高中數(shù)學人教B版第一章立體幾何初步 第一章單元測驗

第一章單元測驗班級____姓名____考號____分數(shù)____本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．如圖，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BC答案：C2．下列說法中正確的有()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐D．圓錐的頂點與底在圓周上的任意一點的連線都是母線答案：D3．圓錐的高伸長為原來的2倍，底面半徑縮小為原來的eq\f(1,2)，則它的體積是原來體積的()\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)\f(6,5)答案：A解析：設原圓錐高為h，底面面積為S，則V＝eq\f(1,3)hS，新圓錐的高為2h，底面面積為eq\f(S,4)，∴V′＝eq\f(1,3)×2h×eq\f(S,4)＝eq\f(1,2)V.4．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中點，F(xiàn)是BB1的中點，設過點C1，E，F(xiàn)三點的平面為α，則正方體被平面α所截的截面的形狀為A．菱形B．矩形C．梯形D．五邊形答案：A解析：設正方體棱長為a，連接AE，C1F易發(fā)現(xiàn)AE∥C1F，所以平面α經(jīng)過點A，所以截面是四邊形AEC1F，根據(jù)勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝eq\f(\r(5),2)a，所以截面為菱形5．如圖所示是一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中不在同一平面內(nèi)的有________對．()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：將展開圖恢復為正方體，如圖所示，則有AB與CD，AB與GH，EF與GH.6．一個畫家有14個邊長為1m的正方體，他在地面上把它擺成如圖所示的形式，然后，他把露出的表面都染上顏色，A．21m2C．33m2答案：C解析：上表面面積為3×3＝9(m2)側(cè)面面積為3×4＋2×4＋1×4＝24(m2)故被染上顏色的面積為337．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點，則下列推斷不正確的是()A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC答案：D解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，A正確，由BC⊥平面PAB得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D為PB的中點，∴AD⊥PB，從而AD⊥平面PBC，C正確，而PC?平面PBC，∴AD⊥PC，B正確，在平面PBC中，∵PB⊥BC，∴PB與CD不垂直，故PB不垂直平面ADC，D錯誤．8．三棱柱的底面是邊長為eq\r(3)的等邊三角形，且側(cè)棱與底面垂直，該三棱柱外接球的半徑為2，則該三棱柱的體積為()\f(9,2)B．4\f(10,3)D．5答案：A解析：三棱柱上下底面正三角形中心的連線的中點即為球心，球心與三棱柱頂點的連線為球半徑R，而底面正三角形中心與正三角形頂點的連線長為eq\f(2,3)×eq\r(3)×cos30°＝1.故三棱柱的側(cè)棱長為2eq\r(22－1)＝2eq\r(3).則該三棱柱的體積為2eq\r(3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×sin60°＝eq\f(9,2).9．已知三條不同的直線a，b，c，三個不同的平面α，β，γ，有下面四個命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，則α∥γ；②若直線a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α；④若a?α，b?α，c⊥a，c⊥b，則c⊥α.其中正確的命題是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案：B解析：命題①錯誤，因為α與γ還可能相交；命題②正確，設a與b確定的平面為γ，由題設知α∥γ，β∥γ，所以α∥β，所以排除A、C、D，答案選B.10．如圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的全面積為()A．(1＋2eq\r(2))a2B．(2＋eq\r(2))a2C．(3－2eq\r(2))a2D．(4＋eq\r(2))a2答案：B解析：設正方體棱長為x，所以：x＝eq\f(\r(2),2)a.故S全＝2×a×eq\f(a,2)＋2×a×eq\f(\r(2),2)a＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\r(2)a2＋2a2＝(eq\r(2)＋2)a2.11.兩個相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放在棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有()A．1個B．2個C．3個D．無窮多個答案：D解析：本題可以轉(zhuǎn)化為一個正方形可以有多少個內(nèi)接正方形，顯然有無窮多個．12.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1⊥BC1，A1C1⊥A1B1，過C1作C1H⊥平面ABCA．在直線AC上B．在直線BC上C．在△ABC內(nèi)部D．在直線AB上答案：D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱A1B1、B1C1的中點，P是棱AD上一點，AP＝1，過P、M、N的平面與棱CD交于Q，則PQ答案：2eq\r(2)解析：如圖在Rt△ADC中，DP＝2，DQ＝2，∴PQ＝2eq\r(2).

