湖南省常德市臨澧新安中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖南省常德市臨澧新安中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a＜b＜|a|，則(

) A．＞ B．a(chǎn)b＜1 C．＞1 D．a(chǎn)2＞b2參考答案：D考點：不等關(guān)系與不等式．分析：利用賦值法，排除錯誤選項，從而確定正確答案．解答： 解：∵a＜b＜|a|，∴a＜0，b的正負(fù)不確定；若b=0，可排除A，C；若b=﹣1，a=﹣2，則ab=2＞1，故C錯誤；無論b＞0還是b＜0，b=0，D均成立．故選D．點評：利用賦值法排除錯誤選項，可以有效地簡化解題過程．2.過點（0，-1）作直線l，若直線l與圓x2+(y-1)2=1有公共點，則直線l的傾斜角范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.今有甲、乙、丙、丁四人通過“拔河”進(jìn)行“體力”較量。當(dāng)甲、乙兩人為一方，丙、丁兩人為另一方時，雙方勢均力敵；當(dāng)甲與丙對調(diào)以后，甲、丁一方輕而易舉地戰(zhàn)勝了乙、丙一方；而乙憑其一人之力便戰(zhàn)勝了甲、丙兩人的組合。那么，甲、乙、丙、丁四人的“體力”由強(qiáng)到弱的順序是

A．丁、乙、甲、丙

B．乙、丁、甲、丙

C．丁、乙、丙、甲

D．乙、丁、丙、甲參考答案：A略4.某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為，則橢圓()的離心率的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.一只螞蟻在三邊長分別為3、4、5的三角形面上自由爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離不超過1的概率為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】本題考查的知識點是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出螞蟻距離三角形的三個頂點的距離不超過1區(qū)域面積，利用面積比求概率．【解答】解：由已知得到三角形為直角三角形，三角形ABC的面積為×3×4=6，離三個頂點距離都不大于1的地方如圖三角形的陰影部分，它的面積為半徑為1的半圓面積S=π×12=，所以其恰在離三個頂點距離不超過1的概率為：；故選B【點評】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式；關(guān)鍵是找出事件的測度是符合條件的面積．6.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且關(guān)于x的方程有兩個相等的實根，則（

）A．27 B．21 C．14 D．5參考答案：B根據(jù)題意，關(guān)于的方程有兩個相等的實根，則有，代入等比數(shù)列的通項公式變形可得，即，則，故選B．7.函數(shù)f（x）=（2x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，） B．（2，+∞） C．（0，） D．（，+∞）參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】令f′（x）＞0，解得即可．【解答】解：f′（x）=（2x﹣1）ex，令f′（x）＞0，解得x＞．∴函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）．故選D．【點評】練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．8.在△ABC中，已知∠A：∠B=1：2，角C的平分線CD把三角形面積分為4：3兩部分，則cosA=(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值；解三角形．【分析】由A與B的度數(shù)之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分線定理根據(jù)角平分線CD將三角形分成的面積之比為4：3，得到BC與AC之比，再利用正弦定理得出sinA與sinB之比，將B=2A代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可求出cosA的值．【解答】解：∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∴AC＞BC，∵角平分線CD把三角形面積分成4：3兩部分，∴由角平分線定理得：BC：AC=BD：AD=3：4，∴由正弦定理=得：=，整理得：==，則cosA=．故選：B．【點評】此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，角平分線定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．9.若都是實數(shù)，且，，則與的大小關(guān)系是

A.

B.

C.

D.不能確定參考答案：A10.在極坐標(biāo)系中，過點（2，）且與極軸平行的直線方程是（）A．ρ=2 B．θ= C．ρcosθ=2 D．ρsinθ=2參考答案：D【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】可將極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)處理，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程．【解答】解：點（2，）在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（2，2），即（0，2）∴過點（0，2）且與x軸平行的直線方程為y=2．即為ρsinθ=2．故答案選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…,猜想一般規(guī)律是_____.參考答案：分析：先觀察前面4個式子的規(guī)律，再歸納出第n個式子.詳解：因為1=.1+3=4=1+3+5=9=，1+3+5+7=16=，所以猜想第n個式子：.故答案為：點睛：本題主要考查歸納推理，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和歸納推理能力.12.比較大?。?/p>

參考答案：13.的展開式中的系數(shù)為________用數(shù)字填寫答案）參考答案：40【分析】,根據(jù)的通項公式分r=3和r=2兩種情況求解即可.【詳解】，由展開式的通項公式可得：當(dāng)r=3時，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)r=2時，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為80-40=40.故答案為：40．【點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.14.．雙曲線+=1的離心率，則的值為

參考答案：略15.已知向量,.若,則實數(shù)__________.參考答案：略16.用秦九韶算法計算多項式

當(dāng)時的值為_________。參考答案：017.已知點在同一個球面上,若，,則過兩點及球心的球的截面圖形中兩點間劣弧長是 參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓M：：+=1（a＞0）的一個焦點為F（﹣1，0），左右頂點分別為A，B．經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，求線段CD的長；（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由焦點F坐標(biāo)可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；（Ⅱ）寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式即可求得|CD|；（Ⅲ）當(dāng)直線l不存在斜率時可得，|S1﹣S2|=0；當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1，x2的式子，進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因為F（﹣1，0）為橢圓的焦點，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以橢圓方程為=1；（Ⅱ）因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，所以直線方程為y=x+1，和橢圓方程聯(lián)立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）當(dāng)直線l無斜率時，直線方程為x=﹣1，此時D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|=0，當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），和橢圓方程聯(lián)立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，顯然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此時|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=時等號成立）所以|S1﹣S2|的最大值為．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，難度較大．19.在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+）．現(xiàn)以點O為原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（I）寫出直線l和曲線C的普通方程；（Ⅱ）設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點，定點P（﹣2，﹣3），求|PA|?|PB|的值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直線的參數(shù)方程、曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程帶入到圓C，利用韋達(dá)定理以及直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程下t的幾何意義求得|PA|?|PB|的值【解答】（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程即，所以ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，所以x2+y2﹣4x﹣4y=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）消去參數(shù)，化為普通方程為：．（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程帶入到圓C：x2+y2﹣4x﹣4y=0，得，∴，∴t1t2=33．因為點P（﹣2，﹣3）顯然在直線l上，由直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程下t的幾何意義知|PA||PB|=|t1t2|=33，所以|PA||PB|=33．20.已知函數(shù)y=x3－3x2.（1）求函數(shù)的極小值；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間.

參考答案：解：（1）∵y=x3－3x2，∴=3x2－6x，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

∴當(dāng)x=2時，函數(shù)有極小值-4.

（2）由=3x2-6x>0，解得x<0或x>2，

∴遞增區(qū)間是，.略21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且側(cè)面PAB⊥平面ABCD，點E是AB的中點．（Ⅰ）求證：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求證：PE⊥AD．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）由已知CD∥AB，由此能證明CD∥平面PAB．（Ⅱ）推導(dǎo)出PE⊥AB，從而PE⊥平面ABCD，由此能證明PE⊥AD．【解答】證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴CD∥AB．又∵CD?平面PAB，且AB?平面PAB，∴CD∥平面PAB．（Ⅱ）∵PA=PB，點E是AB的中點，∴PE⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，∴PE⊥平面ABCD．∵AD?平面ABCD，∴PE⊥AD．【點評】本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日

期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x（°C）1011131286就診人數(shù)y（個）222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗．（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；（2）若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；（附：==）參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】（1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C62種情況，滿足條件的事件