2021-2022學(xué)年河南省商丘市鄭集鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河南省商丘市鄭集鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.的值等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D2.定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)為單位分?jǐn)?shù)，我們可以把1拆為若干個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和．如：1=++，1=+++，1=++++，以此類推，可得：1=++++++++++++，其中a＜b，a，b∈N*，設(shè)1≤x≤a，1≤y≤b，則的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】根據(jù)1=++++++++++++，結(jié)合裂項(xiàng)相消法，可得+==，解得a，b值，可得答案．【解答】解：∵2=1×2，6=2×3，30=5×6，42=6×7，56=7×8，72=8×9，90=9×10，110=10×11，132=11×12，∵1=++++++++++++，∴+==，∴a=13，b=20，則=1+，∵1≤x≤13，1≤y≤20，∴y=1，x=13時(shí)，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定a，b的值是關(guān)鍵．3.設(shè),,,,滿足,則它們的大小關(guān)系是()A.G<F<H<T

B.T>H>G>F

C.H>G>F>T

D.H>G>T>F參考答案：C4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F//平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構(gòu)成的集合是

(

)參考答案：D5.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在某項(xiàng)測(cè)試中的6次成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，其中甲成績(jī)的中位數(shù)為15，極差為12；乙成績(jī)的眾數(shù)為13，，分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A．＞，s1＜s2 B．=，s1＜s2C．=，s1=s2 D．=，s1＞s2參考答案：B【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；莖葉圖．【分析】根據(jù)題意，得出y、x、z的值；求出甲、乙測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，得出=；由標(biāo)準(zhǔn)差的意義得出s1＜s2．【解答】解：根據(jù)題意，得20+y﹣9=12，∴y=1，x=5，z=3；∴甲測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)是==15，乙測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)是=15，∴=；又∵甲的測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)極差小，數(shù)據(jù)比較集中，∴標(biāo)準(zhǔn)差小，乙的測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)極差相對(duì)大，數(shù)據(jù)比較分散，∴標(biāo)準(zhǔn)差大，∴s1＜s2；故選：B．6.已知是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)．點(diǎn)到平面的距離（

）A．

B．

C． D．參考答案：B略7.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則函數(shù)的極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)有：A．個(gè)

B．個(gè)

C．個(gè)

D．個(gè)參考答案：B8.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若對(duì)任意的，都有成立，則A.

B.

C.

D.無法比較參考答案：B略9.已知點(diǎn)F是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，得到等腰△ABE中，∠AEB為銳角，可得|AF|＜|EF|，將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的不等式，化簡(jiǎn)整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．【解答】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是銳角三角形，即∠AEB為銳角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0兩邊都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵雙曲線的離心率e＞1∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2）故選：B10.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．=1 B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意設(shè)出橢圓方程并求得a值，再由離心率求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．【解答】解：由題意可設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）．且2a=4，∴a=2，又，∴c=1，則b2=a2﹣c2=3．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若且，則復(fù)數(shù)=

參考答案：或12.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，當(dāng)x＞2時(shí)k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，則整數(shù)k最大值為．參考答案：5【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等價(jià)于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3對(duì)一切x∈（2，+∞）恒成立，分離參數(shù)，從而可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)即可求得，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)x＞2時(shí)，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3對(duì)一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2對(duì)一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式轉(zhuǎn)化為k＜+2對(duì)任意x＞2恒成立．設(shè)p（x）=+2，則p′（x）=，令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），則r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．因?yàn)閞（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一實(shí)根x0，且滿足x0∈（9，10），當(dāng)2＜x＜x0時(shí)，r（x）＜0，即p′（x）＜0；當(dāng)x＞x0時(shí)，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函數(shù)p（x）在（2，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整數(shù)k的最大值是5．故答案為：5．13.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：（e2，+∞）14.若數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過計(jì)算的值，推測(cè)出

參考答案：略15.已知橢圓的方程為，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若為正三角形，則橢圓的離心率等于_________.參考答案：【分析】先求出FQ的長(zhǎng)，在直角三角形FMQ中，由邊角關(guān)系得，建立關(guān)于離心率的方程，解方程求出離心率的值.【詳解】解：由已知得：，因?yàn)闄E圓的方程為，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若為正三角形，所以，所以，故答案：.16.在擲一次骰子的游戲中，向上的數(shù)字是1或6的概率是____________.參考答案：略17.設(shè)為曲線上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角取值范圍是，則點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知命題P：在R上定義運(yùn)算?：x?y=（1﹣x）y．不等式x?（1﹣a）x＜1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；命題Q：若不等式≥2對(duì)任意的x∈N*恒成立．若P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：（1）由題意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命題P為真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，對(duì)1﹣a分類討論：當(dāng)1﹣a=0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)1﹣a≠0時(shí)，，解出即可．（2）若命題Q為真，不等式≥2對(duì)任意的x∈N*恒成立，可得（x2+ax+6）≥2（x+1）對(duì)任意的x∈N*恒成立，即對(duì)任意的x∈N*恒成立，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．由于P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，可得P，Q中必有一個(gè)真命題，一個(gè)假命題．解答：解：（1）由題意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命題P為真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，∴①當(dāng)1﹣a=0即a=1時(shí)，1＞0恒成立，∴a=1；②當(dāng)1﹣a≠0時(shí)，，∴﹣3＜a＜1，綜合①②得，﹣3＜a≤1．若命題Q為真，∵x＞0，∴x+1＞0，則（x2+ax+6）≥2（x+1）對(duì)任意的x∈N*恒成立，即對(duì)任意的x∈N*恒成立，令，只需a≥f（x）max，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時(shí)取“=”．∴a≥﹣2．∵P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，∴P，Q中必有一個(gè)真命題，一個(gè)假命題．若P為真Q為假，則，﹣3＜a＜﹣2，若P為假Q(mào)為真，則，∴a＞1，綜上可得a取值范圍：﹣3＜a＜﹣2或a＞1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定、不等式的解法、很殘酷問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論思想方法、基本不等式的性質(zhì)、不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19.已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明；基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】左邊減去右邊等于2（ab+bc﹣ac），用等比數(shù)列的定義以及基本不等式可得a+c＞b，進(jìn)而推出2（ab+bc﹣ac）＞0，從而證得不等式成立．【解答】證明：∵a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac）．∵a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac≤，開方可得，故a+c≥2b＞b．∴2（ab+bc﹣ac）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，∴a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）證明：PA∥平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，證明PA∥OE，利用直線與平面平行的判定定理證明PA∥平面EDB．（2）證明BC⊥平面PDC．推出BC⊥DE．證明DE⊥PC，得到DE⊥平面PBC，說明DE⊥PB．結(jié)合EF⊥PB，證明PB⊥平面DEF．【解答】證明：（1）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，∵ABCD是正方形，∴O為AC的中點(diǎn)，∴OE為△PAC的中位線，∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，∴PD⊥DC，而PD=DC，∴△PDC為等腰三角形，∴DE⊥PC又BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF．21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，且過，（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求證：。參考答案：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1），，

22.（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)（1，），橢圓上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓E相交于點(diǎn)B，C（不同于點(diǎn)A），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為kAB，KAC．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）試問直線BC是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得求出橢圓的方程．（2）設(shè)切線方程為y=kx+1，則（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，設(shè)兩切線AB，AD的斜率為k1，k2（k1≠k2），k1?k2=1，由切線方程與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直線BD方程，進(jìn)而得到直線．（3）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A所作的圓的切線方程為：y=kx+1．與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直線BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得c=，a=2，b=1．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（2）A（0，1），設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為