=14，即q所以an＝4×（12）n﹣3＝（12）n所以bn＝log2an＝5﹣n，易得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，故Sn=n(9?n)若Sn＞0，則0＜n＜9，因為n∈N*，所以n的最大值為8，故答案為：8．四．解答題（共6小題，第17題10分，18-22題，每題12分，共計70分）17．（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1，求數(shù)列{an}的通項公式；（2）已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n項和Sn滿足Sn+1﹣2Sn+Sn﹣1＝1，求數(shù)列{an}的通項公式．【分析】（1）將給定的遞推公式變形構造等比數(shù)列求解即可．（2）利用當n≥2時，Sn﹣Sn﹣1＝an將原遞推公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列{an}項間關系即可計算作答．【解答】解：（1）數(shù)列{an}中，因an+1＝2an+1，則an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，于是得數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an+1=2×2所以數(shù)列{an}的通項公式是an（2）因數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn+1﹣2Sn+Sn﹣1＝1，則（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝1，而當n≥2時，Sn﹣Sn﹣1＝an，因此有an+1﹣an＝1，又由a1＝2，a2＝3得a2﹣a1＝1滿足上式，于是得數(shù)列{an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，則an＝2+（n﹣1）×1＝n+1，所以數(shù)列{an}的通項公式是an＝n+1．18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求Sn的最小值．【分析】（1）利用數(shù)列的前n項和，求解通項公式即可．（2）求解數(shù)列中，變符號的項，即可推出數(shù)列和的最小值．【解答】解：（1）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2﹣30n