14．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一個內(nèi)接正六棱錐P－ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．答案：6eq\r(7)解析：顯然正六棱錐P－ABCDEF的底面的外接圓是球的一個大圓，由已知，可得大圓的半徑為2.易得其內(nèi)接正六邊形的邊長為2.又正六棱錐P－ABCDEF的高為2，則斜高為eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，所以該正六棱錐的側(cè)面積為6×eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＝6eq\r(7).15．對于四面體ABCD，下列命題正確的是________．(寫出所有正確命題的編號)．①相對棱AB與CD所在的直線是異面直線；②由頂點A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；④任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；⑤分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點．答案：①④⑤解析：本題考查空間幾何體的線線關系，以及空間想象能力．如圖所示，四面體ABCD中，AB與CD是異面直線，故①正確；當四面體ABCD中，對棱AB與CD不垂直時，由頂點A作四面體的高，其垂足不是△BCD三條高線的交點，故②不正確；若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足不一定重合，故③不正確；如圖，過頂點A作AO⊥面BCD，O為垂足，連結OB、OC、OD，則S△ABC>S△BOC，S△ACD>S△COD，S△ABD>S△BOD，∴S△ABC＋S△ACD＋S△ABD>S△BOC＋S△COD＋S△BOD＝S△BCD，故④正確．如圖四面體ABCD中取AB、CD、AD、BC的中點分別為E、F、M、N，連線EF、MN，則EF、MN分別為?EMFN的對角線，∴EF、MN相交于點O，且O為EF、MN的中點，取AC、BD的中點分別為R、H，則ERFH為平行四邊形，即點O也是RH的中點，故⑤正確．16．圖中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖，則h＝________答案：4解析：由三視圖可知，棱錐的三條長分別為5,6，h的側(cè)棱兩兩垂直，故eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×6×h＝20，h＝4.三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知底面為正方形的四棱錐P－ABCD，如圖(1)所示，PC⊥面ABCD，其中圖(2)為該四棱錐的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖，它們是腰長為4cm(1)根據(jù)圖(2)所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為內(nèi)含一條對角線，邊長為4cm的正方形，俯視圖如下圖所示，其面積為16(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(42＋42)＝eq\r(32)＝4eq\r(2).由正視圖可知AD＝4且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(4\r(2)2＋42)＝4eq\r(3)cm.18．(12分)如圖，在側(cè)棱垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)是B1C求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥證明：(1)因為CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F19．(12分)如圖，AB是圓柱的母線，O′是上底面的圓心，△BCD是下底面圓的內(nèi)接三角形，且BD是下底面圓的直徑，E是CD的中點．求證：(1)O′E∥平面ABC；(2)平面O′CD⊥平面ABC.解：(1)取BC中點為F，連接EF，O′A，則EF是△BCD的中位線，∴EF綊eq\f(1,2)BD.設下底面圓心為O，連接OO′，∵AB是母線，∴AB綊OO′，∴AO′綊EF，∴AF∥O′E且AF?平面ABC，O′E?平面ABC，∴O′E∥平面ABC.(2)在圓柱中，AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD∵BC⊥CD，AB∩BC＝B∴CD⊥平面ABC∵CD?平面O′CD∴平面O′CD⊥平面ABC.20．(12分)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是CB、CD、CC1的中點(1)求證：平面AB1D1∥平面EFG；(2)求證：平面AA1C⊥證明：(1)連接BD，∵E、F分別為BC、CD的中點，∴EF∥BD.∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1.又EF?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1，同理EG∥平面AB1D1.∵EF∩EG＝E，∴平面AB1D1∥平面EFG.(2)∵AA1⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，∴AA1⊥EF.又EF⊥AC，AA1∩AC＝A，∴EF⊥平面A1AC又EF?平面EFG，∴平面AA1C⊥21．(12分)如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分別是AB、PD的中點，∠ADP＝45°.(1)求證：AF∥平面PCE.(2)求證：平面PCD⊥平面PCE.(3)若AD＝2，CD＝3，求點F到平面PCE的距離．解：(1)證明：設M為PC中點，連接ME、MF.則MF綊eq\f(1,2)CD，AE綊eq\f(1,2)CD，∴MF綊AE，∴四邊形AEMF為平行四邊形．∴AF∥ME，又∵ME?平面PCE，∴AF∥平面PCE.(2)證明：∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直角三角形，∵PF＝FD，∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD?平面ABCD.∴CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD，又∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EM∥AF，∴EM⊥平面PCD.∵EM?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD.(3)過點F作FG⊥PC，交PC于G，∵平面PCE⊥平面PCD，∴FG⊥平面PCE，即FG為點F到平面PCE的距離．在Rt△PCD中，PD＝2eq\r(2)，PC＝eq\r(17).∵△PFG∽△PCD，∴eq\f(PF,PC)＝eq\f(FG,CD)，∴FG＝3eq\f(\r(34),17).22．(12分)如圖M、N、P分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的點(1)若eq\f(BM,MA)＝eq\f(BN,NC)，求證：無論點P在D1D上如何移動，總有BP⊥MN；(2)棱DD1上是否存在這樣的點P，使得平面APC1⊥平面ACC1？證明你的結論．解：(1)證明：連AC，BD，在△ABC中，∵eq\f(BM,MA)＝eq\f(BN,NC)，∴MN∥AC.又∵AC⊥BD，DD1⊥底面ABCD.∴DD1⊥AC，故AC⊥平面BDD1B1.進而MN⊥平面