高中數(shù)學高考三輪沖刺 天津南開中學2023屆高三數(shù)學解析壓軸題復習

橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為坐標原點.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設過點的直線與相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求的方程.解：在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（Ｉ）求橢圓的方程；（II）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點）.點D在橢圓C上，且，直線BD與軸、軸分別交于M，N兩點. （i）設直線BD，AM的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值； （ii）求面積的最大值.解：（I）由題意知，可得.橢圓C的方程可化簡為.將代入可得，因此，可得.因此，所以橢圓C的方程為.（II）（ⅰ）設，則，因為直線AB的斜率，又，所以直線AD的斜率，設直線AD的方程為，由題意知，由，可得.所以，因此，由題意知，所以，所以直線BD的方程為，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常數(shù)使得結論成立.（ⅱ）直線BD的方程，令，得，即，由（?。┲?，可得的面積，因為，當且僅當時等號成立，此時S取得最大值，所以的面積的最大值為.圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖），雙曲線過點P且離心率為.（1）求的方程；（2）橢圓過點P且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓心過點P，求的方程.（Ⅰ）設切點坐標為，則切線斜率為，切線方程為，即，此時，兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為.由知當且僅當時有最大值，即S有最小值，因此點P得坐標為，由題意知解得，故方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦點坐標為，由此的方程為，其中.由在上，得，解得b12=3，因此C2方程為顯然，l不是直線y=0.設l的方程為x=my+，點由得，又是方程的根，因此，由得因由題意知，所以，將①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直線l的方程為，或.設橢圓：，拋物線：．（Ⅰ）若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率；（Ⅱ）設，，又為與不在軸上的兩個交點，若的垂心為，且的重心在上，求橢圓和拋物線的方程．（1）由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上，可得：，由。(2)由題設可知M、N關于y軸對稱，設,由的垂心為B，有。由點在拋物線上，，解得：故，得重心坐標.由重心在拋物線上得：，，又因為M、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。【審題要津】對：，令，解出的在軸上的橫截距即為的焦點的橫坐標，據(jù)此（與的關系）易得的離心率．解：（Ⅰ）對：，令，解得．由題設知，于是．【審題要津】易見同時是與的頂點．由是的垂心，可得，又的重心在上（坐標滿足方程）也可得一個方程．兩個方程均需點的坐標，于是應先由求出點的坐標（用的參數(shù)表示）．好在有一個已知的公共點，計算不難．解：（Ⅱ）設的焦距為，①-②得，．

注意到是其一個“當然的”根，依韋達定理，則另一根為．代入②，得．于是，．由，得．于是，，此時，，．的重心的坐標為．由，．解得，于是，，故的方程為，的方程為．【解法研究】（Ⅱ）求與的交點時，充分利用是其一個“已知”的公共點，對方程有一個根為的判斷就是“當然的”——不算也可知，“驗一下”也是為了確保方程無誤．此外，計算過程中不宜追求用兩個字母表示，否則式子會較繁，畢竟還有一個“做后盾”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，分別是橢圓的左、右焦點，頂點B的坐標為，連結并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結．（1）若點C的坐標為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率e的值．【答案】本小題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力.滿分14分.（1）∵，∴∵，∴，∴∴橢圓方程為（2）設焦點∵關于x軸對稱，∴∵三點共線，∴，即①∵，∴，即②①②聯(lián)立方程組，解得∴∵C在橢圓上，∴，化簡得，∴,故離心率為已知橢圓，求橢圓的離心率.設為原點，若點在橢圓上，點在直線上，且，求直線與圓的位置關系，并證明你的結論.

解：（I）由題意，橢圓C的標準方程為。所以，從而。因此。故橢圓C的離心率。（Ⅱ）直線AB與圓相切。證明如下：設點A,B的坐標分別為，，其中。因為，所以，即，解得。當時，，代入橢圓C的方程，得，故直線AB的方程為。圓心O到直線AB的距離。此時直線AB與圓相切。當時，直線AB的方程為，即，圓心0到直線AB的距離又，故此時直線AB與圓相切。設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限.（1）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；（2）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為.（=1\*ROMANI）設直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個公共點，故，即，解得點的坐標為，由點在第一象限，故點的坐標為；（=2\*ROMANII）由于直線過原點，且與垂直，故直線的方程為，所以點到直線的距離，整理得，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以點到直線的距離的最大值為.已知橢圓的一個焦點為，離心率為，（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。解：（１）可知，又，，，橢圓C的標準方程為；（２）設兩切線為，①當軸或軸時，對應軸或