2021-2022學(xué)年河北省承德市圍場縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省承德市圍場縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知,圓內(nèi)的曲線與軸圍成的陰影部分區(qū)域記為(如圖),隨機(jī)往圓內(nèi)投擲一個點(diǎn),則點(diǎn)落在區(qū)域的概率為

A． B．

.C D．參考答案：B2.已知函數(shù)，那么f(5)的值為A．32 B．16 C．8

D．64參考答案：C3.以下程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為（）A．21

8

B．21

9C．23

8

D．23

9參考答案：C4.將函數(shù)f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關(guān)于對稱，則ω的最小值是(

)

A.6 B. C. D.參考答案：D5.已知m為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若m+（m2﹣1）i＞0，則=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由m+（m2﹣1）i＞0，得，求解得到m的值，然后代入，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：∵m+（m2﹣1）i＞0，∴，解得：m=1．則=．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6.設(shè)，則A. B.C. D.參考答案：D【分析】先判斷三個數(shù)取值范圍，再根據(jù)范圍確定大小.【詳解】因?yàn)?，所以，選D.【點(diǎn)睛】比較大小：一般根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定各數(shù)取值范圍，再根據(jù)范圍判斷大小.7.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S5=﹣5，S9=﹣45，則a4的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4參考答案：C8.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：，選A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)概念【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為9.已知集合,則中所含元素的個數(shù)為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＜0 C．0＜a＜1 D．a(chǎn)＜1參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部大于0，虛部小于0，求得答案【解答】解：z=+=2a+（1﹣a）i，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則，解得：0＜a＜1，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是

.

參考答案：【解析】由.答案：12.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_________.參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】1

據(jù)題意知f′（1）=-f（1）=-+2=∴f(1)+f′(1)=-+=1

故答案為1【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率求出f′（1）；將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求出f（1），求出它們的和．13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝2A，cosA＝，b＝5，則

△ABC的面積為

；參考答案：略14.___________.參考答案：略15.二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為

.參考答案：16.已知等比數(shù)列________.參考答案：略17.已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為

.參考答案：9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2017?衡陽一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓E：x2+（y﹣t）2=r2（t＞0，r＞0）經(jīng)過橢圓C：的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且F1，E，A三點(diǎn)共線．（Ⅰ）求圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)與直線OA平行的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由三角形的中位線定理，求得丨AF2丨，再由橢圓的定義，丨AF1丨=2a﹣丨AF2丨，根據(jù)勾股定理即可求得t的值，由EF1為半徑，即可求得r的值，求得圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長公式和基本不等式的性質(zhì)，即可求得△AMN的面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）橢圓C：，長軸長2a=4，短軸長2b=2，焦距2c=2因?yàn)镕1，E，A三點(diǎn)共線，則F1A為圓E的直徑，F(xiàn)2在圓E上，則AF2⊥F1F2，所以O(shè)E為三角AF1F2中位線，由E（0，t），則丨AF2丨=2t，則丨AF1丨=2a﹣丨AF2丨=4﹣2t，由勾股定理可知：丨AF1丨2=丨F1F2丨2+AF2丨2，即（4﹣2t）2=（2）2+（2t）2，解得：t=，半徑r==，∴圓E的方程x2+（y﹣）2=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1），所以直線OA的斜率為，…6分故設(shè)直線l的方程為y=+m，聯(lián)立，得x2+mx﹣m2﹣2=0．，…7分設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1+x2=﹣m，x1?x2=m2﹣2，△=2m2﹣4m2+8＞0，所以﹣2＜m＜2，…8分又丨MN丨=?丨x1﹣x2丨，=?=，…9分因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離d=，…10分所以S△AMN=丨MN丨?d=??，=≤×=，當(dāng)且僅當(dāng)4﹣m2=m2，即m=±時等號成立，∴△AMN的面積的最大值．此時直線l的方程為y=x±．…12分【點(diǎn)評】本題考查橢圓定義的應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長公式及基本不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)（）.參考答案：（1）由直線的參數(shù)方程得，直線方程為：，極坐標(biāo)方程為.

…5分（2）聯(lián)立，又，解得或，所以直線與圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

…10分20.已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上．⑴求橢圓的方程；⑵設(shè)雙曲線：（，）的頂點(diǎn)、都是曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線，與在第一象限內(nèi)相交于，若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求雙曲線的離心率．

參考答案：⒛⑴橢圓的焦距……1分長軸……4分橢圓的短軸……5分，所以橢圓的方程為……6分⑵設(shè)雙曲線焦距為，依題意，……7分，……8分（方法一）……9分，直線的方程為……10分、、共線，所以……11分，即……12分，，……13分，解得雙曲線的離心率（舍去）……14分．（方法二）依題意，～……9分，……10分所以……11分，即……12分，，……13分，解得雙曲線的離心率（舍去）……14分．

略21.（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐中,底面四邊長為1的菱形,,,,為的中點(diǎn)?(Ⅰ)求異面直線AB與MD所成角的大小;(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面OCD的距離?參考答案：方法一(綜合法)(1)為異面直線與所成的角(或其補(bǔ)角)作連接,所以與所成角的大小為-----------------------6分(2)點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等,連接OP,過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q,又,線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離,,所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為--------------------12分方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)與所成的角為,,

與所成角的大小為---------------------------6分(2)設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,,.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為-----------------------------12分22.（本小題滿分12分）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物。我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2011年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）（1）從這15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列；（3）以這15天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按360天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級。參考答案：（1）記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，恰有一