2021-2022學(xué)年河北省邢臺市冀陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省邢臺市冀陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若a是1+2b與1-2b的等比中項(xiàng)，則的最大值為（

）A.1

B.

C.

D.參考答案：C2.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是（

）A． B． C. D．參考答案：D試題分析：∵，∴將函數(shù)平移后得到的函數(shù)為，∵的圖象關(guān)于軸對稱，∴，即恒成立．∴，解得．∵，∴當(dāng)時(shí)，取最小值．故選：D．考點(diǎn)：三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用；函數(shù)的圖象變換.3.函數(shù)的一條對稱軸方程為，則A．1

B．

C．2

D．3參考答案：B略4.已知函數(shù)，若對恒成立，且，則函數(shù)的單凋遞減區(qū)間是(

)

A.

B．

C.

D.參考答案：A略5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則，求出z的值，再判斷復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的位置．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則z====1﹣i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z（1，﹣1）位于第四象限．故選：D．6.（00全國卷文）已知，那么下列命題成立的是（A）若、是第一象限角，則（B）若、是第二象限角，則（C）若、是第三象限角，則（D）若、是第四象限角，則參考答案：答案:D7.設(shè)點(diǎn)P是雙曲線（a＞0，b＞0）與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則此雙曲線的離心率為

（A） （B） （C）＋1 （D）參考答案：A略8.已知,,若，則的值不可能是………（

）（A）.

（B）.

（C）.

（D）.

參考答案：D9.已知F是雙曲線的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】設(shè)，因?yàn)樵俳Y(jié)合雙曲線方程可解出，再利用三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則①．又，②．由①②得，即，，故選B．【點(diǎn)睛】本題易錯在忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢．10.已知方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)的回歸方程，則是“(x0，y0)滿足線性回歸方程y＝bx＋a”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A，B∈{﹣3，﹣1，1，2}且A≠B，則直線Ax+By+1=0的斜率小于0的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】求出基本事件的所有情況，利用概率公式可得結(jié)論．【解答】解：直線Ax+By+1=0的斜率為﹣，所有情況有﹣1=11種（A=1，B=﹣1與A=﹣1，B=1斜率相等），即﹣3，3，，﹣，1，，，﹣，，2，﹣2，滿足直線Ax+By+1=0的斜率小于0的情況有4種，∴所求概率為，故答案為．12.復(fù)數(shù)的虛部為________.參考答案：答案：解析：13.（2015秋?溫州月考）（理）如圖所示的一塊長方形木料中，已知AB=BC=4，AA1=1，設(shè)E為底面ABCD的中心，且=λ（0≤λ≤），則該長方體中經(jīng)過點(diǎn)A1、E、F的截面面積的最小值為

．參考答案：考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)題意，作出經(jīng)過點(diǎn)A1、E、F的截面四邊形，求出它的面積解析式，計(jì)算它的最小值即可．解答：解：設(shè)截面為A1FMN，顯然A1FMN為平行四邊形，過A點(diǎn)作AG⊥MF與G，則MG⊥A1G，作MK⊥AD與K，根據(jù)題意AF=4λ，則CM=DK=4λ，KF=4﹣8λ，MF=，易知Rt△MKF∽Rt△AGF，∴=，∴AG=，∴A1G2=AG2+AA12=+1，∴S截面2=MF2×A1G2=MF2×（+1）=162λ2+42+（4﹣8λ）2=32（10λ2﹣2λ+1）=320（λ﹣）2+（0≤λ≤），∴當(dāng)λ=時(shí)，S截面2=取得最小值，此時(shí)S截面為．故答案為：．點(diǎn)評：本題以長方體為載體，考查了空間中的位置關(guān)系與距離的計(jì)算問題，也考查了函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．14.在的二項(xiàng)展開式中，的項(xiàng)的系數(shù)是

.（用數(shù)字作答）參考答案：70根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí),即r=4時(shí),可得.即項(xiàng)的系數(shù)為70.

15.已知，i是虛數(shù)單位，若，則的值為_______.參考答案：2試題分析：，則，所以，，故答案為2．16.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，S7=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1，則數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和為

