湖南省岳陽市汩羅市第三中學2021-2022學年高二數學文模擬試題含解析

湖南省岳陽市汩羅市第三中學2021-2022學年高二數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，若，則x的值是（）A.－2 B.2或 C.2或－2 D.2或－2或參考答案：A【分析】利用分段函數的性質求解．【詳解】∵函數y，函數值為5，∴當x≤0時，x2+1＝5，解得x＝﹣2，或x＝2（舍），當x＞0時，﹣2x＝5，解得x，（舍）．故選：C．【點睛】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要注意分段函數的性質的合理運用．2.下列判斷錯誤的是（

）A．命題“”的否定是“”B．命題“若，則”的否命題為“若，則”C．函數的圖像恒過定點A（3,2）D．“”是“”的充分不必要條件參考答案：D略3.對于常數，“”是“方程的圖像為橢圓”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B略4.已知函數則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.已知中，，則的值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D6.已知幾何體的三視圖(如右圖)，若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰為3，則該幾何體的表面積為()

A．5πB．3πC．4πD．6π參考答案：A略7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為（

）A.8 B. C. D.參考答案：C【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，根據，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.【詳解】在長方體中，連接，根據線面角的定義可知，因為，所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.8.設A，B為兩個事件，已知，則（

）A. B. C.? D.參考答案：A【分析】根據條件概率計算公式直接求解即可.【詳解】由條件概率的計算公式，可得：本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解，關鍵是能牢記條件概率的計算公式，是基礎題．9.已知點M(，0)，橢圓＋y2＝1與直線y＝k(x＋)交于點A、B，則△ABM的周長為（

）A.4

B.8

C.12

D.16參考答案：B10.等比數列{an}的各項均為正數，且，則（

）A.12 B.10C.9 D.2+log35參考答案：C【分析】先利用等比中項的性質計算出的值，再利用對數的運算性質以及等比中項的性質得出結果。【詳解】由等比中項的性質可得，等比數列的各項均為正數，則，由對數的運算性質得

，故選：C.【點睛】本題考查等比中項和對數運算性質的應用，解題時充分利用這些運算性質，可簡化計算，考查計算能力，屬于中等題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.參考答案：412.若，則n的值為

．參考答案：2或513.在中，角A，B，C的對邊分別為，若，且，則的值為

．參考答案：14.不等式x（x﹣1）＜2的解集為．參考答案：（﹣1，2）【考點】其他不等式的解法．【分析】根據一元二次不等式的解法解不等式即可．【解答】解：∵x（x﹣1）＜2，∴x2﹣x﹣2＜0，即（x﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜2，即不等式的解集為（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）．15.

已知的展開式中x的系數為19，求的展開式中的系數的最小值．．參考答案：解：．由題意，．項的系數為．，根據二次函數知識，當或10時，上式有最小值，也就是當，或，時，項的系數取得最小值，最小值為81．16.過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________．參考答案：17.給出下列命①原命題為真,它的否命題為假；②原命題為真,它的逆命題不一定為真；③若命題的逆命題為真,則它的否命題一定為真；[來源]④若命題的逆否命題為真,則它的否命題一定為真；⑤“若，則的解集為R”的逆命題.其中真命題是________.(把你認為正確命題的序號都填在橫線上)參考答案：②③⑤略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線的焦點為F，A，B拋物線上的兩動點，且，過A，B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M.（1）證明：為定值；（2）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值．參考答案：（Ⅰ）定值為0；（2）S=，S取得最小值4．分析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根據拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據判別式大于0求得和，根據曲線4y=x2上任意一點斜率為y′=，可得切線AM和BM的方程，聯(lián)立方程求得交點坐標，求得和，進而可求得的結果為0，進而判斷出AB⊥FM．（2）利用（1）的結論，根據的關系式求得k和λ的關系式，進而求得弦長AB，可表示出△ABM面積．最后根據均值不等式求得S的范圍，得到最小值．詳解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點F（0，1），準線方程為y=﹣1，顯然AB斜率存在且過F（0，1）設其直線方程為y=kx+1，聯(lián)立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判別式△=16（k2+1）＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4.于是曲線4y=x2上任意一點斜率為y′=，則易得切線AM，BM方程分別為y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，聯(lián)立方程易解得交點M坐標，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1）,從而=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命題得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，則x22=，x12=4λ，|FM|=因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y=﹣1的距離，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=．于是S=|AB||FM|=，由≥2知S≥4，且當λ=1時，S取得最小值4．點睛：本題求S的最值，運用了函數的方法，這種技巧在高中數學里是一種常用的技巧.所以本題先求出S=，再求函數的定義域，再利用基本不等式求函數的最值.19.計算定積分：（1）dx（2）4cosxdx．參考答案：【考點】67：定積分．【分析】利用微積分基本定理，分別求出被積函數的原函數，代入積分上限和下限求值．【解答】解：（1）dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；（2）4cosxdx=4sinx|=4sin=2．20.某工廠生產甲、乙兩種產品，甲產品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產品的一等品率為90%，二等品率為10%．生產1件甲產品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產1件乙產品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設生產各種產品相互獨立．（1）記X（單位：萬元）為生產1件甲產品和1件乙產品可獲得的總利潤，求X的分布列；（2）求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率．參考答案：【考點】離散型隨機變量及其分布列；相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根據題意做出變量的可能取值是10，5，2，﹣3，結合變量對應的事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，寫出變量的概率和分布列．（2）設出生產的4件甲產品中一等品有n件，則二等品有4﹣n件，根據生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元，列出關于n的不等式，解不等式，根據這個數字屬于整數，得到結果，根據獨立重復試驗寫出概率．【解答】解：（1）由題設知，X的可能取值為10，5，2，﹣3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02．∴X的分布列為：X1052﹣3P0.720.180.080.02（2）設生產的4件甲產品中一等品有n件，則二等品有4﹣n件．由題設知4n﹣（4﹣n）≥10，解得，又n∈N，得n=3，或n=4．所求概率為P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192答：生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192．21.已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0．（Ⅰ）當m為何值時，曲線C表示圓；（Ⅱ）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值．參考答案：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．（2）設M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0．將直線方程x+2y-4=0與曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0聯(lián)立并消去y得5x2-8x+4m-16=0，由韋達定理得x1+x2=①,x1x2=②，又由x+2y-4=0得y=(4-x),∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=0．將①、②代入得m=．略22.(本小題滿分14分)已知函數（Ⅰ）求此函數的單調區(qū)間及最值；新課標第一網（Ⅱ）求證：對于任意正整數n，均有（為自然對數的底數）；（Ⅲ）當a＝1時，是否存在過點（1，－1）的直線與函數y＝f（x）的圖象相切?若存在，有多少條?若不存在，說明理由．參考答案：（Ⅰ）解：由題意．

………………1分當時，函數的定義域為，此時函數在上是減函數，在上是增函數，，