高中數(shù)學(xué)北師大版1本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 學(xué)業(yè)分層測評16

學(xué)業(yè)分層測評(十六)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．過拋物線y＝ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AF、BF的長分別為m，n，則eq\f(mn,m＋n)等于()\f(1,2a) B．eq\f(1,4a)C．2a D．eq\f(a,4)【解析】拋物線y＝ax2(a＞0)的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝eq\f(1,a)y∴2p＝eq\f(1,a)，p＝eq\f(1,2a)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(2,p)＝4a∴eq\f(mn,m＋n)＝eq\f(1,\f(1,m)＋\f(1,n))＝eq\f(1,4a).【答案】B2．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2【解析】∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，∴P(1,2)．將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)得k＝2.故選D.【答案】D3．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，eq\o(FA,\s\up12(→))與x軸正向的夾角為60°，則|OA|為()\f(21,4)p B．eq\f(\r(21),2)p\f(\r(13),6)p D．eq\f(13,36)p【解析】如圖所示，設(shè)A(x0，y0)，|FB|＝m，∵∠AFB＝60°，∴|AF|＝2m，|AB|＝eq\r(3)m，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝m＋\f(p,2),y0＝\r(3)m))由拋物線的定義|AF|＝x0＋eq\f(p,2)＝m＋p∴2m＝m＋p，∴m＝p，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)p，\r(3)p))，∴|OA|＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝eq\r(\f(9,4)p2＋3p2)＝eq\f(\r(21),2)p.【答案】B4．過點(diǎn)P(4,4)與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A．0條 B．1條C．2條 D．3條【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不符合題意，故設(shè)直線方程為y－4＝k(x－4)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－4＝kx－4，,y2＝2x，))得：ky2－2y＋8－8k＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，解得：y＝4，故直線與拋物線交于點(diǎn)(8,4)，當(dāng)k≠0時(shí)，由Δ＝4－4k(8－8k)＝0得：k＝eq\f(2±\r(2),4)，故有兩條直線與拋物線相切，故符合條件的直線有3條．【答案】D5．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若eq\o(FA,\s\up12(→))＋eq\o(FB,\s\up12(→))＋eq\o(FC,\s\up12(→))＝0，則|eq\o(FA,\s\up12(→))|＋|eq\o(FB,\s\up12(→))|＋|eq\o(FC,\s\up12(→))|＝()A．9 B．6C．4 D．3【解析】設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由eq\o(FA,\s\up12(→))＋eq\o(FB,\s\up12(→))＋eq\o(FC,\s\up12(→))＝0，得xA＋xB＋xC＝3.∴|eq\o(FA,\s\up12(→))|＋|eq\o(FB,\s\up12(→))|＋|eq\o(FC,\s\up12(→))|＝xA＋eq\f(p,2)＋xB＋eq\f(p,2)＋xC＋eq\f(p,2)＝3＋eq\f(3,2)p＝3＋eq\f(3,2)×2＝6.【答案】B二、填空題6．已知拋物線的離心率為e，焦點(diǎn)為(0，e)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【解析】由e＝1，得焦點(diǎn)為(0,1)，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.【答案】x2＝4y7．已知A(2,0)，點(diǎn)B為拋物線y2＝x上的一點(diǎn)，求|AB|的最小值為________．【解析】設(shè)點(diǎn)B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥0，所以|AB|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4))，所以當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，|AB|取得最小值，且|AB|的最小值為eq\f(\r(7),2).【答案】eq\f(\r(7),2)8．已知定點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，動點(diǎn)P在拋物線y2＝2x上移動，則eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))的最小值等于________．【導(dǎo)學(xué)號：32550080】【解析】設(shè)P(x0，y0)則yeq\o\al(2,0)＝2x0，x0≥0，∴eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－9＝xeq\o\al(2,0)＋2x0－9，當(dāng)x0＝0時(shí)，eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))min＝－9.【答案】－9三、解答題9．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程．【解】∵橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1的短軸在x軸上，∴拋物線的對稱軸為x軸．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，∵拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.∴拋物線的方程為y2＝12x或y2＝－12x，準(zhǔn)線方程分別為x＝－3或x＝3.10．若拋物線y2＝2px(p>0)上有一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和6，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【解】∵點(diǎn)M到對稱軸的距離為6，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，±6)．∵點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)＝10，,±62＝2px，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,p＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,p＝18.))，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1或9.[能力提升]1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為()\f(\r(2),2) B．eq\r(2)\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)【解析】設(shè)∠AFx＝θ(0＜θ＜π)及|BF|＝m，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x＝－1的距離為3，得3＝2＋3cosθ，則cosθ＝eq\f(1,3).又m＝2＋mcos(π－θ)，則m＝eq\f(2,1＋cosθ)＝eq\f(3,2)，所以△AOB的面積為S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|AB|·sinθ＝eq\f(1,2)×1×(3＋eq\f(3,2))×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3\r(2),2).【答案】C2．如圖3-2-2，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()圖3-2-2A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x【解析】如圖，分別過A，B作AA1⊥l于點(diǎn)A1，BB1⊥l于點(diǎn)B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過點(diǎn)F作FF1⊥AA1于點(diǎn)F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于點(diǎn)K，則|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，∴拋物線方程為y2＝3x，故選C.【答案】C3．已知定點(diǎn)Q(2，－1)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，動點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)|PQ|＋|PF|取最小值時(shí)，P的坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即需D，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)|PQ|＋|PF|最?。畬(2，－1)的縱坐標(biāo)代入y2＝4x得x＝eq\f(1,4)，故P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1))4．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．求證：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.【證明】如圖，∵拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x＝my＋eq\f(p,2)，代入拋物線方程得y2－2pmy－p