2021-2022學(xué)年山西省太原市重型機(jī)器廠第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年山西省太原市重型機(jī)器廠第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．[0，+∞） D．（2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】問(wèn)題等價(jià)于f′（x）=2在（0，+∞）上有解，分離出參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解，而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因?yàn)閤＞0，所以2﹣＜2，所以a的取值范圍是（﹣∞，2）．故選B．2.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為(

)

參考答案：D3.已知的角所對(duì)的邊分別為，若，則邊

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：由正弦定理得，∴，答案B4.已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和,，則的值為A．－110

B．－90

C．90

D．110參考答案：D5.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是雙曲線C上與不重合的動(dòng)點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.2參考答案：D【分析】設(shè)，，，根據(jù)可得①，再根據(jù)又②，由①②可得，化簡(jiǎn)可得，即可求出離心率．【詳解】解：設(shè)，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．

7.對(duì)于兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，以下結(jié)論正確的是（）A．若m?α，n∥β，m，n是異面直線，則α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，則n∥βC．若m?α，n∥α，m，n共面于β，則m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，則m，n為異面直線參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)空間直線和平面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．α∥β時(shí)，m?α，n∥β，m，n是異面直線，可以成立，故A錯(cuò)誤，B．若m⊥α，m⊥β，則α∥β，因?yàn)閚∥α，則n∥β或n?β，故B錯(cuò)誤，C．利用線面平行的性質(zhì)定理，可得C正確，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，則m，n為異面直線或相交直線，故D不正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．8.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c．若sinA=2sinB，，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得a=2b，進(jìn)而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos=16，解可得b的值，進(jìn)而可得a的值，由三角形面積公式計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，△ABC中，若sinA=2sinB，則有a=2b，c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos=16，解可得b=，則a=2b=，則S△ABC=absinC=，故選：A．9.函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖像大致是（

）（A） （B）（C） （D）參考答案：D10.平行四邊形中，=（1，0），=（2，2），則等于 A．4

B．-4

C．2

D．-2參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列五個(gè)函數(shù)中：①；②；③；④；⑤，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)是

(將正確的序號(hào)都填上）.參考答案：②③12.計(jì)算：_____________.參考答案：.13.若函數(shù)是冪函數(shù)，且滿足，則的值等于

▲

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)B8【答案解析】

設(shè)f（x）=xa，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a，

解得：a=log23，∴f（）=()log23=．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】先設(shè)f（x）=xa代入題設(shè)，求出a的值，求出函數(shù)關(guān)系式．把代入函數(shù)關(guān)系式即可．14.當(dāng)x∈[﹣2，1]時(shí)，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣6，﹣2]【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對(duì)a取交集．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對(duì)任意a∈R恒成立；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，令f（x）=，則f′（x）=﹣++=﹣（*），當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤﹣﹣，由（*）式可知，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣6≤a≤﹣2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．故答案為：[﹣6，﹣2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對(duì)參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題．15.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為_(kāi)_______。參考答案：16.

設(shè)函數(shù)，則__________。參考答案：17.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足，當(dāng)均為整數(shù)時(shí)稱點(diǎn)為整點(diǎn)，則所有整點(diǎn)中滿足為奇數(shù)的點(diǎn)的概率為

．參考答案：列舉得基本事件數(shù)有個(gè)，符合條件的基本事件數(shù)有個(gè)，故所求概率為。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題12分）如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中點(diǎn).(Ⅰ)求證:A1B∥平面AMC1;(Ⅱ)求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值;(Ⅲ)試問(wèn):在棱A1B1上是否存在點(diǎn)N,使AN與MC1成角60°?若存在,確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：證明:(Ⅰ)連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OM.∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,

∴四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn).又∵M(jìn)為BC中點(diǎn),

∴OM為△A1BC中位線,

∴A1B∥OM,∵OM?平面AMC1,A1B?平面AMC1,

所以A1B∥平面AMC1.解:(Ⅱ)由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,故BA,BC,BB1兩兩垂直.可建立如圖空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz.設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0).則=(1,﹣2,0),=(2,﹣2,1),設(shè)平面AMC1的法向量為=(x,y,z),則有,即所以取y=1,得=(2,1,﹣2).又∵=(0,0,1)∴直線CC1與平面AMC1所成角θ滿足sinθ==故直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值為解:(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N.∵N在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可設(shè)N(0,λ,1),其中0≤λ≤2.∴=(0,λ﹣2,1),=(1,0,1).∵AN與MC1成60°角,∴==.即,解得λ=1,或λ=3(舍去).所以當(dāng)點(diǎn)N為線段A1B1中點(diǎn)時(shí),AN與MC1成60°角.19.[選修4-5：不等式選講]設(shè)a，b為互不相等的正實(shí)數(shù)，求證：4（a3+b3）＞（a+b）3．參考答案：【考點(diǎn)】綜合法與分析法(選修）．【分析】利用分析法，從結(jié)論入手，尋找結(jié)論成立的條件，即可得到證明．【解答】證明：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以要證4（a3+b3）＞（a+b）3，只要證4（a+b）（a2﹣ab+b2）＞（a+b）3，即要證4（a2﹣ab+b2）＞（a+b）2，只需證3（a﹣b）2＞0，而a≠b，故3（a﹣b）2＞0成立．∴4（a3+b3）＞（a+b）3．20.已知橢圓C：(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為2，拋物線M：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)C的左焦點(diǎn)F。(1)求C與M的方程；(2)直線l經(jīng)過(guò)C的上頂點(diǎn)且l與M交于P、Q兩點(diǎn)，直線FP、PQ與M分別交于點(diǎn)D(異于點(diǎn)P)，E(異于點(diǎn)Q)，證明：直線DE的斜率為定值。參考答案：21.央視財(cái)經(jīng)頻道《升級(jí)到家》欄目答題有獎(jiǎng)，游戲規(guī)則：每個(gè)家庭兩輪游戲，均為三局兩勝，第一輪3題答對(duì)2題，可獲得小物件（家電），價(jià)值1600元；第二輪3題答對(duì)2題，可獲得大物件（家具）價(jià)值5400元（第一輪的答題結(jié)果與第二輪答題無(wú)關(guān)），某高校大二學(xué)生吳乾是位孝順的孩子，決定報(bào)名參賽，用自己的知識(shí)答題贏取大獎(jiǎng)送給父母，若吳乾同學(xué)第一輪3題，每題答對(duì)的概率均為，第二輪三題每題答對(duì)的概率均為．（Ⅰ）求吳乾同學(xué)能為父母贏取小物件（家電）的概率；（Ⅱ）若吳乾同學(xué)答題獲得的物品價(jià)值記為X（元）求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：：解：（1）由題意贏取小物件即第一輪答對(duì)2題，∴所求概率P==；（2）贏取大物件即第二輪答對(duì)2題，∴所求概率P′==，同理可求P（X=0）=（+×）×（+