．參考答案：1893【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可得an，再利用bn=[lgn]，可得b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1，…，b1000=3．即可得出．【解答】解：Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，則公差d=1．a(chǎn)n=n，bn=[lgn]，則b1=[lg1]=0，b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b1000=3．?dāng)?shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和為：9×0+90×1+900×2+3=1893．故答案為：1893．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、取整函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有點(diǎn)，，，，將四邊形ABCD繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為________參考答案：.【分析】利用圖形判斷出四邊形是矩形，且邊位于直線上，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱，然后利用圓柱的體積公式可得出所求幾何體的體積.【詳解】如下圖所示，四邊形是矩形，且邊位于直線上，且，，將四邊形繞著直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓柱，且該圓柱的底面半徑為1，高為2，因此，該幾何體的體積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算，考查圓柱體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵要確定旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的形狀，考查空間想象能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）給定函數(shù)和常數(shù)，若恒成立，則稱為函數(shù)的一個“好數(shù)對”；若恒成立，則稱為函數(shù)的一個“類好數(shù)對”．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋á瘢┤羰呛瘮?shù)的一個“好數(shù)對”，且，求；（Ⅱ）若是函數(shù)的一個“好數(shù)對”，且當(dāng)時(shí)，，求證：函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；（Ⅲ）若是函數(shù)的一個“類好數(shù)對”，，且函數(shù)單調(diào)遞增，比較與的大小，并說明理由．參考答案：（Ⅰ）由題意，，且，則則數(shù)列成等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)，于是…………4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則由題意得由得，，解得或均不符合條件即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；注意到故函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；…………9分（Ⅲ）由題意，則，即于是即而對任意，必存在，使得，由單調(diào)遞增，得，則故…………14分19.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.

（Ⅰ）函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M？說明理由；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：

f(x)=ax∈M；

（Ⅲ）若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,求實(shí)數(shù)k的值.參考答案：解：（Ⅰ）對于非零常數(shù)T，f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因?yàn)閷θ我鈞∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=

------（2分）（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax（a>0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T.于是對于f(x)=ax有

故f(x)=ax∈M.

------（3分）（Ⅲ）當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M.當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)閒(x)=sinkx∈M，所以存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx.因?yàn)閗≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT)∈[－1，1]，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立，只有T=，當(dāng)T=1時(shí)，sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2mπ,m∈Z.當(dāng)T=－1時(shí)，sin(kx－k)=－sinkx成立，即sin(kx－k+π)=sinkx成立，則－k+π=2mπ,m∈Z，即k=－2(m－1)π,m∈Z.綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ,m∈Z}

------（5分）20.定義在R上的函數(shù)f（x）=ax2+bx2+cx+3同時(shí)滿足以下條件：①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；②f′（x）是偶函數(shù)；③f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；二次函數(shù)的性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：（Ⅰ）利用題中的已知條件，分別求出a、b、c的值，進(jìn)一步求出函數(shù)的解析式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用函數(shù)的存在性問題即m＞f（x），只需滿足：m＞（f（x））min即可．從而通過求函數(shù)的最小值確定結(jié)果．解答：解：（Ⅰ）定義在R上的函數(shù)f（x）=ax2+bx2+cx+3，所以：f′（x）=3ax2+2bx+c①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以：f′（1）=3a+2b+c=0，③②f′（x）=3ax2+2bx+c是偶函數(shù)；則：b=0．f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．所以：f′（0）=﹣1④解得：c=﹣1．⑤把④⑤代入③解得：a=則：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x2﹣1，設(shè)g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使得：4lnx﹣m＜x2﹣1即存在x∈[1，e]，使：m＞（4lnx﹣x2+1）min，設(shè)M（x）=4lnx﹣x2+1x∈[1，e]，則：令由于x∈[1，e]，解得：x=，當(dāng)時(shí)，M′（x）＞0，所以M（x）在[1，]上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，M′（x）＜0，所以M（x）在[，e]上是減函數(shù)．即當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)求的最大值．M（1）=0，M（e）=5﹣e2＜0所以：m＞5﹣e2即m的取值范圍為：m＞5﹣e2點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，存在性問題的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問題．21.（09年揚(yáng)州中學(xué)2月月考）（16分）已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，（Ⅰ）；(5分)（Ⅱ）證明：對于數(shù)列，一定存在，使；(5分)（Ⅲ）令，當(dāng)時(shí)，求證：(6分)參考答案：解析:（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而=

……(3分)

=.

…………(5分)

（Ⅱ）證明：①若,則題意成立…(6分)②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即.設(shè),則當(dāng)時(shí),.從而此時(shí)命題成立……(8分)③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.綜上所述,原命題成立……………(10分)（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?

所以=……………(11分)因?yàn)?gt;0,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.而………(13分)①當(dāng)時(shí),……(15分)②當(dāng)時(shí),由于>0,所以<綜上所述,原不等式成立………(16分)22.如圖，已知橢圓的離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為A1（﹣2，0），A2（2，0）．過點(diǎn)D（1，0）的直線l與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線A1M與NA2的斜率分別為k1，k2，試問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由已知得a，結(jié)合離心率得c，再由隱含條件求得b得答案；（Ⅱ）設(shè)直線A1