高中數(shù)學蘇教版2第1章統(tǒng)計．2回歸分析 蘇教版選修 回歸分析 學案

回歸分析的有關概念【例1】(1)有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數(shù)學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4(2)如果某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a＋ε(單位：億元)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝2，|ε|≤，如果今年該地區(qū)財政收入10億元，則今年支出預計不會超過________億．[解](1)①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，故正確．③解釋的是回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的作用，故正確．④是不正確的，在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以發(fā)現(xiàn)兩變量的關系．(2)由題意可得：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋2＋ε，當x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤，∴≤eq\o(y,\s\up6(^))≤.故今年支出預計不會超過億．[答案](1)C(2)1．在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關關系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程．2．由線性回歸方程給出的是一個預報值而非精確值．1.隨機誤差的主要來源．(1)線性回歸模型與真實情況引起的誤差；(2)省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差；(3)觀測與計算產(chǎn)生的誤差．1．下列有關線性回歸的說法，不正確的是________(填序號)．①自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系；②在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖；③線性回歸方程最能代表觀測值x，y之間的關系；④任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回歸直線方程．[解析]只有具有線性相關的兩個觀測值才能得到具有代表意義的回歸直線方程．[答案]④線性回歸分析【例2】為研究拉力x(N)對彈簧長度y(cm)的影響，對不同拉力的6根彈簧進行測量，測得如下表中的數(shù)據(jù)：x51015202530y98(1)畫出散點圖；(2)如果散點圖中的各點大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的回歸直線方程．[思路探究]eq\x(作散點圖)→eq\x(得到x，y有較好線性關系)→eq\x(代入公式求得線性回歸方程)[解](1)散點圖如圖所示．(2)將已知表中的數(shù)據(jù)列成下表：xi51015202530yi98xiyi198354xeq\o\al(2,i)25100225400625900eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)≈，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2273.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1－6××,2275－6×≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×＝.∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.本題條件不變，若x增加2個單位，eq\o(y,\s\up6(^))增加多少？[解]若x增加2個單位，則eq\o(y,\s\up6(^))＝(x＋2)＋＝＋＋，故eq\o(y,\s\up6(^))增加個單位．1．散點圖是定義在具有相關關系的兩個變量基礎上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點圖，在圖上看它們有無關系，關系的密切程度，然后再進行相關回歸分析．2．求回歸直線方程時，首先應注意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．非線性回歸分析[探究問題]1．已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個函數(shù)中，哪一個作為回歸模型最好？x123y3①y＝3×2x－1； ②y＝log2x；③y＝4x; ④y＝x2.[提示]觀察散點圖中樣本點的分布規(guī)律可判斷樣本點分布在曲線y＝3×2x－1附近．①作為回歸模型最好．2．如何解答非線性回歸問題？[提示]非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式．這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：【例3】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)身高x(cm)100130140150160170體重y(kg)(1)試建立y與x之間的回歸方程；(2)如果一名在校男生身高為168cm，預測他的體重約為多少？[思路探究]先由散點圖確定相應的函數(shù)模型，再通過對數(shù)變換將非線性相關轉(zhuǎn)化為線性相關的兩個變量來求解．[解](1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，如下：由圖看出，這些點分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110zx100130140150160170z作出散點圖，如下：由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回歸直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝＋，則有eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由(1)知，當x＝168時，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋×168≈，所以在校男生身高為168cm，預測他的體重約為kg.兩個變量不具有線性關系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，如y＝c1eeq\s\up10(c2x)，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關系變?yōu)榫€性關系，令z＝lny，則變換后樣本點應該分布在直線z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的周圍.2．有一個測量水流量的實驗裝置，測得試驗數(shù)據(jù)如下表：i1234567水深h(厘米)95流量Q(升/分鐘)92134根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立Q與h之間的回歸方程．[解]由表中測得的數(shù)據(jù)可以作出散點圖，如圖．觀察散點圖中樣本點的分布規(guī)律，可以判斷樣本點分布在某一條曲線附近，表示該曲線的函數(shù)模型是Q＝m·hn(m，n是正的常數(shù))．兩邊取常用對數(shù)，則lgQ＝lgm＋n·lgh，令y＝lgQ，x＝lgh，那么y＝nx＋lgm，即為線性函數(shù)模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lgm)．由下面的數(shù)據(jù)表，用最小二乘法可求得eq\o(b,\s\up6(^))≈7，eq\o(a,\s\up6(^))＝－7，所以n≈，m≈.ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi1－9－2324－17－939336492224255040668357951343163∑17于是所求得的回歸方程為Q＝·.1．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關于x的線性回歸方程必過點()x1234y1357A．(2,3) B．,4)C．,4) D．,5)[解析]線性回歸方程必過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即,4)，故選C.[答案]C2．在兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型．它們的相關指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關指數(shù)R2為B．模型2的相關指數(shù)R2為C．模型3的相關指數(shù)R2為D．模型4的相關指數(shù)R2為[解析]相關指數(shù)R2越接近于1，則該模型的擬合效果就越好，精度越高．[答案]A1.如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉________這組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)最大．[答案]D(3,10)2.為了考查兩個變量Y與x的線性相關性，測是x，Y的13對數(shù)據(jù)，若Y與x具有線性相關關系，則相關系數(shù)r絕對值的取值范圍是________．[解析]相關系數(shù)臨界值＝，所以Y與x若具有線性相關關系，則相關系數(shù)r絕對值的范圍是,1]．[答案],1]3.某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)對兩個變量進行相關性檢測；(3)求回歸直線方程．[解](1)散點圖如圖所示(2)計算各數(shù)據(jù)如下：i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝13500，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380r＝eq\f(1380－5×5×50,\r(145－5×5213500－5×502))≈，查得＝，r>，故有95%的把握認為該產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額之間具有線性相關關系．(3)eq\o(b