高中數(shù)學(xué)蘇教版2第1章統(tǒng)計(jì)．2回歸分析 蘇教版選修 回歸分析 學(xué)案

回歸分析的有關(guān)概念【例1】(1)有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4(2)如果某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a＋ε(單位：億元)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝2，|ε|≤，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，則今年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過________億．[解](1)①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，故正確．③解釋的是回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的作用，故正確．④是不正確的，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以發(fā)現(xiàn)兩變量的關(guān)系．(2)由題意可得：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋2＋ε，當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤，∴≤eq\o(y,\s\up6(^))≤.故今年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過億．[答案](1)C(2)1．在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程．2．由線性回歸方程給出的是一個(gè)預(yù)報(bào)值而非精確值．1.隨機(jī)誤差的主要來源．(1)線性回歸模型與真實(shí)情況引起的誤差；(2)省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差；(3)觀測(cè)與計(jì)算產(chǎn)生的誤差．1．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是________(填序號(hào))．①自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系；②在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖；③線性回歸方程最能代表觀測(cè)值x，y之間的關(guān)系；④任何一組觀測(cè)值都能得到具有代表意義的回歸直線方程．[解析]只有具有線性相關(guān)的兩個(gè)觀測(cè)值才能得到具有代表意義的回歸直線方程．[答案]④線性回歸分析【例2】為研究拉力x(N)對(duì)彈簧長度y(cm)的影響，對(duì)不同拉力的6根彈簧進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得如下表中的數(shù)據(jù)：x51015202530y98(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的回歸直線方程．[思路探究]eq\x(作散點(diǎn)圖)→eq\x(得到x，y有較好線性關(guān)系)→eq\x(代入公式求得線性回歸方程)[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)將已知表中的數(shù)據(jù)列成下表：xi51015202530yi98xiyi198354xeq\o\al(2,i)25100225400625900eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)≈，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2273.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1－6××,2275－6×≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×＝.∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.本題條件不變，若x增加2個(gè)單位，eq\o(y,\s\up6(^))增加多少？[解]若x增加2個(gè)單位，則eq\o(y,\s\up6(^))＝(x＋2)＋＝＋＋，故eq\o(y,\s\up6(^))增加個(gè)單位．1．散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析．2．求回歸直線方程時(shí)，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．非線性回歸分析[探究問題]1．已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個(gè)函數(shù)中，哪一個(gè)作為回歸模型最好？x123y3①y＝3×2x－1； ②y＝log2x；③y＝4x; ④y＝x2.[提示]觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律可判斷樣本點(diǎn)分布在曲線y＝3×2x－1附近．①作為回歸模型最好．2．如何解答非線性回歸問題？[提示]非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式．這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：【例3】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)身高x(cm)100130140150160170體重y(kg)(1)試建立y與x之間的回歸方程；(2)如果一名在校男生身高為168cm，預(yù)測(cè)他的體重約為多少？[思路探究]先由散點(diǎn)圖確定相應(yīng)的函數(shù)模型，再通過對(duì)數(shù)變換將非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)的兩個(gè)變量來求解．[解](1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如下：由圖看出，這些點(diǎn)分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110zx100130140150160170z作出散點(diǎn)圖，如下：由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回歸直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝＋，則有eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由(1)知，當(dāng)x＝168時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋×168≈，所以在校男生身高為168cm，預(yù)測(cè)他的體重約為kg.兩個(gè)變量不具有線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，如y＝c1eeq\s\up10(c2x)，我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的周圍.2．有一個(gè)測(cè)量水流量的實(shí)驗(yàn)裝置，測(cè)得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：i1234567水深h(厘米)95流量Q(升/分鐘)92134根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立Q與h之間的回歸方程．[解]由表中測(cè)得的數(shù)據(jù)可以作出散點(diǎn)圖，如圖．觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律，可以判斷樣本點(diǎn)分布在某一條曲線附近，表示該曲線的函數(shù)模型是Q＝m·hn(m，n是正的常數(shù))．兩邊取常用對(duì)數(shù)，則lgQ＝lgm＋n·lgh，令y＝lgQ，x＝lgh，那么y＝nx＋lgm，即為線性函數(shù)模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lgm)．由下面的數(shù)據(jù)表，用最小二乘法可求得eq\o(b,\s\up6(^))≈7，eq\o(a,\s\up6(^))＝－7，所以n≈，m≈.ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi1－9－2324－17－939336492224255040668357951343163∑17于是所求得的回歸方程為Q＝·.1．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性回歸方程必過點(diǎn)()x1234y1357A．(2,3) B．,4)C．,4) D．,5)[解析]線性回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即,4)，故選C.[答案]C2．在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型．它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為[解析]相關(guān)指數(shù)R2越接近于1，則該模型的擬合效果就越好，精度越高．[答案]A1.如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉________這組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大．[答案]D(3,10)2.為了考查兩個(gè)變量Y與x的線性相關(guān)性，測(cè)是x，Y的13對(duì)數(shù)據(jù)，若Y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)r絕對(duì)值的取值范圍是________．[解析]相關(guān)系數(shù)臨界值＝，所以Y與x若具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)r絕對(duì)值的范圍是,1]．[答案],1]3.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性檢測(cè)；(3)求回歸直線方程．[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)計(jì)算各數(shù)據(jù)如下：i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝13500，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380r＝eq\f(1380－5×5×50,\r(145－5×5213500－5×502))≈，查得＝，r>，故有95%的把握認(rèn)為該產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(3)eq\o(b